回归课本之排列组合、概率统计


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解排列组合问题的方法: 3.解排列组合问题的方法

排列组合

二项式定理

概率

统计
(一)特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法 特殊元素、 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其 特殊元素 特殊位置优先法(元素优先法 他元素;位置优先法 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置) 。 位置优先法 练习( 练习 (1)某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位 个位上的数字(如 2816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选 0. 千位、百位上都能 取 0. 这样设计出来的密码共有_______种(答:100) ; (2)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成无重复数字的四位偶数_______个(答: 156) ; (3)四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。①恰有两个空盒的放法有 __________种;②甲球只能放入第 2 或 3 号盒,而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有_________ 种(答:84;96) ; (二)至多至少、正难则反 问题间接法 至多至少、 问题间接法。 至多至少 至少有 2 名女同学当选的选法有_______种 (答: 练习 1 从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人, 596) 2.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“ ×××××××0000 ”到 “ ×××××××9999 ”共 10000 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或“ 7 ”的一 律作为“优惠卡” ,则这组号码中“优惠卡”的个数为_5904__ 3. 安排 3 名支教老师去 6 所学校任教, 每校至多 2 人, 则不同的分配方案共有

一 、排列组合 二项式定理
1.排列数 1.排列数 An 中 n ≥ m ≥ 1, n、m ∈ N 、组合数 Cn 中 n ≥ m, n ≥ 1, m ≥ 0, n、m ∈ N .
m m

(1)排列数公式 (1)排列数公式

Anm = n ( n ? 1)( n ? 2)L ( n ? m + 1) =

n! n ( m ≤ n ) ; An = n ! = n(n ? 1)(n ? 2)L 2 ? 1 。 ( n ? m )!
(答:3) ;

* 练习( ( 练习 (1)1!+2!+3!+…+n! n ≥ 4, n ∈ N )的个位数字为

(2)满足 A < 6 A
x 8

x ?2 8

的x=

(答:8)

(2)组合数公式 (2)组合数公式
m Cn = m An n ? (n ? 1) ?L ? (n ? m + 1) n! 0 = = (m ≤ n) ;规定 0 = 1 , Cn = 1 . ! m Am m ? (m ? 1) ?L ? 2 ? 1 m!( n ? m )!

练习已知 Cn + Cm +1 + An = 6 ,求 n,m 的值(答:m=n=2) 练习
m n m
m m m?1 m n k k ?1 (3) 排 列 数 、 组 合 数 的 性 质 : ① Cn = Cn ?m ; ② Cn = Cn?1 + Cn?1 ; ③ kCn = nCn ?1 ;

210

种.

④C +C
r r

r r +1

+C

r r +2

+ L+ C = C
r n

r +1 n+1 ;⑤

n 1 1 n ? n ! = (n + 1)!? n !;⑥ = ? . (n + 1)! n ! (n + 1)!

2.解排列组合问题的依据是 分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的, 解排列组合问题的依据是:分类相加 2.解排列组合问题的依据是 分类相加 一次的且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事) 分步相乘(一步得出的结果 ,分步相乘 分步相乘 都不是最后的结果, 任何一步都不能独立地完成这件事, 只有各个步骤都完成了, 才能完成这件事, 各步是关联的) 有序排列,无序组合 ,有序排列 无序组合. 有序排列, 练习( 练习 (1)将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有 种(答: 3 ) ;
5

(三)先组合后排列 先组合后排列。 先组合后排列 练习 1 某种产品有 4 只次品和 6 只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一只测试, 直到 4 只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时,被发现的不同情况种数是_____ (答:576) 。 2.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班, 不同的安排方法共有 240 种. (四)相邻问题捆绑法 相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普 相邻问题捆绑法 通元素”全排列,最后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置上全排列) 。 练习( 练习 (1)把 4 名男生和 4 名女生排成一排,女生要排在一起,不同的排法种数为_____(答: 2880) ; 某人射击8枪, 命中4枪, 4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为_____ ( 2) (答:20) ; (五)不相邻(相间)问题插空法 不相邻( 不相邻 相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空 法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间) 。 练习( 练习 (1)3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______ 种(答:24) ; (2)某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如 果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为_____(答:42) 。 (六)定序问题 定序问题 练习( 练习 (1)书架上有 3 本不同的书,如果保持这些书的相对顺序不便,再放上 2 本不同的书, 有 种不同的放法(答:20) ; (2)百米决赛有 6 名运动 A、B、C、D、E、F 参赛,每个运动员的速度都不同,则运动
1 页

