【优化指导】2015高考数学总复习 第4章 第7节 正弦定理和余弦定理课时跟踪检测 理(含解析)新人教版


【优化指导】 2015 高考数学总复习 第 4 章 第 7 节 正弦定理和余弦 定理课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

π 3 1.(2014·湛江检测)在△ABC 中,∠A= ,AB=2,且△ABC 的面积为 ,则边 AC 的 3 2 长为( A.1 C.2 ) B. 3 D.3

1 1 3 3 解析:选 A ∵S△ABC= AB·AC·sin A= ×2× ×AC= ,∴AC=1.选 A. 2 2 2 2 2.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,且 b =a -ac+c ,C-A=90°, 则 cos Acos C=( 1 A. 4 1 C.- 4
2 2 2 2 2 2

) B. 2 4 2 4

D.-

解析:选 C 依题意得 a +c -b =ac,cos B= =

a2+c2-b2 2ac

ac 1 = .又 0°<B<180°,所以 B=60°,C+A=120°. 2ac 2 C

又 C-A=90°,所以 C=90°+A,A=15°,cos Acos

1 1 1 =cos Acos (90°+A)=- sin 2A=- sin 30°=- ,选 C. 2 2 4 π 3.(2013·天津高考)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin ∠BAC=( 4 A. 10 10 B. D. 10 5 5 5
2 2 2

)

3 10 C. 10 解析:选 C 2× 2 ×3×

在△ABC 中,由余弦定理得 AC =AB +BC -2AB·BCcos ∠ABC=2+9-

2 AC BC 5 = 5 , 所 以 AC = 5 . 由 正 弦 定 理 得 = ,即 = 2 sin ∠ABC sin ∠BAC 2 2

1

3 3 10 ,所以 sin ∠BAC= .故选 C. sin ∠BAC 10 4.(2014·吉林一中调研)在△ABC 中,若 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,A=60°,

b=1,三角形面积为
A.2 C.2 3

3 ,则 2 sin

b-c+a =( B-sin C+sin A
2 21 B. 3 D.2 7

)

1 1 3 解析:选 A 根据题意 S△ABC= bcsin A= ×1×c×sin 60°= ,解得 c=2,由余 2 2 2 弦 定 理 可 得

a =

3 , 由 正 弦 定 理 得

sin

b-c+a = B-sin C+sin A

2R?sin B-sin C+sin A? a 3 =2R= = =2. sin B-sin C+sin A sin A sin 60° 5.(2014·杭州模拟)△ABC 的三个内角,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin

b B+bcos2A= 2a,则 =( a
A.2 3 C. 3

) B.2 2 D. 2

解析:选 D 由条件及正弦定理, 得 sin Asin B+sin Bcos A= 2sin A, 即 sin B(sin A+cos A)= 2sin A,
2 2 2 2

b sin B 所以 sin B= 2sin A,故 = = 2.故选 D. a sin A
6.(2014·吉林一中月考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,tan A 1 3 10 = ,cos B= .若△ABC 最长的边为 1,则最短边的长为( 2 10 2 5 A. 5 4 5 C. 5 3 5 B. 5 D. 5 5 )

3 10 1 解析:选 D 由 cos B= 知 B 为锐角,∴tan B= , 10 3 故 tan C=tan (π -A-B)=-tan (A+B)= - tan A+tan B =-1,所以∠C=135°,故边 c 最长,从而 c=1,又 tan A> 1-tan A·tan B

2

tan B,故 b 边最短,∵sin 以 b=

B=

10 2 b c ,sin C= ,由正弦定理得 = ,所 10 2 sin B sin C

csin B 5 5 = ,即最短边的长为 ,故选 D. sin C 5 5

π 7. (2012·北京高考)在△ABC 中, 若 a=3, b= 3, ∠A= , 则∠C 的大小为________. 3 π 解析: 2 从而 3 由正弦定理得, = , sin ∠A sin ∠B

a

b

3 1 π 5π = ,即 sin ∠B= ,∴∠B= 或∠B= . 2 6 6 3 sin ∠B 2

5π π 由 a>b 可知∠B= 不合题意,∴∠B= . 6 6

?π π ? π ∴∠C=π -? + ?= . ?3 6? 2
8.在△ABC 中,A=60°,b=1,其面积为 3,则△ABC 外接圆的直径是________. 解析: 2 39 3 1 由 题 意 , 知 bcsin 2

