福建省南安一中2011-2012学年高二数学下学期期末试题 理 新人教A版【会员独享】


南安一中 2011-2012 学年度高二下学期期末考 数学科试卷(理)

本试卷考试内容为:解析几何和选修部分。分第 I 卷和第 II 卷,共 4 页,满分150 分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2.考生作答时,请将答案答在答题纸上,在本试卷上答题无效。按照题号在各题的答 题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。 3.答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 4.保持答题纸纸面清洁,不破损。考试结束后,将本试卷自行保存,答题纸交回。

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求 1.双曲线
x
2

?
3 2

y

2

? 1 的渐近线方程是
2 3 9 4 4 9

4

9
x

A. y ? ?

B. y ? ?

x

C. y ? ?

x

D. y ? ?

x

2 2 2.直线 y ? x ? b 平分圆 x ? y ? 8 x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则 b ?

A.-3

B.-5
?1 ?0 ? 0? 1 ? 和M ? 2? ?1 ?? ?0 ?

C. 3

D. 5

3.点先后通过矩阵 M 1 ? ?
?1 ? A. ? 3 ?0 ? ? ? 0? ? 1? ? 2?

2

0? 1 ? 的变换效果相当于另一变换是 ? 3?

?1 ? B. ? 6 ?0 ? ?

? 0? ? 1? ? 2?

?1 ? C. ? 2 ?0 ? ?

? 0? ? 1? ? 6?

D. ?

?1 ?0 ?

0? 1? ? 6?

4.已知点 P ( 3 , 2 ) 与点 Q (1, 4 ) 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 0

5. M ( x 0 , y 0 ) 为圆 x ? y ? a ( a ? 0 ) 内异于圆心的点,则直线 x 0 x ? y 0 y ? a 与该圆
2 2 2

2

的位置关系为 A.相切 B.相交 C.相离
用心 爱心 专心

D.相切或相交
1

6.设点 M 是椭圆 为 A. 2

x

2

? y

2

? 1 与抛物线 y

2

?

3 4

x 的一个交点,则点 M 到椭圆中心的距离

4

B.

7 4

C.

7 2

D.

5 4

7.在极坐标系中与圆 ? ? 4 sin ? 相切的一条直线的方程为 A. ? sin ? ? 2 8.双曲线
x a
2 2

B. ? cos ? ? 2
2 2

C. ? ? 4 sin( ? ?

?
3

) D. ? ? 4 sin( ? ?

?
3

)

?

y b

? 1( a , b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1 、 F 2 ,过焦点 F 2 且垂直于 x 轴的

弦为 AB ,若 ? AF 1 B ? 90 ? ,则双曲线的离心率为 A.
1 2

(2 ?

2)

B. 2 ? 1

C. 2 ? 1
x
2

D.

1 2

(2 ?

2)

9.已知对 k ? R ,直线 y ? kx ? 1 ? 0 与椭圆 围是 A. (0,1) B. (0, 5)

?

y

2

? 1 恒有公共点,则实数 m 的取值范

5

m

C. [1,5 ) ? ( 5 , ?? ) D. [1, 5)

10.由直线 y ? x ? 1 上的点向圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2 ) ? 1 引切线,则切线长的最小值为
2 2

A. 1 7

B. 3 2

C. 1 9

D. 2 5
9 ? x 图象上任意两个
2

11.定义:平面内横坐标为整数的点称为“左整点” ,过函数 y ? “左整点”作直线,则倾斜角大于 4 5 ? 的直线条数为 A. 1 0 B. 1 1 C. 1 2 12.椭圆
x
2

D. 1 3

?

y

2

25

16

? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F 2

,弦 AB 过 F1 ,若 ? ABF 2 的内切圆周长

为 ? , A 、 B 两点的坐标分别为 ? x 1 , y 1 ? 和 ? x 2 , y 2 ? ,则 y 2 ? y 1 的值为 A.
5 3

B.

10 3

C.

20 3

D.

5 3

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 16 分 ? 13.若直线 l 的极坐标方程为 ? sin( ? ? ) = 2 ,则直线 l 的直角坐标方程为
4
用心 爱心 专心



2

14.若二元一次方程组 ? ?

