2017届高三数学(文)一轮复习课件:3-6 简单的三角恒等变换


第三章 集合与常用逻辑用语

第六节
简单的三角恒等变换
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一、知识清单 微知识? 半角公式
± α sin = 2 ± α tan = 2 1-cosα ± α 2 ,cos = 2 1-cosα 1+cosα 1+cosα 2



1-cosα sinα = = 。 sinα 1+cosα

微知识? 辅助角公式 b a asinx+bcosx= a +b sin(x+φ), 其中 sinφ= 2 cosφ= 2 2, 2。 a +b a +b
2 2

二、小题查验 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”) 1-cosα α (1)当 α 是第一象限角时,sin = 。(×) 2 2 α α 解析:错误。α 在第一象限时,2在第一或第三象限。当2在第一象限
α 时,sin2= 1-cosα α α ;当 在第三象限时, sin 2 2 2=- 1-cosα 2 。

1-cosα (2)对任意角 α,tan 2= 都成立。(× ) 1+cosα


α α π 解析:错误。此式子必须使 tan2有意义且 1+cosα≠0。即2≠kπ+2且 α≠2kπ+π,即 α≠(2k+1)π(k∈Z)。

(3)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的。 ( √)
解析:正确。由半角公式推导过程可知正确。

(4)公式 asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ)中 φ 的取值与 a,b 的值有关。 ( √)
解析:正确。由 cosφ= 的值有关。 a b , sin φ = 2 2 2 2,可知 φ 的取值与 a,b a +b a +b

1 α 2.已知 cosα=3,α∈(π,2π),则 cos2等于( 6 A. 3 3 C. 3 6 B.- 3 3 D.- 3

)

1 α ?π ? α 解析: 因为 cosα= , α∈(π, 2π), 所以 ∈?2,π?, 所以 cos =- 3 2 ? 2 ? 1 1+3 6 =- =- , 2 3 故选 B。 答案:B

1+cosα 2

3.函数 y=2cos 4+1 的最小正周期为________。
x 1+cos 2 1 解析:因为 y=2· 2 +1=cos2x+2, 2π 所以函数的最小正周期 T= 1 =4π。 2 答案:4π

2x

4.若 sin80° =m,则用含 m 的式子表示 cos5° =______。

解析:由题意,得 sin80° =cos10° =m, 又 cos10° =2cos25° -1, 1+m 所以 2cos25° -1=m,cos25° = 2 , 所以 cos5° = 答案: 2+2m 2 1+m 2+2m 2 = 2 。

3 5.函数 y= 2 sin2x+cos2x 的最小正周期为________。

? π? 1 3 3 1 1 2 ? 解析:因为 y= sin2x+cos x= sin2x+ cos2x+ =sin 2x+6?+ ,所以 2 2 2 2 ? ? 2

2π T= =π。 2 答案:π

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三角函数式的化简

sin2α-2cos2α 2 2cosα。 【 典例 1】(1)化简: =________ ? π? sin?α-4?
? ?

1 1 2cos x-2cos x+2 cos2x 2 (2)化简 的结果是______。 ?π ? 2? π? 2tan?4-x?sin ?x+4? ? ? ? ?
4 2

2sinαcosα-2cos2α 解析:(1)原式= =2 2cosα。 2 ?sinα-cosα? 2

(2)原式= ?π ? ? 2?π ? ? ? 2tan 4-x · cos 4-x?
? ? ? ?

1 2cos2x?cos2x-1?+2

-4cos2xsin2x+1 1-sin22x = = ?π ? ?π ? ?π ? 4cos?4-x?sin?4-x? 2sin?2-2x? ? ? ? ? ? ? cos22x 1 = = cos2x。 2cos2x 2

[规律方法] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进 行合理的拆分,从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常 见的有“切化弦”; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如 “遇到分式要通分”等。

【微练 1】化简:
? θ θ? ?1+sinθ+cosθ??sin2-cos2? ? ? (0<θ<π)的结果是__________。 2+2cosθ

解析:原式 ? θ θ θ?? θ θ? θ? θ? θ θ ?2sin cos +2cos2 ??sin -cos ? cos ?sin2 -cos2 ? -cos · 2 2 2?? 2 2? 2? 2? 2 2 cosθ ? = = = 。 θ θ θ |cos | |cos | 4cos22 2 2 θ π 因为 0<θ<π,所以 0< < 。 2 2 θ 所以 cos >0,故原式=-cosθ。 2 答案:-cosθ