(2)从集合 {1, 2,3} 和 {1, 4,5, 6} 中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确
4

定不同点的个数是___(答:23) ; 组(答: 7 ) (3)满足 A U B U C = {1,2,3,4} 的集合 A、B、C 共有 (4) ∠A 的一边 AB 上有 4 个点,另一边 AC 上有 5 个点,连同 ∠A 的顶点共 10 个点, 以这些点为顶点,可以构成_____个三角形(答:90) ; (5)用六种不同颜色把右图中 A、B、C、D 四块区域分开,允许 A 同一颜色涂不同区域, 但相邻区域不能是同一种颜色, 则共有 种不同 C B 涂法(答:480) ; (6)同室 4 人各写 1 张贺年卡,然后每人从中拿 1 张别人送出的 贺年卡,则 4 张贺年卡不同的分配方式有 种(答:9) ; D ( 7 ) f 是 集 合 M = {a, b, c} 到 集合 N = {?1, 0,1} 的 映射 , 且 个(答:7) ;

f (a ) + f (b) = f (c) ,则不同的映射共有



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员 A 比运动员 F 先到终点的比赛结果共有_____种(答:360) ; (3)学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩 xi ∈ {89,90, 91, 92, 93}(i = 1, 2, 3, 4) 且满 足 x1 < x2 ≤ x3 < x4 ,则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种(答:15) ; ( 4 ) 设集合 A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} ,对任意 x ∈ A ,有 f (1) < f (2) < f (3) ,则映射

时取最大值。 ; 练习( 练习 (1)在二项式 ( x ? 1) 的展开式中,系数最小的项的系数为______(答:-462)
11

。 (2)在 (1 + x ) 的展开式中,第十项是二项式系数最大的项,则 n =____(答:17,18 或 19)
n
0 1 r (3)二项式系数的和: Cn + Cn + L + Cn + L + Cn = 2 ; )二项式系数的和:

n

n

f : A → A 的个数是_____(答: C83 85 ) ;
(5)如果一个三位正整数形如“ a1 a 2 a3 ”满足 a1 < a 2 且a 3 < a 2 ,则称这样的三位数为 凸数(如 120、363、374 等) ,那么所有凸数个数为_____(答:240) ; (6).将数字 1,2,3,4,5,6 拼成一列,记第 i 个数为 ai (i = 1, L, ,若 a1 ≠ 1 , a3 ≠ 3 , 2, 6)
1 2

0 1 3 Cn + Cn2 + ??? = Cn + Cn + ??? 2

= 2 n ?1 。
0 1 2

练习如果 1 + 2Cn + 2 Cn + L + 2 Cn = 2187 ,则 Cn + Cn + Cn + L + Cn = 练习
n n n

(答:128) ;

a5 ≠ 5 , a1 < a3 < a5 ,则不同的排列方法种数为 30
(七)相同元素分组可采用隔板法 相同元素分组可采用隔板法。 相同元素分组可采用隔板法 练习 10 个相同的球各分给 3 个人,每人至少一个,有多少种分发?每人至少两个呢?(答: 36;15) ; 。 4、分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成 n 组问题别忘除以 n! 分组问题 平均分成 若把他们分配到 4 所学校去为学生体检, 每所学 练习 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组, 校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种(答:37440) ;

“奇数 (偶次)项”系数 7、赋值法:应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为 f (1) 、 赋值法 和为 [ f (1) ? f ( ?1)] ,以及“偶数 (奇次)项”系数和为 [ f (1) + f ( ?1)] 。 练习(1) 练习 ( 已知 (1 ? 3 x ) = a0 + a1 x + a2 x + L + a9 x , a0 + a1 + | a2 | + L + | a9 | 等于_____ 则
9 2 9

