安徽省合肥一六八中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理(宏志班)


合肥一六八中学 2018/2019 学年第二学期期中考试 高二数学(理)试卷----宏志班
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? A. 第一象限 B. 第二象限

2?i 在复平面内对应的点所在的象限为( 4 ? 2i
C. 第三象限 D. 第四象限



2.有一段“三段论”,推理是这样的:对于可导函数 f ( x ) ,如果 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是 函数 f ( x ) 的极值点,因为 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以 x ? 0 是函数

f ( x) ? x3 的极值点.以上推理中(
A. 大前提错误 3.函数 y ? B. 小前提错误

) C. 推理形式错误 ) D. (0,+∞) ) D. 结论正确

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为( 2
B. (0,1) C. (1,+∞)

A. (-1,1) 4.由曲线 y ? A. 6 B. 4

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的平面图形的面积为(
C.

10 3

D.

16 3

5. 利用数学归纳法证明“ ? n ?1?? n ? 2?

? n ? n? ? 2n ?1? 3?
)

? ? 2n ?1? , n ? N* ”时,从

“ n ? k ”变到“ n ? k ? 1 ”时,左边应増乘的因式是 ( A. 2k ? 1 B.

2k ? 1 k ?1
:若 ,

C.

? 2k ?1?? 2k ? 2?
, ,且 ) 全为正数

D. 2 ? 2k ?1? ,则 , , , 中至少有

6. 给出一个命题

一个小于零.在用反证法证明 A. , , , C. , , , 中至少有一个正数 全都大于或等于

时,应该假设 ( B. , , , D. , , ,

中至多有一个负数

7. 三角形的面积为 S ?

1 ? a ? b ? c ? ? r ,( a, b, c 为三角形的边长, r 为三角形的内切圆的 2
)

半径)利用类比推理,可以得出四面体的体积为 ( A. V ?

1 abc ( a, b, c 为底面边长) 3
-1-

B. V ?

1 ? S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? r ( S1, S2 , S3 , S4 分别为四面体四个面的面积,r 为四面体内切球 3

的半径)

1 Sh ( S 为底面面积, h 为四面体的高) 3 1 D. V ? ? ab ? bc ? ac ? h ( a, b, c 为底面边长, h 为四面体的高) 3
C. V ? 8.函数 f ( x) ? x ln x ,正确的命题是( )

A.值域为 R

B.在?1 , +?? 上是增函数
D.过(1,0)点的切线有两条
) D. c ? b ? a

C.f(x)有两个不同零点
9.设 a ? sin1 , b ? 2 sin A. a ? b ? c

1 1 , c ? 3sin ,则( 2 3
C. c ? a ? b

B. a ? c ? b

10.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 图象上任一点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y ? y0 ?

( x0 ? 2)( x02 ?1)( x ? x0 ) ,那么函数 f ( x) 的单调减区间是(



A.??1, ???

B.? ??, 2?

C.??1,1?, ?2, ???


D.? ??, ?1?, ?1,2?

11.关于函数 f ? x ? ?

2 ? lnx ,下列说法错误的是( x

A. x ? 2 是 f ? x ? 的最小值点 B. 函数 y ? f ? x ? ? x 有且只有 1 个零点 C. 存在正实数 k ,使得 f ? x ? ? kx 恒成立 D. 对任意两个不相等的正实数 x1 , x2 ,若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4 12.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数, f ( x) ? 2 ? f ?( x) , f (0) ? 1 ,则不等式

ln ? f ( x) ? 2? ? x ? ln3 的解集为(
A.

) C.

? ??,0?

B.

? 0, ???

? ??,1?
第Ⅱ卷

D. ?1, ?? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 已知 a ?

?1

?

1

1 ? x 2 dx ,则 a 的值为



-2-

14. 已知 ?ABC的三边a, b, c 既成等差数列,又成等比数列,则 ?ABC 的形状是_______. 15. 设 a 为实数,若函数 f ? x ? ? 3 ? x ? 1 ? x ? a 存在零点,则实数 a 的取值范围 是 .

