2017-2018学年高中数学选修4-4第一章坐标系学案(打包6套) 北师大版3(精汇教案)


. 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐 标方程

[对应学生用书]

曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

()互化的前提条件:

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合.

②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的轴的正半轴重合.

③两种坐标系中取相同的长度单位.

()











(\\(=ρ θ ,=ρ θ ,))

(\\(ρ =+, θ =()

))

()圆锥曲线统一的极坐标方程为:ρ =θ ).

ρ =和 ρ =-是同一个圆的极坐标方程,那么,该圆对应的直角坐标方程也有两个吗? 提示:唯一的一个,+=.
[对应学生用书] 将直角坐标方程化成极坐标方程 [例] 把下列直角坐标方程化为极坐标方程. ()+=; ()++=(≠); ()(-)+=. [思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想,解答此 题,需要将=ρ θ ,=ρ θ ,及+=ρ 代入直角坐标方程,再化简即可. [精解详析] ()将=ρ θ ,=ρ θ 代入+=得 ρ θ +ρ θ =, ∴ρ ( θ + θ )=. ∴θ + θ =.∴θ =- θ . ∴θ =-. ∴θ =(ρ ≥)和 θ =(ρ ≥). 综上所述,直线+=的极坐标方程为

θ =(ρ ≥)和 θ =(ρ ≥). ()将=ρ θ ,=ρ θ 代入++=得 ρ θ +ρ θ +ρ θ =, 即 ρ (ρ + θ )=. ∴ρ =- θ . ∴圆++=(≠)的极坐标方程为 ρ =- θ . ()(-)+=,即:+-=. 把+=ρ ,=ρ θ 代入上式得: ρ -ρ θ =. 即 ρ =或 ρ = θ . ∵极点 ρ =在圆 ρ = θ 上, ∴所求圆的极坐标方程为 ρ = θ .
将直角坐标方程化为极坐标方程,只需将=ρ θ ,=ρ θ ,+=ρ 代入化简即可,但 化简时要注意变形的等价性.
.把圆的直角坐标方程(-)+(-)=化为极坐标方程. 解:把=ρ θ ,=ρ θ 代入方程(-)+(-)=,得(ρ θ -)+(ρ θ -)=. 如果设圆心(,)的极坐标为(ρ ,θ ),则 =ρ θ ,=ρ θ ,再代入上方程可得: (ρ θ -ρ θ )+(ρ θ -ρ θ )=. ∴ρ (θ +θ )-ρ ρ ( θ θ + θ θ )+ρ (θ +θ )=. ∴ρ -ρ ρ (θ -θ )+ρ -=. 这就是所求的圆的极坐标方程.
把极坐标方程化为直角坐标方程 [例] 将下列极坐标方程化为直角坐标方程,并说明是何曲线. ()ρ θ =; ()ρ ( θ + θ )-=; ()ρ =- θ ; ()ρ = θ - θ .

[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用,解 答此题需要利用 ρ θ =,ρ θ =求解.有时需要在等式两边同乘 ρ ,构造出 ρ θ 和 ρθ.
[精解详析] ()ρ θ =? =,表示的是一条直线. ()ρ ( θ + θ )-=? ρ θ +ρ θ -=, ∴+-=,表示的是一条直线. ()ρ =- θ 两边同乘以 ρ 得 ρ =-ρ θ , ∴++=,即(+)+=. 表示的是以(-)为圆心,以为半径的圆. ()ρ = θ - θ 两边同乘以 ρ 得 ρ =ρ θ -ρ θ , ∴+=-,即+-+=, 即+(+)=. 表示的是以为圆心,半径为的圆.
极坐标方程化为直角坐标方程时,往往需要将原极坐标方程两边同乘以 ρ ,尽可能使 得 ρ θ 换成,ρ θ 换成,ρ 换成+.但注意 ρ =是原方程的解时,所得到的直角坐标方程 与原极坐标方程等价.若 ρ =不是原方程的解时,求得的直角坐标方程,还需加,不同时 为的限制.
.把下列极坐标方程化为直角坐标方程. ()ρ θ =; ()ρ =. 解:()因为 ρ θ =, 所以 ρ θ -ρ θ =. 所以化为直角坐标方程为-=. ()因为 ρ = θ + θ =θ +θ , 所以 ρ =ρ θ +ρ θ . 所以化为直角坐标方程为+--=.