1 2

1 2

(答: 49 ) ;

设 (2) (1 + x + x ) = a 0 + a1 x + a 2 x + L + a 2 n x
2 n 2

2n

,则 a 0 + a 2 + L + a 2 n = _____ (答:
2 11

r 0 1 r 5.二项式定理 5.二项式定理:(a + b)n = Cn a n + Cn a n ?1b + L + Cn a n? r b r + L + Cnnb n ,其中组合数 Cn 叫做 二项式定理 r n? r r 第 r+1 项的二项式系数;展开式共有 n+1 项,其中第 r+l 项 Tr +1 = Cn a b ( r = 0,1, 2, L , n) 称为

3n + 1 ) 。 2

(3) .设 ( x + 1)(2 x + 1) = a0 + a1 ( x + 2) + a2 ( x + 2) + L + a11 ( x + 2) ,
2 9

二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项. 特别提醒: 项的系数与二项式系数是不同的两个概念, 但当二项式的两个项的系数都为 1 时, 特别提醒 (1) 系数就是二项式系数。如在 ( ax + b) n 的展开式中,第r+1项的二项式系数为 Cn ,第r+1项的
r

则 a0 + a1 + a2 + L + a11 的值为-2 8、系数最大项的求法:设第 r 项的系数 Ar 最大,由不等式组 ? 系数最大项的求法 练习求 ( x ? 练习

系数为 Cn a

r

n?r

1 b r ;而 ( x + )n 的展开式中的系数就是二项式系数; x

? Ar ≥ Ar ?1 确定 r 。 ? Ar ≥ Ar +1

(2)当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数; (3)审题时要注意区分所求的是项还是第几项?求的是系数还是二项式系数?
3 练习( 练习 (1) (2 x ?

1 7 ) 的展开式中常数项是____(答:14) ; x 3 3 4 10 ; (2) (1 + x) + (1 + x ) + L + (1 + x ) 的展开式中的 x 的系数为______ (答:330)
n?m

13 x )10 的展开式中,系数的绝对值最大的项和系数最大的项。 (答:系数绝对 2 13 9 105 3 2 值最大的项为 ?15 x ,系数最大的项为 x ) 8
二项式定理的应用:二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用 9、二项式定理的应用 其首尾几项进行放缩证明不等式。 练习( ; 练习 (1) 1 + 3 + 3 + L + 3 被 4 除所得的余数为_____(答:0)
2 99

6、二项式系数的性质: 二项式系数的性质: (1)对称性 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 C n = C n 对称性
m



n +1 n +1 r r 时,二项式系数 C n 的值逐渐增大,当 r ≥ 时,C n 的值 2 2 n n 逐渐减小,且在中间取得最大值。当 n 为偶数时,中间一项(第 +1 项)的二项式系数 C n2 取得 2 n ?1 n +1 n +1 n +1 最大值。当 n 为奇数时,中间两项(第 和 +1 项)的二项式系数 Cn 2 = Cn 2 相等并同 2 2
(2)增减性与最大值 增减性与最大值:当 r ≤ 增减性与最大值
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二、概率
1.随机事件 A 的概率 0 ≤ P ( A) ≤ 1 ,其中当 P ( A) = 1 时称为必然事件;当 P ( A) = 0 时称为 不可能事件 P(A)=0; 等可能事件的概率(古典概率) P(A)= 2.等可能事件的概率 等可能事件的概率 :

的概率是_______(答:

4 ) ; 9

(2)冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶,每次饮用时从中任意取 1 瓶甲种或乙种饮料,取用 甲种或乙种饮料的概率相等, 则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下 3 瓶的概率为__________ (答:

m 。理解这里 m、n的意义。 n 3 ) ; 8

15 ) 128
提醒: 提醒: (1) 探求一个事件发生的概率,关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想 ) 和分解(分类或分步)转化思想处理,把所求的事件:转化为等可能事件的概率(常常采用 排列组合的知识);转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率;利用对立事件的概率, 转化为相互独立事件同时发生的概率; 看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率, 但要注意公式的使用条件。 (2) 事件互斥是事件独立的必要非充分条件,反之,事件对立是事件互斥的充分非必要条件; ) , ;②列式计算;③作答。 (3)概率问题的解题规范:①先设事件 A=“…” B=“…” )

练习( 练习 (1)将数字 1、2、3、4 填入编号为 1、2、3、4 的四个方格中,每格填一个数字,则每 个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______(答:

(2)设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率:①从中任取 2 件都是次品; ②从中任取 5 件恰有 2 件次品;③从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品;④从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 (答:①

2 10 44 10 ;② ;③ ;④ ) 15 21 125 21

。计算公式:P(A+B)=P(A)+P(B)。 3、互斥事件: 互斥事件 (A、B 互斥,即事件 A、B 不可能同时发生) 练习( 练习 (1)有 A、B 两个口袋,A 袋中有 4 个白球和 2 个黑球,B 袋中有 3 个白球和 4 个黑球,从 A、B 袋中各取两个球交换后,求 A 袋中仍装有 4 个白球的概率。 (答:

8 ) ; 21

三、统计
1.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1)1≥ Pi ≥ 0(i = 1, 2,L) ; (2) P + P2 + L = 1 . 1 练习 (1).设随机变量ξ的概率分布为 P(ξ= k )= ) (2)已知随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ P 1 2 3 2 2 32 3 2 33 4 5 2 2 4 3 35 2 2 A. 9 B. 10 3 3

(2)甲、乙两个人轮流射击,先命中者为胜,最多各打 5 发,已知他们的命中率分别为 0.3 和 0.4,甲先射,则甲获胜的概率是(0.425=0.013,结果保留两位小数)______(答:0.51) ; 对立事件: 。计算 4、对立事件 (A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一个发生) 公式是:P(A)+ P(B)=1;P( A )=1-P(A); 独立事件: (事件 A、B 的发生相互独立,互不影响)P(A?B)=P(A) ? P(B) 。 5、独立事件: 提醒: 提醒 (1)如果事件 A、B 独立,那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件 A 与 B 也都是独立事件; (2)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是 1-P(A ? B)=1 -P(A)P(B); (3)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个发生的概率是 1-P( A ? B )=1 -P( A )P( B )。

a , a 为常数, k = 1,2,…,则 a =______. 5k
6 2 36 1 C. 9 3 7 2 37 D. 8 2 38 9 2 39 10 m

1 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不 9 2 发生的概率相同,则事件 A 发生的概率 P(A)是______(答: ) ; 3
练习(1)设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 练习( (2)袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的 概率是________(答:

则 P (ξ = 10) = ( ).

1 310
k k n?k

2.二项分布:记作 ξ ~B(n,p),其中 n,p 为参数, P (ξ = k ) = C n p q
k C n p k q n ? k = b ( k ; n, p ) ;

, 并记

1 ) ; 9

3.数学期望

6、独立事件重复试验:事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 k 次的概率 ..... .
k Pn ( k ) = C n p k (1 ? p ) n ? k (是二项展开式 [(1 ? p) + p]n 的第 k+1 项),其中 p 为在一次独立重复试

Eξ = x1 P + x2 P2 + L + xn Pn + L 1
(2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Eξ = np . 4 .数学期望的性质 (1) E ( aξ + b) = aE (ξ ) + b .