? 2 ?? 2

? 3 ?? ?? 1 ?? ??

x? ?x? ? ? k ? ? 有非零解,则 k ? ? ? y? y? ? ?
2 2



l 15. 过直线 l : y ? 2 x 上一点 P 作圆 C : ( x ? 8 ) ? ( y ? 1) ? 2 的切线 l1 、 2 关于直线 l 对称,

则点 P 到圆心 C 的距离为 。 16. 双曲线具有光学性质: “从双曲线的一个焦点发出的光线经过双 曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个 焦点. 由此可得如下结论: ” 如右图, 过双曲线 C :
x
2

?

y

2

? 1右

16

9

支上的点 P 的切线 l 平分 ? F1 P F 2 .现过原点作 l 的平行线交
P F1 于 M ,则 | M P | 等于



三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤 17.求过两直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 3 ? 0 的交点,且满足下列条件的直线 l 的方程。 (Ⅰ)和直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直。 (Ⅱ)在 x 轴, y 轴上的截距相等。

1 ? ?x ? s ? s 0 18.过点 P ( ? 3 , 0 ) 且倾斜角为 30 的直线 l 和曲线 C : ? ( s 为参数)相交于 A , B 1 ?y ? s ? s ? 两点,请写出直线 l 的参数方程并求线段 AB 的长。

19.抛物线 C : y ? 4 x 与直线 y ? 2 x ? k 相交于 A , B 两点,且 AB ?
2

15

(Ⅰ)求 k 的值。 (Ⅱ)在抛物线 C 上是否存在点 P ,使得 ? ABP 的重心恰为抛物线 C 的焦点 F ,若存 在,求点 P 的坐标,若不存在,请说明理由。

用心 爱心 专心

3

20.设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换. (Ⅰ)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量; (Ⅱ)求逆矩阵 M
?1

以及椭圆

x

2

?

y

2

? 1在M

?1

的作用下的新曲线的方程.

4

9

21.已知:以点 C ( t , )( t ? R , t ? 0 ) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O , A ,与 y 轴交于点 O , B ,
t

2

其中 O 为原点. (Ⅰ)求 ? OAB 的面积; (Ⅱ)设直线 y ? ? 2 x ? 4 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程.

22.如图,弧 A D B 为半圆, AB 为半圆直径,O 为半圆圆心, OD ? AB ,Q 为线段 OD 且 的中点,已知 AB ? 4 ,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持 PA ? PB 的 值不变。 (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M 、 N 两点,与 OD 所在直线交于 E 点,若
EM ? ? 1 MB , EN ? ? 2 NB 求证: ? 1 ? ? 2 为定值。

南安一中 2011-2012 学年度高二下学期期末考 数学科试卷(理)参考答案 一、选择题 1.A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C 9.C 10.A 11.B 12.D 二、填空题 13. x ? y ? 2 ? 0 14. k ? ? 1 或 4 15. 3 5 16. 4 三、解答题 17.解:由 ?

?x ? 2y ? 3 ? 0 ? x? y?3?0

可得两直线的交点为 (1, 2 ) ??????2 分

用心 爱心 专心

4

(Ⅰ)? 直线 l 与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直

? 直线 l 的斜率为 3
则直线 l 的方程为 3 x ? y ? 1 ? 0 ??????6 分

(Ⅱ)当直线 l 过原点时,直线 l 的方程为 2 x ? y ? 0 ????8 分 当直线 l 不过原点时,令 l 的方程为

x a

?

y a

?1

? 直线 l 过 (1, 2 ) ,? a ? 3
则直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 ???12 分
? 3 t ? x ? ?3 ? ? 2 18.解:由已知,直线的参数方程为 ? 1 ? y ? t ? 2 ?

?

( t 为参数) ,???3 分

1 ? ?x ? s ? s 2 2 曲线 ? ( s 为参数)可以化为 x ? y ? 4 。 1 ?y ? s ? s ?

???6 分

将直线的参数方程代入上式,得 t ? 6 3 t ? 10 ? 0 。
2

??? 8 分 ??? 10 分 ???12 分

设 A , B 对应的参数分别为 t 1 , t 2 ,? t 1 ? t 2 ? 6 3 , t 1 t 2 ? 10 .
? AB ? | t 1 ? t 2 |=

( t 1 ? t 2 ) ? 4 t 1 t 2 ? 2 17 。
2

19.解: (Ⅰ)设 A ? x , y
1

1

?,B ?x
2

2

,y

2

? ,由直线与抛物线方程联立可得:

4 x ? 4 ( k ? 1) x ? k ? 0
2

?x ? x ?1? k ? ?? k ? xx ? ? 4
1 2 2 1 2

由 AB ?

1? 2

2

?x

1

? x

2

?

2

? 4 x x 可得
1 2

用心 爱心 专心

5

5

?1 ? k ?

2

?k ?
2

15 即 k ? ?1
0 0

???????6 分

(Ⅱ)假设存在动点 P ( x , y ) ,使得 ? A B P 的重心恰为抛物线 C 的焦点 F , 由题意可知, A B 的中点 M 坐标为 (1,1) 由三角形重心的性质可知, P F ? 2 F M 即 (1 ? x , ? y ) ? 2 (0,1) ? ?
0 0

??? ?