16.如果函数 y ? f ( x) 在其定义域上有且只有两个数 x0 ,使得

f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ,那么我们就 x0

称函数 y ? f ( x) 为“双 T 函数” ,则下列四个函数中:① y ? x2 ? 1, ② y ? e x , ③ y ? ln x , ④

y ? sin x ? 1 ,为“双 T 函数”的是

.(写出所有正确命题的序号)

三、解答题:共 6 大题,写出必要的解答过程.满分 70 分. 17.(本小题 10 分)已知复数 z ? (a2 ? 4) ? (a ? 2)i, a ? R . (Ⅰ)若 z 为纯虚数,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 z 在复平面上对应的点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,求实数 a 的值.

18. (本小题 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项之积为 Tn ,并满足 Tn =1 ? an (n ? N ) . (1)求 a1 , a2 , a3 ; (2)证明:数列 ?

?1? ? 为等差数列. ? Tn ?

19. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? b 在 x ? ?2 处有极值. 3
-3-

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ? ?3,3? 上有且仅有一个零点,求 b 的取值范围.

20. (本小题 12 分) (Ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),O 是坐标原点,且 A, B, O 不共线, 求证: S ?OAB ?

1 x1 y2 ? x2 y1 ; 2

(Ⅱ)设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 .证明:

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

21. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1;

( x ? 1) 2 . 2

(Ⅲ) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ?( 1 , x )0 时,恒有 f ? x ? ? k ? x ?1? .

22. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 1, g ( x) ? ln x ? a(a ? R) .
2

-4-

(Ⅰ)讨论函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调性; (Ⅱ)若存在与函数 f ( x), g ( x) 的图象都相切的直线,求实数 a 的取值范围.

参考答案 1-12 13-16 D A B D D C B B A D C A ①③

? 2

等边三角形

??2,2?

17.解: Ⅰ 若 z 为纯虚数,则 Ⅱ 在复平面上对应的点 在直线 解得 . 上,则

,且 , ,

,解得实数 a 的值为 2;

1 2 3 , a2 ? , a3 ? 2 3 4 n (2)猜测: an ? ,并用数学归纳法证明(略) n ?1
18.解: (1) a1 ?

Tn =1 ? an ? 1
或: T
n ?1

1 1 ,? ? n ? 1 ,结论成立。 n ? 1 Tn

?

a 1 ? an?1 1 1 ? ? n?1 ? ?1 Tn Tn?1 Tn?1 Tn?1
2

19.解: (Ⅰ) f ?( x) ? x ? 2ax

由题意知: f ?(?2) ? 4 ? 4a ? 0 ,得 a=-1, 令 f ?( x) ? 0 ,得-2<x<0,

2 ∴ f ?( x) ? x ? 2 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x<-2 或 x>0,

∴f(x)的单调递增区间是(- ,-2)和(0,+ ) ,单调递减区间是(-2,0) 。 (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,f(x)=

1 3 x ? x2 ? b , 3
-5-

f(-2)=

4 ? b 为函数 f(x)极大值,f(0)=b 为极小值。 3

∵函数 f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点, ∴?

? f (?3) ? 0 ? f (3) ? 0 ? f (?3) ? 0 ? f (?2) ? 0 ? f (?3) ? 0 或? 或? 或? 或? ? f (0) ? 0 ? f (?2) ? 0 ? f (3) ? 0 ? f (3) ? 0 ? f (0) ? 0
,∴ ?18 ? b ? ?



?18 ? b ? 0 ? 即 ?4 ?b ? 0 ? ?3
20.证明: (1)略.
2 2

4 4 ,即 b 的取值范围是 [ ?18, ? ) 。 3 3

a b c (2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c, b c a a b c 故 b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c), a b c 即 + + ≥a+b+c. b c a a b c 所以 b + c + a ≥1. 21.解: (I) f ? ? x ? ? 由 f ? ? x? ? 0 得 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

1 ? x2 ? x ? 1 ? x ?1 ? , x ? ? 0, ??? . x x
解得 0 ? x ?

?x ? 0 ?? x ? x ? 1 ? 0
2

1? 5 . 2

故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0,

? 1? 5 ? ?. ? 2 ? ? ?

(II)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1? , x ? ? 0, ??? . 则有 F? ? x ? ?

1 ? x2 . x

当 x ? ?1, ?? ? 时, F? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故当 x ? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1. (III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? ,则 f ? x ? ? k ?x ?1? ,从而不存在 x0 ? 1

-6-

满足题意. 当 k ? 1 时,令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ??? , 则有 G? ? x ? ?

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 . ? x ?1? k ? x x

由 G? ? x ? ? 0 得, ? x2 ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .

