高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2.1双曲线的简单几何性质课后提升训练(含解析)新人教A版选修11


双曲线的简单几何性质 (45 分钟 70 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.双曲线 - =1 与 - =λ (λ ≠0)有相同的 ( ) AC..实渐轴近线 B.焦D点.以上都不是 拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小 心为兄弟 ,以希 望为哨 兵。 【解析】选 C.由题可知, - =1 的渐近线为 y=± x. - =λ 的渐近线为 y=± x, 所以它们有相同的渐近线. 2.等轴双曲线的一个焦点是 F1(-6,0),则它的标准方程是 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【解析】选 B.设等轴双曲线方程为 - =1(a>0), 所以 a2+a2=62,所以 a2=18, 故双曲线方程为 - =1. 【补偿训练】以椭圆 + =1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 或 - =1 D.以上都不对 【解析】选 C.当顶点为(±4,0)时,a=4,c=8,b=4 ,双曲线方程为 - =1;当顶点为(0, ±3)时,a=3,c=6,b=3 ,双曲线方程为 - =1. 3.(2015·全国卷Ⅰ)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 的左、右两个焦 1 点.若 · <0,则 y0 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.由双曲线方程可知 F1(- ,0),F2( ,0), 因为 · <0,所以(- -x0)( -x0) +(-y0)(-y0)<0. 即 + -3<0,所以 2+2 + -3<0, < , 所以- <y0< . 4.(2016·浙江高考)已知椭圆 C1: +y2=1(m>1)与双曲线 C2: -y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率,则 ( ) A.m>n 且 e1e2>1 B.m>n 且 e1e2<1 C.m<n 且 e1e2>1 D.m<n 且 e1e2<1 【解析】选 A.由题意知 m2-1=n2+1, 即 m2=n2+2,(e1e2)2= · = , 因为 m2=n2+2,m>1,n>0, 所以 m>n,(e1e2)2>1, 所以 e1e2>1. 5.若双曲线 x2-y2=1 的左支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离为 ,则 a+b 的值为 () A.- B. C.-2 D.2 【解析】选 A.由题意知 a2-b2=1,(a-b)(a+b)=1, = ,|a-b|=2, 因为(a,b)在双曲线的左支上, 所以 a-b<0,所以 a+b=- . 2 6.若双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,则双曲线焦点 F 到渐近线的距离为 () A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选 B.由已知可知双曲线的焦点在 y 轴上, 所以 = = .所以 m=9. 所以双曲线的焦点为(0,± ),焦点 F 到渐近线的距离为 d=3. 7.(2017·郑州高二检测)双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.双曲线的渐近线为直线 y=± x,即 x±2y=0,顶点为(±2,0),所以所求距离为 d= =. 8.过双曲线一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ,F1 是另一个焦点,若∠PF1Q= ,则双曲线的离 心率 e 等于 ( ) A. -1 B. C. +1 D. +2 【解析】选 C.△PF1F2 是等腰直角三角形,|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|=2 c, |PF1|-|PF2|=2a,2 c-2c=2a,e= = 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) = +1. 9.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4, 方程为________________. ),且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的标准 【解析】根据双曲线渐近线方程为 y=± x, 可设双曲线的方程为 -y2=m, 把(4, )代入 -y2=m,得 m=1. 3 答案: -y2=1 【拓展延伸】求双曲线方程的两个关注点 1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注 意焦点的位置,从而正确选择方程的形式. 2.利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐近线的双曲线系方程 - =λ (λ ≠0),这 样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确性. 10.(2016·北京高考)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为 ( ,0),则 a=________,b=________. 【解题指南】焦点在 x 轴的双曲线的渐近线为 y=± x,焦点(±c,0). 【解析】因为渐近线方程 y=-2x,所以 =2①.焦点( 由①②联立解得 a=1,b=2. 答案:1 2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) ,0),所以 c= .所以 a2+b2=c2=5②. 11.(2017·济南高二检测)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在 双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,求双曲线离心率 e 的最大值. 【解析】设∠F1PF2=θ ,由 得 所以 cosθ = 所以 e2= = - e2, . 因为 cosθ ∈[-1,1],所以 1<e≤ ,所以 e 的最大值为 . 12.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1,F2 分别为左、右焦点,双曲线的左 支上有一点 P,∠F1PF2= ,且△PF1F2 的面积为 2 ,

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