验中事件 A 发生的概率。 练习( 练习 (1)小王通过英语听力测试的概率是

1 ,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过 3
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(3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ = k ) = g (k , p ) = q 5.方差

k ?1

p ,则 Eξ =
2

1 . p

卡片号码 取到的次数

1 13

2 8

3 5

4 7

5 6

6 13

7 18

8 10

9 11

10 9

Dξ = ( x1 ? Eξ ) ? p1 + ( x2 ? Eξ ) ? p2 + L + ( xn ? Eξ ) ? pn + L
2 2

则取到号码为奇数的频率是() (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.37

6.标准差

σξ = Dξ .
7.方差的性质 (2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Dξ = np (1 ? p ) .
(3)

(1) D ( aξ + b ) = a Dξ ;
2

11.正态分布密度函数
? 1 f ( x) = e 2π 6

( x ? ? )2
262

q k ?1 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ = k ) = g (k , p ) = q p ,则 Dξ = 2 . p
2

, x ∈ ( ?∞, +∞ ) ,式中的实数μ, σ ( σ >0)是参数,分别表示个体

的平均数与标准差. 正态曲线的性质: (1)曲线在 x= ? 时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线 逐渐降低; (2)曲线的对称轴位置由确定;曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖;反过来曲线 越高瘦; (3)曲线在 x 轴上方,并且关于直线 x= ? 对称; 利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布 N ( ? , σ 2 ) 的概率 P(x1< ξ <x2),可

8.方差与期望的关系

Dξ = Eξ 2 ? ( Eξ ) .
9.掌握抽样的三种方法: (1)简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)(2)系统抽样,也叫 ; 等距离抽样; (3)分层抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形; 练习(1)将全班女学生(或男学生)按座位编号,制作相应的卡片号签,放入同一个箱子里均匀搅 练习 拌 . 从中 抽出 8 个号签 ,就 相应的 8 名 学生 对看足 球比 赛的 喜欢程 度进行 调查 , 这里运 用了 抽取样本的_________方法. (2)一个礼堂有 30 排座位,每排有 40 个座位.一次报告会礼堂坐满了听众.会后为听取意见留下了 抽取样本的方法. 座号为 14 的所有 30 名听众进行座谈. 这里运用了 (3)某市的 3 个区共有高中学生 20000 人,且 3 个区的高中学生人数之比为 2:3:5,现要用分层抽样 方法从所有学生中抽取一个容量为 200 的样本,这 3 个区分别应抽取 人. (4) 某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他 们中抽取一个容量为 36 的样本,则适合的抽样方法是 A 简单随机抽样 B 系统抽样 C 分层抽样 D 先从老年人中剔除一人,然后分层抽样 10.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容 量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图; 练习 (1)为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况,得 到频率分布直方图,如右,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的 频数成等差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a, b 的值分别为( ) A.0,27,78 B.0,27,83 C.2.7,78 D.2.7,83 (2) 从存放号码分别为 1,2,…,10 的卡片的盒子中,在放回地取 100 次,每次取一张卡 片并记下号码,统计结果如下:

x??
由变换

σ

= t 而得 F ( x) = φ (

x??

σ

) ,于是有 P(x1< ξ <x2)= φ (

x2 ? ?

σ

) ? φ(

x1 ? ?

σ

);

12.标准正态分布密度函数
x ? 1 f ( x) = e 2 , x ∈ ( ?∞, +∞ ) . 2π 6 13.对于 N ( ? , σ 2 ) ,取值小于 x 的概率 ? x?? ? F ( x) = Φ ? ?. ? σ ? P ( x1 < x0 < x 2 ) = P ( x < x 2 ) ? P ( x < x1 )
2

= F ( x2 ) ? F ( x1 )

? x ?? ? ? x1 ? ? ? = Φ? 2 ??Φ? ?. ? σ ? ? σ ?
14. 在某项测量中, 测量结果 ξ 服从正态分布 N (1,σ 2 )(σ > 0) . ξ 在 (0, 内取值的概率为 0.4, 若 1) 则 ξ 在 (0, 内取值的概率为 2) .0.8

(10)以 φ ( x ) 表示标准正态总体在区间( ? ∞, x )内取值的概率,若随机变量 ξ 服从正态分布

N ( ? , σ 2 ) ,则概率 P ( ξ ? ? < σ ) 等于
(A) φ ( ? + σ ) - φ ( ? ? σ ) (B) φ (1) ? φ ( ?1)



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(C) φ (

1? ?