微考点? 角度一:给角求值 3 1 【典例 2】 - =( cos10° sin170° A.4 C.-2 B.2 D.-4

三角函数式的求值

)

3sin10° -cos10° 3 1 3 1 解析:cos10° -sin170° =cos10° -sin10° = sin10° cos10° = 2sin?10° -30° ? -2sin20° = 1 =-4。 1 2sin20° 2sin20° 答案:D

角度二:给值求角 1 【典例 3】已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= , 2 1 tanβ=- ,则 2α-β 的值为________。 7
tan?α-β?+tanβ 解析:∵tanα=tan[(α-β)+β]= 1-tan?α-β?tanβ 1 1 2-7 1 π = = > 0 ,∴ 0 < α < 1 1 3 2, 1+2×7 2tanα 3 又∵tan2α= = = >0, ?1?2 4 1-tan2α 1-?3?
? ?

1 2×3

3 1 tan2α-tanβ 4+7 π 1 ∴0<2α<2,∴tan(2α-β)= = 3 1=1。∵tanβ=-7<0, 1+tan2αtanβ 1-4×7 π 3π ∴ <β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=- 。 2 4 3π 答案:- 4

角度三:给值求值
? π? ?5π? 3 【典例 4】已知函数 f(x)=Asin?x+4?,x∈R,且 f?12?=2。 ? ? ? ?

(1)求 A 的值;
?5π? 3 2π 3 解析:(1)由 f?12?=2,得 Asin 3 =2, ? ?

2π 3 又 sin = ,∴A= 3。 3 2

? π? ?3π ? 3 (2)若 f(θ)+f(-θ)=2,θ∈?0,2?,求 f? 4 -θ?。 ? ? ? ? ? π? 解析:(2)由(1)得 f(x)= 3sin?x+4?, ? ?

3 由 f(θ)+f(-θ)= , 2
? π? ? π? 3 得 3sin?θ+4?+ 3sin?-θ+4?= , ? ? ? ? 2

化简得 cosθ=

6 , 4
? 6?2 ?3π ? 10 1-? ? = 4 ,故 f ? 4 -θ? = 3 ? ? ?4 ?

? π? ∵ θ ∈ ?0,2? ,∴ sinθ = 1-cos2θ = ? ? ?3π π? sin? 4 -θ+4?= 3sinθ= 3 ? ?

10 30 = 4 4 。

[规律方法] (1)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函 数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系。 (2)“给角求值”: 一般所给出的角都是非特殊角, 从表面上来看是很难的, 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系, 结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。 (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再 求角的范围,确定角。

【微练 2】(1)4cos50° -tan40° =( C ) A. 2 C. 3 2+ 3 B. 2 D.2 2-1

? π? ? 7π? 4 3 (2)已知 cos?α-6?+sinα= ,则 sin?α+ 6 ?的值是( C ) 5 ? ? ? ?

2 3 A.- 5 4 C.- 5

2 3 B. 6 4 D. 5

sin40° 解析:(1)4cos50° -tan40° =4sin40° -cos40° = = 4cos40° sin40° -sin40° cos40° 2sin80° -sin40° cos40°

2sin?120° -40° ?-sin40° = cos40° 3cos40° +sin40° -sin40° 3cos40° = = cos40° = 3。 cos40°
? π? ? π? 4 4 3 3 3 4 3 ? ? ? (2)cos α-6 +sinα= 5 ?2sinα+ 2 cosα= 5 ?sin α+6?=5, ? ? ? ? ? 7π? ? π? 4 所以 sin?α+ 6 ?=-sin?α+6?=-5。 ? ? ? ?

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三角恒等变换的综合应用
? ?

? π? 【 典例 5】已知函数 f(x)=- 2sin?2x+4?+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R。

(1)求 f(x)的最小正周期;
π π 解析: (1)f(x) =- 2sin2x· cos - 2cos2x· sin + 3sin2x - cos2x = 2sin2x - 4 4
? π? ? 2cos2x=2 2sin 2x-4?。 ? ?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π。 2

? π? (2)求 f(x)在区间?0,2?上的最大值和最小值。 ? ?
? π? π ? π 3 ? 解析:(2)∵x∈?0,2?,∴2x- ∈?-4,4π?, 4 ? ? ? ? ? 3π? ?3π π? 所以 f(x)在区间?0, 8 ?上是增函数,在区间? 8 ,2?上是减函数,又 f(0)=- ? ? ? ? ?3π? ?π? ? π? 2,f? 8 ?=2 2,f?2?=2,故函数 f(x)在?0,2?上的最大值为 2 2,最小值为-2。 ? ? ? ? ? ?

