2019-2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.2.1两角和与差的正弦函数素材北师大版必修4.doc


2019-2020 学年高中数学第三章三角恒等变换 3.2.1 两角和与差的正 弦函数素材北师大版必修 4
“问题是数学的心脏” , 在两角和与差的三角函数的学习中, 面对这一节公式较多, 题型也多情况下,有必要整理本节的知识结构,减少学习困难和压力,下面是我把这一节书 归结为以下主要问题,进行教学,引导学生解决问题。 一 公式的内在联系问题 指导学生填写下表: 1) 以- ? 代 ? S( ? ? ? ) S( ? ? ? ) C( ? ? ?
)

C( ? ? ?

)

相 除 以- ? 代 ? T( ? 2) S( ? C( ?

相 除

?? )
令? ??

T( ?

??

)

?? ) ?? )
相 除 令? ??

S2 ? C2 ?

)

相 除

T( ?

?? )

T

2?

在此基础上,我让学生从 C (? ? ? ) 这个公式推导其它所有公式,并写成小论文形式. 两角和与差三角函数公式,倍角公式是学好这一节内容的关键,对于公式教多情况下, 不易记忆,这就有必要指导学生发现公式的内在联系,这样能帮助学生理解和记忆公式,并 且培养了学生的逻辑思维能力和创新能力. 二.典型例题分析

例1

?1? 化简 sin?2 A ? B ? ? 2 cos ? A ? B ?;
sin A 5 3

?2? 已知 ?、?为锐角 ,cos ? ? 4 ,tan?? ? ?? ? ? 1 ,求 cos ?的值 .

思路分析: 角度变换是三角恒等变换的首选方法, 解答本例要注意对题中角间的关系进 行分析,如(1)中有 2A+B=(A+B)+A,(2)中有β =α -(α -β ),抓住了这些 关系后,再恰当地运用公式,问题便不难 sin ? ?? A ? B ? ? A ? ? ? 2 cos ? A ? B ? sin A 解决了.
解:

?1?

原式 ? ? ? ?

sin ? A ? B ? cos A ? cos ? A ? B ? sin A sin ? ?? A ? B ? ? A ? ? sin A sin B sin A . sin A

sin A

(2)解法一:

? ?是锐角 , cos ? ?

4 3 , ? sin ? ? . 5 5 ? ? 又 ? ?、?为锐角 , ? ? ? ? ? ? ? . 2 2 1 ? tan ?? ? ? ? ? ? , 可求出 3
cos?? ? ? ? ? 3 10 10 , sin?? ? ? ? ? ? , 10 10

? cos ? ? cos?? ? ?? ? ? ??

? cos? cos?? ? ? ? ? sin? sin?? ? ? ? 4 3 10 3 ? 10 ? ? ? ? ?? ? 5 10 5? ? 10 ? 9 ? 10. 50 ?

解法二 : ??是锐角, cos? ?

4 , 5

? sin ? ?

3 3 ,tan ? ? . 5 4

? tan ? ? tan?? ? ?? ? ? ?? ?

tan ? ? tan?? ? ? ? 1 ? tan ? tan?? ? ? ? 3 1 ? 13 ? 4 3 ? . 3 1 9 1? ? 4 3

又∵β 是锐角, 9 ? cos ? ? 10. 50 点评:对角间的关系进行分析,主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系,以便通过 角度变换,减少不同角的个数.它实际上是一种基本量方法,即把题中某些角作为基本量, 其他角用基本量表示出来,达到变形的目的.

例2

(1)如果方程 x 2 ? bx ? c ? 0?c ? 1?的两根为 tanα 、tanβ ,求

sin 2 ?? ? ? ? ? b sin?? ? ? ?cos?? ? ? ? ? c cos2 ?? ? ? ?的值;
(2)在非直角△ABC 中,求证:tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC. 思路分析:观察(1)中待求式特点,须先求出α +β 的一个三角函数值,由韦达定理 和和角正切公式特点,可先求 tan(α +β ).根据(2)中恒等式的结构特点,可利用和 角正切公式的变形 tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ )将左边的正切和转化 为右边的正切积. 解:(1)由韦达定理,得
?tan ? ? tan ? ? ?b, ? ?tan ? ? tan ? ? c.

? tan?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ?b ? . 1? c

? 原式 ? cos 2 ?? ? ? ? ? tan 2 ?? ? ? ? ? b tan?? ? ? ? ? c 1 ? ? tan 2 ?? ? ? ? ? b tan?? ? ? ? ? c 2 1 ? tan ?? ? ? ?

?

?

?

?