A = 3 , 所 以 c = 4. 由 余 弦 定 理 , 知 a = a
= 13 2 2 39 = ,即△ABC 外接圆的 3 3

b2+c2-2bccos A= 13,由正弦定理,得 2R=

sin

A

2 39 直径是 . 3 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b +c =a +bc,sin Bsin C =sin A,则△ABC 是________三角形.(从“等腰”、“等边”、“等腰直角”、“直角” 中选择一个填空)
2 2 2 2

b2+c2-a2 bc 1 解析:等边 由已知得 cos A= = = , 2bc 2bc 2
π 又∠A 是△ABC 的内角,∴A= . 3 由 sin Bsin C=sin A 及正弦定理,得 bc=a , 又 b +c =a +bc,∴b +c =2bc. ∴(b-c) =0,即 b=c. ∴△ABC 是等边三角形. π 10.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=2 5,B= ,sin C 4 = 5 ,则 a=________. 5
3
2 2 2 2 2 2 2 2

解析:6 根据正弦定理得 sin
2 2 2

b

B sin C



c

,则 c=

bsin c 2 =2 2,再由余弦定理得 b sin B

=a +c -2accos B,即 a -4a-12=0,(a+2)(a-6)=0,解得 a=6 或 a=-2(舍去). 11.(2013·新课标全国高考Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a =bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解:(1)由已知及正弦定理得 sin

A=sin Bcos C+sin Csin B.

又 A=π -(B+C),故 sin

A=sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. B=cos B,



由①,②和 C∈(0,π )得 sin π 又 B∈(0,π ),所以 B= . 4

1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac. 2 4 由已知及余弦定理得 4=a +c -2accos
2 2

π . 4

4 2 2 又 a +c ≥2ac,故 ac≤ =2(2+ 2),当且仅当 a=c 时等号成立. 2- 2 所以 2 ac≤ 2+1. 4

即△ABC 面积的最大值为 2+1. 12 .(2014·温州十校联合体测试 ) 已知 λ ∈ R , f(x) = cos x(λ sin x - cos x) +

? ? π? 2?π cos ? -x?满足 f?- ?=f(0). 2 ? ? ? 3?
(1)求函数 f(x)的对称轴和单调递减区间; (2)设△ABC 三内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c 且 cos A a =- ,求 f(x)在(0, cos B b+2c

A]上的值域.
解:(1)f(x)=λ sin xcos x-cos x+sin x 1 = λ sin 2x-cos 2x, 2
2 2

? π? ∵f?- ?=f(0),∴λ =2 3 ? 3?
π? ? ∴f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x- ?. 6? ?
4

π π π kπ 由 2x- =kπ + ,k∈Z,得 x= + ,k∈Z. 6 2 3 2 ∴函数图象的对称轴为 x= 由 得 π kπ + ,k∈Z. 3 2

π π 3π +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ , 2 6 2 π 5π +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z. 3 6

∴函数的递减区间为?

?π +kπ ,5π +kπ ?(k∈Z). ? 6 ?3 ?

(2)由条件及正弦定理得 cos A a sin A =- =- , cos B b+2c sin B+2sin C ∴-sin Acos B=cos A(sin B+2sin C) 整理得 sin(A+B)=sin C=-2cos Asin C, 1 ∵sin C>0,∴cos A=- . 2 2π 又 0<A<π ,∴A= . 3 2π π π 7π 当 0<x≤ 时,- <2x- ≤ . 3 6 6 6 π? 1 ? ∴- ≤sin?2x- ?≤1,∴-1≤f(x)≤2. 6? 2 ? ∴函数 f(x)的值域为[-1,2].