???? ?

? x ?1
0

? y ? ?2
0

即 P (1, ? 2) 满足抛物线方程

故存在动点 P ( x , y ) ,使得 ? A B P 的重心恰为抛物线 C 的焦点 F ????12 分
0 0

20.解: (Ⅰ)由条件得矩阵 M ? ? ?0

?2

0? ?, 3?
?1 ? ? ? ?0 ? ? ?

??????????2 分 ??????????6 分

它的特征值为 2 和 3 ,对应的特征向量为 ? ? 及 ? ? ; 0 1 (Ⅱ)
?1

M

?1 ?2 ? ? ?0 ? ?

? ? ? 1? 3? ? 0



??????????8 分

椭圆

x

2

?

y

2

? 1在M

?1

的作用下的新曲线的方程为 x ? y ? 1 .??????12 分
2 2

4

9
4 t
2

21.解: (Ⅰ)? 圆 C 过原点 O ,? OC 设圆 C 的方程是
2

2

? t

2

? )
2


2

(x ? t) ? ( y ? 4 t ?|

2 t

? t

?

4 t
2

????2 分 ????4 分 ????6 分

令 x ? 0 ,得 y 1 ? 0 , y 2 ?
? S ? OAB ? 1 2 OA ? OB ? 1 2

;令 y ? 0 ,得 x 1 ? 0 , x 2 ? 2 t
4 t | ? | 2 t |? 4

(Ⅱ)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .
? k MN ? ? 2 ,? k oc ? ? 2 t ? 1 2 1 2

,? 直线 OC 的方程是 y ?

1 2

x

t ,解得: t ? 2 或 t ? ? 2

????????8 分
5,

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 ( 2 ,1) , OC ? 此时 C 到直线 y ? ? 2 x ? 4 的距离 d ?
9 5 ?

5,

圆 C 与直线 y ? ? 2 x ? 4 相交于两点.
用心 爱心 专心 6

???10 分 当 t ? ? 2 时,圆心 C 的坐标为 ( ? 2 , ? 1) , OC ? 此时 C 到直线 y ? ? 2 x ? 4 的距离 d ?
9 5 ?

5,

5

圆 C 与直线 y ? ? 2 x ? 4 不相交,
? t ? ? 2 不符合题意舍去.
? 圆 C 的方程为 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1)
2 2

?5

????????12 分.

22.解: (Ⅰ)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角坐标系, ∵动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.且点 Q 在曲线 C 上, ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 ? 1 2 ? 2 5 >|AB|=4. ∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1. ∴曲线 C 的方程为
x
2

+y =1

2

?????6 分

5

(Ⅱ)证法 1:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), E (0, y 0 ) , 又易知 B 点的坐标为 ( 2, 0 ) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. ∵ E M ? ?1 M B ,∴ ( x1 , y1 ? y 0 ) ? ?1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) . ∴ x1 ?
2 ?1 1 ? ?1

???? ?

????

, y1 ?

y0 1 ? ?1



?????8 分

将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (

1

2 ?1

5 1 ? ?1
2

) ?(
2

y0 1 ? ?1

)

2

?1,

去分母整理,得 ? 1 ? 10 ? 1 ? 5 ? 5 y 0 ? 0 .
2

?????11 分
2

同理,由 E N ? ? 2 N B 可得: ? 2 ? 10 ? 2 ? 5 ? 5 y 0 ? 0 .
2

????

??? ?

∴ ? 1 , ? 2 是方程 x ? 10 x ? 5 ? 5 y 0 ? 0 的两个根,
2 2

∴ ? 1 ? ? 2 ? ? 10 .

?????14 分

(Ⅱ)证法 2:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), E (0, y 0 ) ,又易知 B 点 的坐标为 ( 2, 0 ) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交.

用心 爱心 专心

7

显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2 ) . 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得
(1 ? 5 k ) x ? 20 k x ? 20 k
2 2 2 2

?5 ? 0.
20 k
2

?????9 分

∴ x1 ? x 2 ?
???? ?

20 k

2 2

1 ? 5k

, x1 x 2 ?

?5
2

1 ? 5k



又 ∵ E M ? ?1 M B , 则 ( x1 , y1 ? y 0 ) ? ?1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) .∴ ? 1 ?
???? ??? ?
x1 2 ? x1

????



同理,由 E N ? ? 2 N B ,∴ ? 2 ?

x2 2 ? x2



?????12 分

∴ ?1 ? ? 2 ?

x1 2 ? x1

?

x2 2 ? x2

?

2 ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 4 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2

? ? ? ? 10 .?????14 分

用心 爱心 专心

8


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