极坐标方程与直角坐标方程互化的应用 [例] 求两个圆 ρ = θ ,ρ = θ 的圆心之间的距离,并判定两圆的位置关系. [思路点拨] 本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题,解答此题可以在极 坐标系下求解,也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解. [精解详析] 法一:ρ = θ 的圆心为(),半径为,ρ = θ 的圆心为(,),半径为. 两圆圆心的距离为 = =. 而两圆半径之和为,两圆半径之差为. ∴两圆相交. 法二:ρ = θ 两边同乘以 ρ 得 ρ =ρ θ , ∴ρ = θ 可化为+-=, 即(-)+=, ∴表示的是以()为圆心,半径为的圆. ρ = θ 两边同乘以 ρ 得 ρ =ρ θ , ∴ρ = θ 可化为+-=, 即+(-)=, ∴表示的是以()为圆心,半径为的圆. 两圆的圆心距为==, 两圆半径之和为,之差为, ∴两圆相交.
对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题,可在极坐标系下研究,也可将它 们化为直角坐标方程,在直角坐标系下研究.
.已知直线的极坐标方程为 ρ =,求点到这条直线的距离. 解:把点化为直角坐标为(,-). 把直线 ρ =化为直角坐标方程为 ρ θ ·+ρ θ ·=, 即+=,∴+=. ∴点(,-)到直线+-=的距离为

==, 故点到直线 ρ =的距离为.

本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化. [考题印证]
(辽宁高考改编)在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆,直线 的极坐标方程分别为 ρ = θ ,ρ (θ -)= .
求与的交点的极坐标. [命题立意] 本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化. [自主尝试] 由 ρ =,ρ θ =,ρ θ =得, 圆的直角坐标方程为+(-)=, 直线的直角坐标方程为+-=, 由(\\(+ - =,+-=.)) 解得(\\(=,=,)) (\\(=,=.)) 所以圆,直线的交点直角坐标为(),(), 再由 ρ =,ρ θ =,ρ θ =,将交点的直角坐标化为极坐标,. 所以与的交点的极坐标,.

[对应学生用书]

一、选择题

.将方程 θ =(ρ ≥)化为直角坐标方程为( )

.=

.=(≥)

.=(≤) .=(≥)

解析:选 `∵=(≠),∴=(≠).

∴=.而 θ =(ρ ≥)表示射线,

∴所求的直角坐标方程为=(≥).

.圆心在点(-)处,且过原点的圆的极坐标方程是( )

.ρ =( θ - θ ) .ρ =( θ - θ )

.ρ = θ .ρ = θ

解析:选 如图所示,圆的半径为=,

∴圆的直角坐标方程为

(+)+(-)=,

即+=-(-),化为极坐标方程, 得 ρ =-(ρ θ -ρ θ ),即 ρ =( θ - θ ). .直线:ρ (θ +α )=和:θ =-α 的位置关系是( ) .∥.⊥ .和重合 .和斜交 解析:选 对于可化为 α + α =,=-α α ), 对于可化为 α - α =,=α α ), ∴·=-.∴⊥,故选. .极坐标方程 ρ = θ + θ 表示的曲线为( ) .直线 .圆 .椭圆 .双曲线 解析:选 由 ρ = θ + θ ,得 ρ =ρ θ +ρ θ . ∴+=+,即+--=,表示圆. 二、填空题 .直线 ρ θ =与圆 ρ = θ 相交的弦长为. 解析:直线的方程为=,圆的方程为+-=,圆心为(),半径=,圆心到直线的距离为 ==,设所求的弦长为,则=+,解得=. 答案: .在极坐标系中,定点(,),点在直线:ρ θ +ρ θ =上运动,当线段最短时,点的极 坐标是. 解析:将 ρ θ +ρ θ =化为直角坐标方程为+=,点化为直角坐标得(),如图,过作 ⊥直线于,因为△为等腰直角三角形,又因为=,则=,θ =,故点的极坐 标是. 答案: .过极点作圆:ρ = θ 的弦,则的中点的轨迹方程是. 解析:法一:如图,圆的圆心为(),半径为=,连接. ∵为弦的中点, ∴⊥,故在以为直径的圆上. ∴点的轨迹方程是 ρ = θ . 法二:设点的坐标是(ρ ,θ ),(ρ ,θ ). ∵点在圆 ρ = θ 上,∴ρ = θ ,①

∵是的中点,∴(\\(ρ =ρ ,,θ =θ .))