1.在锐角△ABC 中,BC=1,∠B=2∠A,则 AC 的取值范围是( A.[-2,2] C.(0,2] B.[0,2] D.( 2, 3) π ? ?0<π -3∠A< 2 由题意得? π ? ?0<2∠A< 2

)

解析:选 D



π π <∠A< . 6 4

由正弦定理 sin

AC

BC = 得 AC=2cos A. B sin A

?π π ? ∵∠A∈? , ?,∴AC∈( 2, 3).故选 D. ?6 4?

5

2.(2014·佛山质检)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=2 3,

c=2 2,1+
π 解析: 4 即

tan A 2c = ,则角 C 的值为________. tan B b sin A cos B 2sin C 由正弦定理可知 1+ · = , cos A sin B sin B

sin ?A+B? 2sin C = . sin Bcos A sin B

1 3 a c 所以 cos A= ,sin A= ,由 = , 2 2 sin A sin C 得 sin C= 2 π ,又因为 c<a,所以 C= . 2 4

3.(2014·九江第一中学调研)在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,若

a,b,c 成等差数列,sin B= ,且△ABC 的面积为 ,则 b=________.
1 3 15 解析:2 由 a,b,c 成等差数列知 a+c=2b ①,由 acsin B= 得 ac= 2 2 4 3 a +c -b 3 题意知角 B 为锐角,cos B= 所以 = 5 2ac 5
2 2 2

4 5

3 2

②,由

③,联立①②③得 b=2.

π? ? 4.(2014·深圳调研)已知△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,sin ?2C- ? 2

?

?

1 2 2 2 = ,且 a +b <c . 2 (1)求角 C 的大小; (2)求

a+b 的取值范围. c
2 2 2

解:(1)因为 a +b <c ,由余弦定理,cos

a2+b2-c2 C= <0,所以 C 为钝角, 2ab

π? 1 π π 3π ? 因为 sin ?2C- ?= ,又 <2C- < , 2 2 2 2 ? ? 2 π 5π 2π 所以 2C- = ,解得 C= . 2 6 3 π π (2)由(1),得 B= -A,0<A< . 3 3

a+b sin A+sin B 根 据 正 弦 定 理 , = = c sin C
1 ? ? 3 ?? 2 ? π? ?sin A+? cos A- sin A??= sin ?A+ 3 ?. ? ? 2 2 ? ? ?? 3

sin

A+sin ? -A? ?3 ?
sin 2π 3



?
= 2 3

6



π π 2π 3 <A+ < ,所以 <sin 3 3 3 2

?A+π ?≤1, ? 3? ? ?

从而

a+b ? 2 3? 的取值范围为?1, ?. c 3 ? ?

5.(2013·福建高考)如图,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ=90°,OP =2 2,点 M 在线段 PQ 上. (1)若 OM= 5,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且∠MON=30°,问:当∠POM 取何值时, △OMN 的面积最小?并求出面积的最小值. 解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°,OM= 5,OP=2 2, 由余弦定理得,OM =OP +MP -2×OP×MP×cos 45°,得 MP -4MP+3=0,解得 MP =1 或 MP=3. (2)设∠POM=α ,0°≤α ≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理,得 = , sin ∠OPM sin ∠OMP
2 2 2 2

OM

OP

OPsin 45° OPsin 45° 所以 OM= .同理 ON= . sin ?45°+α ? sin ?75°+α ?
1 故 S△OMN= ·OM·ON·sin ∠MON 2 1 OP sin 45° = × 4 sin ?45°+α ?sin ?75°+α ? = = 1 sin ?45°+α ?sin ?45°+α +30°? 1 sin ?45°+α ?? = 1 ? 3 ? sin ?45°+α ?+ cos ?45°+α ?? 2 ?2 ? 1 3 1 2 sin ?45°+α ?+ sin ?45°+α ?cos ?45°+α ? 2 2 1 3 1 [1-cos ?90°+2α ?]+ sin ?90°+2α ? 4 4 1 3 3 + sin 4 4 1 2α + cos 4 2α = . 3 1 + sin ?2α +30°? 4 2 1
2 2





因为 0°≤α ≤60°,所以 30°≤2α +30°≤150°, 故当 α =30°时,sin (2α +30°)的最大值为 1,此时△OMN 的面积取到最小值,即

7

∠POM=30°时,△OMN 面积的最小值为 8-4 3.

8


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