σ

)

(D) 2φ ( ? + σ )

B1 表示事件: “购买该商品的 3 位顾客中恰有 1 位采用分期付款” .
则 B = B0 + B1 .
1 P ( B0 ) = 0.63 = 0.216 , P ( B1 ) = C3 × 0.6 2 × 0.4 = 0.432 .

19. (本小题满分 12 分) 栽培甲、 乙两种果树, 先要培育成苗, 已知甲、 乙两种果树成苗的概率分别为 0.6 , .. 然后再进行移栽. ..

0.5 ,移栽后成活的概率分别为 0.7 , 0.9 . ..
(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率; .. (2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率. .. .. 19.解:分别记甲、乙两种果树成苗为事件 A1 , A2 ;分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件 B1 ,

P ( B ) = P ( B0 + B1 )

= P ( B0 ) + P ( B1 )
= 0.216 + 0.432 = 0.648 .
18. (本小题满分 12 分) 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球, 乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球. 现从甲、 乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 ξ 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ξ 的分布列和数学期望. 18.本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识, 考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)解:设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A , “从乙盒内取出的 2 个球均为黑球” 为事件 B .由于事件 A B 相互独立,且 P ( A) = ,

B2 , P( A1 ) = 0.6 , P( A2 ) = 0.5 , P( B1 ) = 0.7 , P( B2 ) = 0.9 .
(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为

P( A1 + A2 ) = 1 ? P( A1 A2 ) = 1 ? 0.4 × 0.5 = 0.8 ;
(2)解法一:分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件 A,B , 则 P ( A) = P ( A1 B1 ) = 0.42 , P ( B ) = P ( A2 B2 ) = 0.45 . 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

P ( AB + AB ) = 0.42 × 0.55 + 0.58 × 0.45 = 0.492 .
解法二:恰好有一种果树栽培成活的概率为

P( A1 B1 A2 + A1 B1 A2 B2 + A1 A2 B2 + A1 A2 B1 B2 ) = 0.492 .某商场经销某商品,顾客可采用一次性付
款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是 0.6,经销一件该商品,若 顾客采用一次性付款,商场获得利润 200 元;若顾客采用分期付款,商场获得利润 250 元. (Ⅰ)求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求 3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元的概率. 18.解: (Ⅰ)记 A 表示事件: 3 位顾客中至少 1 位采用一次性付款” “ ,则 A 表示事件: 3 位顾客中无人采 “ 用一次性付款” .

C32 1 C2 2 = , P ( B ) = 42 = . C42 2 C6 5
1 2 1 × = . 2 5 5

· )P 故取出的 4 个球均为黑球的概率为 P ( A B ) = P ( A· ( B ) =

(Ⅱ)解:设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是 黑球”为事件 C , “从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个球均 为黑球”为事件 D .由于事件 C,D 互斥, 且 P (C ) =
1 C32 C2 C4 4 C1 C 2 1 ·1 · 2 = , P ( D) = 3· 4 = . 2 2 C4 C6 C4 C62 5 15

P ( A) = (1 ? 0.6) 2 = 0.064 , P ( A) = 1 ? P ( A) = 1 ? 0.064 = 0.936 .
(Ⅱ)记 B 表示事件: 3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元” “ .

4 1 7 + = . 15 5 15 1 7 (Ⅲ)解: ξ 可能的取值为 0,2,.由(Ⅰ)(Ⅱ)得 P (ξ = 0) = , P (ξ = 1) = 1 3 , , , 5 15
故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 P (C + D ) = P (C ) + P ( D ) =

B0 表示事件: “购买该商品的 3 位顾客中无人采用分期付款” .
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P(ξ = 3) =

1 C3 1 1 3 · 2 = .从而 P (ξ = 2) = 1 ? P (ξ = 0) ? P (ξ = 1) ? P (ξ = 3) = . 2 C4 C6 30 10

ξ 的分布列为 ξ
P
0 1 2 3

7 3 1 15 10 30 1 7 3 1 7 ξ 的数学期望 Eξ = 0 × + 1× + 2 × + 3 × = . 5 15 10 30 6

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