[规律方法] 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通 过变换把函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、 名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题。

1 【微练 3】已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin2x+2cos4x。
2

(1)求 f(x)的最小正周期和最大值;

1 解析:(1)因为 f(x)=(2cos2x-1)sin2x+ cos4x 2 1 =cos2xsin2x+2cos4x 1 = (sin4x+cos4x) 2 π? 2 ? = sin?4x+4?, 2 ? ? π 2 所以 f(x)的最小正周期为2,最大值为 2 。

?π ? 2 (2)当 α∈?2,π?时,若 f(α)= 2 ,求 α 的值。 ? ?

? π? 2 解析:(2)因为 f(α)= 2 ,所以 sin?4α+4?=1。 ? ? ?π ? π ?9π 17π? 因为 α∈?2,π?,所以 4α+ ∈? 4 , 4 ?。 4 ? ? ? ? π 5π 9π 所以 4α+4= 2 。故 α=16。

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α 4 1.(2016· 长治模拟)已知 cos2=5,α∈(0,2π),则 α sin =( 4 A. 10 10 ) B.- 10 10

3 10 C. 10

3 10 D.- 10

α α 解析:角 是 的 2 倍, 2 4 α 4 1-cos 1- 2 5 1 2α 所以 sin = = = 。 4 2 2 10 α ? π? 因为 α∈(0,2π),所以 ∈?0,2?, 4 ? ? α 1 10 所以 sin4= 10= 10 。 答案:A

? π? 2.(2016· 长沙模拟)函数 f(x)=sinx-cos?x+6?的值域为( ? ?

)

A.[-2,2] C.[-1,1]

B.[- 3, 3]
? 3 3? ? D. - , ? 2? ? 2

3 1 解析:f(x)=sinx- 2 cosx+2sinx = 3?
? 3 ? ? π? 1 ? ? ? x - = 3sin sinx- cosx 6?。 2 ? ?2 ?

π x∈R,所以 x- ∈R, 6 所以 f(x)∈[- 3, 3],故选 B。 答案:B

?π? ?π? x 3.(2016· 临沂模拟)已知函数 f(x)=sinx+2 3cos22,设 a=f?7?,b=f?6?,c ? ? ? ? ?π? =f?3?,则 a,b,c 的大小关系是( ? ?

)

A.a<b<c

B.c<a<b

C.b<a<c D.b<c<a
1+cosx ? π? ? 解析:f(x)=sinx+2 3· 2 =sinx+ 3cosx+ 3=2sin x+3?+ 3,
? ? ? π? 因为函数 f(x)在?0,6?上单调递增, ? ? ?π? ?π? ?π? 2π ? ? ? ? ? ? 所以 f 7 <f 6 ,而 c=f 3 =2sin 3 + ? ? ? ? ? ? ?π? π 3=2sin3+ 3=f(0)<f?7?,所以 c<a<b。 ? ?

答案:B

3 4. (2016· 铜陵模拟)已知 α 为第二象限角, sinα+cosα= 3 , 则 cos2α=( 5 5 A.- B.- 3 9 5 5 C. 9 D. 3 3 1 解析:∵sinα+cosα= ,∴(sinα+cosα)2= , 3 3 2 2 ∴2sinαcosα=- ,即 sin2α=- 。 3 3 3 又∵α 为第二象限角且 sinα+cosα= >0, 3 π 3 ∴2kπ+2<α<2kπ+4π(k∈Z), 3 ∴4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z), ∴2α 为第三象限角, 5 ∴cos2α=- 1-sin22α=- 3 。 答案:A

)

5.(2016· 西安模拟)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则 cosθ=________。
解析:f(x)=sinx-2cosx= 5sin(x+φ), π 其中 tanφ=-2,当 x+φ=2kπ+ (k∈Z)时, 2 π 函数 f(x)取得最大值,即 θ=2kπ+ -φ。 2
?π ? 所以 cosθ=cos?2-φ?=sinφ, ? ?

又因为 tanφ=-2,φ 在第四象限, 2 5 2 5 所以 sinφ=- 5 ,即 cosθ=- 5 。 2 5 答案:- 5


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