2 ? ?1 ? c ?2 ? b2 ? ?b ? ? ? c? ? ? ? 2 2 1? c ?1 ? c ? ? b ? ?? 1 ? c ? ? ? 2 2 2 ?1 ? c ? ? c?b ? ?1 ? c ? ? ? ?1 ? c ?2 ? b 2 ?1 ? c ?2

?

? c.

(2)∵A+B+C=π ,∴A+B=π -C, ? tan A ? tan B ? tan C ? tan? A ? B ??1 ? tan A ? tan B ? ? tan C ? ? tan C ?1 ? tan A ? tan B ? ? tan C ? tan A ? tan B ? tan C. 点评:含α 、β 两角的正切和与正切积的式子,用和、差角正切公式的变形比较容易处 理. 例 3 化简 ?1? sin 7? ? cos15? sin8? . sin 7? ? sin15? sin8?

?2?

2 sin 50? ? sin80? 1 ? 3 tan10? 1 ? 2 sin 50? cos 50?

?

?.

思路分析:对于(1),三个角的关系非常明显,结合和、差角三角函数公式的特点, 易进行角度变换 7°=15°-8°.对于(2),一方面应由诱导公式将 80°角变换成 10° 的角,另一方面应将切化成弦.

解 : ?1? 原式 ?

sin?15? ? 8?? ? cos15? sin 8? cos?15? ? 8?? ? sin15? sin 8? sin15? cos 8? ? ? tan15? cos15? cos 8? ? tan?60? ? 45?? ? ? tan 60? ? tan 45? 1 ? tan 60? tan 45? 3 ?1 1? 3 ? 2 ? 3.

解 : ?1? 原式 ?

sin?15? ? 8?? ? cos15? sin 8? cos?15? ? 8?? ? sin15? sin 8? sin15? cos 8? ? ? tan15? cos15? cos 8? ? tan?60? ? 45?? ? ? tan 60? ? tan 45? 1 ? tan 60? tan 45? 3 ?1 1? 3 ? 2 ? 3.

点评:数值角三角式的化简,在变形过程中应注意产生特殊角,并设法将非特殊的三角 函数值约掉或消掉.
1 1 2 ? ?? , 求o s c cos A cos C cos B

例4 的值.

已知△ABC 中的三内角 A、 B、 C 成等差数列, 且

A?C 2

思路分析:本题中角间关系较为隐蔽,注意到 B ? 60? ?

A?C A?C A?C ,而 A ? , ? 2 2 2

C?

A?C A?C A?C .取 作为基本量,就找到了解决本题的突破口. ? 2 2 2 解:由已知,B=60°,A+C=120° 设 A?C ? ? ,则 2 A?C A?C A? ? ? 60? ? ? , 2 2
A?C A?C ? ? 60? ? ? . 2 2
1 1 ? cos A cos C 1 1 ? ? cos?60? ? ? ? cos?60? ? ? ? 1 1 ? ? 1 3 1 3 cos? ? sin? cos? ? sin? 2 2 2 2 cos? cos? ? ? . 1 3 3 2 2 2 cos ? ? sin ? cos ? ? 4 4 4

C?


依题设有

cos? cos2 ? ? 3 4

??

2 ? ?2 2 cos B

整理得 : 4 2 cos2 ? ? 2 cos? ? 3 2 ? 0,

?2 cos? ? 2 ??2

2 cos? ? 3 ? 0.

?

? 2 2 cos? ? 3 ? 0,
? 2 cos? ? 2 ? 0.
故 cos A?C 2 ? . 2 2

点评:本题实际上是把题设等式看成一个方程,上述解法体现了方程思想的应用. 已知 sin ? ? sin ? ? ? , cos ? ? cos ? ?

例5 的值.

1 3

1 ,α 、β 都是锐角,求 tan(α -β ) 2

错解 : 由

1 ? sin? ? sin ? ? ? ? ? 3 ? 1 ?cos? ? cos ? ? ? 2 ?



1 ? 2 sin ? ? 2 sin ? sin ? ? sin 2 ? ? ? ? 9 ? ?cos2 ? ? 2 cos ? cos? ? cos2 ? ? 1 ? 4 ?
13 59 ? cos ?? ? ? ? ? 36 72

① ②

① ? ②得 2 ? 2 cos ?? ? ?? ?
又?

?
2

?? ?? ?

?
2

? sin ?? ? ? ? ? ? 1 ? cos2 ?? ? ? ? ? ?

1703 72

故 tan?? ? ? ? ?

sin ?? ? ? ? 1703 ?? cos?? ? ? ? 59

1 ? sin ? ? sin ? ? ? ? 0 ,可知α -β <0,于是有 ? ? ? ? ? ? 0 . 3 2

点评:上述错解未挖掘出角的隐含条件.事实上,由于α 、β 为锐角,且

正解 : tan?? ? ?? ? ?

1703 59


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