将它代入①式得 ρ = θ ,故点的轨迹方程是 ρ = θ .

答案:ρ = θ

.(天津高考)已知圆的极坐标方程为 ρ = θ , 圆心为, 点的极坐标为,则=.

解析:如图,

由圆的极坐标方程为 ρ = θ 知=,又因为点的极坐标为,所以=,

∠=,在△中,由余弦定理得=+-··=+-×××=,所以=.

答案:

三、解答题

.⊙和⊙的极坐标方程分别为 ρ = θ ,ρ -ρ ( θ + θ )=.

()把⊙和⊙的极坐标方程化为直角坐标方程;

()求经过⊙,⊙交点的直线的直角坐标方程.

解:()∵=ρ θ ,=ρ θ ,

由 ρ = θ 得 ρ =ρ θ ,

所以+=.

即+-=为⊙的直角坐标方程.

同理+--=为⊙的直角坐标方程.

()法一:由(\\(+-=,

①+--=, ②))

解得(\\(=,=;)) (\\(=,=.))

即⊙,⊙交于点()和().过交点的直线的直角坐标方程为=.

法二:①-②得=,

即=为过⊙,⊙交点的直线的直角坐标方程.

.在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为

ρ =,,分别为与轴、轴的交点.

()写出的直角坐标方程,并求,的极坐标;

()设的中点为,求直线的极坐标方程.

解:()由 ρ =得,

ρ θ +(()) θ ))

=.

从而的直角坐标方程为

+=,即+=.

当 θ =时,ρ =,所以();

当 θ =时,ρ =,所以. ()点的直角坐标为(), 点的直角坐标为. 所以点的直角坐标为. 则点的极坐标为. 所以直线的极坐标方程为 θ =,ρ ∈(-∞,+∞). .已知双曲线的极坐标方程为 ρ =θ ),过极点作直线与它交于,两点,且=,求直线 的极坐标方程. 解:设直线的极坐标方程为 θ =θ ,(ρ ,θ ),(ρ ,θ +π ),则 ρ =θ ), ρ ==θ ). =ρ +ρ =θ )+(+ θ ))) ==, ∴=±.∴θ =或 θ =±. 故直线的极坐标方程为 θ =或 θ =或 θ =.
生活不是等待风暴过去,而是学会在雨中翩翩起舞,不要去考虑自己能够走多快,只要知道自己在不断努力向前就行,路对了,成功就不远了。放弃了,就不该后悔。失去了,就不该回忆。放 下该放下,退出那没结局的剧。我们需要一点点的眼泪去洗掉眼中的迷雾,一点点的拥抱去疗愈受伤的心,一点点的休息去继续前行,少壮不努力,老大徒伤悲,每个人的人生都是不一样的,处 同样的位置,也是有人哭,有人笑,有人沉默。穷人缺什么:表面缺资金,本质缺野心,脑子缺观念,机会缺了解,骨子缺勇气,改变缺行动,事业缺毅力世界上最聪明的人是借用别人撞的 头破血流的经验作为自己的经验,世界上最愚蠢的人是非用自己撞得头破血流的经验才叫经验,不要抱着过去不放,拒绝新的观念和挑战,每个人都有退休的一天,但并不是每个人都能拥有退休 后的保障。觉得为时已晚的时候,恰恰是最早的时候,勿将今日之事拖到明日,学习时的苦痛是暂时的,未学到的痛苦是终生的,学习这件事,不是缺乏时间,而是缺乏努力,幸福或许不排名次, 学习并不是人生的全部。但既然连人生的一部分——学习也无法征服,还能做什么呢.


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