解得 x1 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 0 , x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 1.

当 x ? ?1, x2 ? 时, G? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内单调递增. 从而当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? x ? ? G ?1? ? 0 , 即 f ? x ? ? k ? x ?1? , 综上, k 的取值范围是 ? ??,1? . 22. (1)函数 h( x) 的定义域为 (0, ??)

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x2 ? ax ? ln x ? a ? 1( x ? 0) ,
所以 h?( x) ? 2 x ? a ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? x x

2 所以当 ? ? a ? 8 ? 0 即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, h?( x) ? 0 , h(x)在 ? 0, ??? 上单调递增;
2 当 ? ? a ? 8 ? 0 即 a ? 2 2或a ? ?2 2 时,

当 a ? ?2 2 时 h?( x) ? 0 ,h(x)在 ? 0, ??? 上单调递增; 当 a ? 2 2 时,令 h?( x) ? 0 得 x ?

a ? a2 ? 8 , 4
? a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ? , ? ? ? ? 4 4 ? ?


x

? a ? a2 ? 8 ? ? 0, ? ? ? 4 ? ?
+ 增

? a ? a2 ? 8 ? , ?? ? ? ? ? 4 ? ?
+ 增

h?( x) h( x )

综上:当 a ? 2 2 时,h(x)在 ? 0, ??? 上单调递增; 当 a ? 2 2 时 h( x) 在 ? 0,

? ? ?

? a ? a2 ? 8 ? ? a ? a2 ? 8 , ?? ? 单调递增,在 ? ,? ? ? ? 4 4 ? ? ?
-7-

? a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ? , ? ? 单调递减。 ? ? 4 4 ? ?
(2)设函数 f ( x) 上点 ( x1 , f ( x1 )) 与函数 g ( x) 上点 ( x2 , g ( x2 )) 处切线相同, 则 f ?( x1 ) ? g ?( x2 ) ? 所以 2 x1 ? a ? 所以 x1 ?

f ( x1 ) ? g ( x2 ) x1 ? x2

1 x12 ? ax1 ? 1 ? (ln x2 ? a) ? x2 x1 ? x2

x ?x 1 a ? ,代入 1 2 ? x12 ? ax1 ? 1 ? ln x2 ? a 得: x2 2 x2 2
设 F ( x) ?

1 a a2 ? ? ln x2 ? ? a ? 2 ? 0(*) 2 4 x2 2 x2 4
F ?( x) ? ? 1 a 1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ? ? 2 x3 2 x 2 x 2 x3

1 a a2 ? ? ln x ? ? a ? 2 ,则 2 4x 2x 4

不妨设 2 x02 ? ax0 ? 1 ? 0( x0 ? 0) 则当 0 ? x ? x0 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? x0 时, F ?( x) ? 0 所以 F ( x) 在区间 (0, x0 ) 上单调递减,在区间 ( x0 , ??) 上单调递增, 代入 a =2 x0 ?

1 1 可得: F ( x)min ? F ( x0 ) ? x0 2 ? 2 x0 ? ? ln x0 ? 2 x0 x0

设 G( x) ? x2 ? 2x ?

1 1 1 ? ln x ? 2 ,则 G?( x) ? 2 x ? 2 ? 2 ? ? 0 对 x ? 0 恒成立, x x x

所以 G ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增,又 G (1)=0 所以当 0 ? x ≤ 1 时 G ( x) ≤ 0 ,即当 0 ? x0 ≤1 时 F ( x0 ) ≤ 0 , 又当 x ? e 2 ? a 时 F ( x) ?

1 a a2 1 1 2?a ? ? ln e ? ? a ? 2 ? ( 2 ? a ? a) 2 ? 0 4?2 a 2?a 4e 2e 4 4 e

因此当 0 ? x0 ≤1 时,函数 F ( x) 必有零点;即当 0 ? x0 ≤1 时,必存在 x 2 使得 (*) 成立; 即存在 x1 , x2 使得函数 f ( x) 上点 ( x1 , f ( x1 )) 与函数 g ( x) 上点 ( x2 , g ( x2 )) 处切线相同. 又由 y ? 2 x ? 在(0,1) 单调递增得,因此 a =2 x0 ? 所以实数 a 的取值范围是 ? ??,1? .

1 x

1 , x0 ? ? 0,1? x0

-8-

-9-


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