高考数学(文科)题型复习:三角函数(解答题第一题)


题型一:三角函数及恒等变换
三角函数可以转化为: a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ?) ,其中 tan ? ? 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

b a

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ,

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? , cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? , tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
2.二倍角与半角公式:

sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?升幂公式? tan 2? ?
sin 2 ? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

1 ? cos 2? ? 2 ? ? ? ?1 ? cos 2? ? 2sin ? 2 (降幂公式) ?? ? 1 ? cos 2? ? ? 1 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? 2 ? cos ? ? ? 2 ?

3.常见形式: y ? a sin 2 x ? b sin x cos x ? cos2 x 型 例 1.已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) 。 (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 [0, (2)若 f ( x0 ) ?

?
2

] 上的最大值和最小值;

6 ? ? , x0 ? [ , ] ,求 cos 2 x0 的值。 5 4 2

1

例 2、求函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ? 2 sin 2 x 的最小正周期

例 3、已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [ ?

? 6

? ? , ] 上的最大值和最小值。 6 4

2

例 4、设 a ? R, f ? x ? ? cos x ?a sin x ? cos x ? ? cos 2 ?

? ?? ? ? x ? 满足 f ( ? ) ? f (0) ,求函数 f ( x) 在 3 ?2 ?

? ? 11? ? 上的最大值和最小值 , ? ? 4 24 ? ?

题型二: y ? a sin x ? b sin x ? c 或 y ? a cos x ? b sin x ? c 的函数求最值是都可以通过适当变换,通过
2

2

配方法来求解。 例 1、求使函数 y ? ? cos x ? 3 sin x ?
2

5 取得最大值和最小值时 x 的取值,并求出函数的最大值和最小 4

值。

3

例 2、已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。
2

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。

题型三:解三角形 1、正弦定理:在△ABC 中,

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
2 2 2 cosA= b ? c ? a

2、余弦定理:a2=b2+c2﹣2bccosA b2=a2+c2﹣2accosB

2bc

cosB=

a2 ? c2 ? b2 2ac

c2=a2+b2﹣2abcosC

cosC=

a2 ? b2 ? c2 2ab

4

例 1、若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC (A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. (B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

例 2. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

两种方法 1、 角的关系转化为边的关系
5

例 1.在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。

例 2、在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,求角 A
2 2 2

例 3.在 ?ABC 中, a , b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (1)求 A 的大小 (2)求 sin A ? sin B ? sin C 的最大值

6

2、 边的关系转化为角的关系 例 1、 ?ABC 中, a tan B ? b tan A ,试判断 ?ABC 的形状
2 2

例 2.在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

7

8


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