【必备精品】2019高中数学 第三章 3.1.1 方程的根与函数的零点学案 新人教A版必修1


3.1.1 方程的根与函数的零点 学习目标: 1. 理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系. ( 易混点 )2. 会求函数的零 点.(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数.(难点) [自 主 预 习·探 新 知] 1.函数的零点 对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 思考 1:函数的零点是函数与 x 轴的交点吗? [提示] 不是.函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与 x 轴交点的横坐标. 2.方程、函数、函数图象之间的关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 3.函数零点的存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0.那么, 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x) =0 的根. 思考 2:该定理具备哪些条件? [提示] 定 理 要 求 具 备 两 条 : ① 函 数 在 区 间 [a , b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ; [基础自测] 1.思考辨析 (1)所有的函数都有零点.( ) ) ) (2)若方程 f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2,则函数 y=f(x)的零点为(x1,0)(x2,0).( (3)若函数 y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有 f(a)·f(b)<0.( [答案] (1)× (2)× (3)× 2.函数 y=2x-1 的零点是( A. 1 2 ) ②f(a)·f(b)<0. ?1 ? B.? ,0? ?2 ? D.2 ? 1? C.?0, ? ? 2? 1 A [由 2x-1=0 得 x= .] 2 3.函数 f(x)=3 -4 的零点所在区间为( A.(0,1) C.(2,3) 2 x ) 【导学号:37102345】 B.(-1,0) D.(1,2) D [由 f(1)=3-4=-1<0,f(2)=9-4=5>0 得 f(x)的零点所在区间为(1,2).] 4.二次函数 y=ax +bx+c 中,a·c<0,则函数有________个零点. 两 [由 Δ =b -4ac>0 得二次函数 y=ax +bx+c 有两个零点.] -12 2 [合 作 探 究·攻 重 难] 求函数的零点 ?x +2x-3,x≤0, ? (1)求函数 f(x)=? ? ?-2+ln x,x>0 2 的零点; 2 (2)已知函数 f(x)=ax-b(a≠0)的零点为 3,求函数 g(x)=bx +ax 的零点. 【导学号:37102346】 [解] (1)当 x≤0 时,令 x +2x-3=0,解得 x=-3; 当 x>0 时,令-2+ln x=0,解得 x=e . ? ?x +2x-3,x≤0 所以函数 f(x)=? ?-2+ln x,x>0 ? 2 2 2 的零点为-3 和 e . 2 (2)由已知得 f(3)=0 即 3a-b=0,即 b=3a. 故 g(x)=3ax +ax=ax(3x+1). 令 g(x)=0,即 ax(3x+1)=0, 1 解得 x=0 或 x=- . 3 1 所以函数 g(x)的零点为 0 和- . 3 [规律方法] 函数零点的求法 代数法:求方程 f x =0 的实数根. 几何法:对于不能用求根公式的方程 f x =0,可以将它与函数 y=f 起来 图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点 2 x 的图象联系 [跟踪训练] 1.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出;否则,请说明理由. (1)f(x)=x +7x+6; (2)f(x)=1-log2(x+3); (3)f(x)=2 (4)f(x)= x-1 2 2 -3; x +4x-12 . x-2 2 [解] (1)解方程 f(x)=x +7x+6=0, 得 x=-1 或 x=-6, 所以函数的零点是-1,-6. (2)解方程 f(x)=1-log2(x+3)=0,得 x=-1,所以函数的零点是-1. (3)解方程 f(x)=2 (4)解方程 f(x)= x-1 -3=0,得 x=log26,所以函数的零点是 log26. x +4x-12 =0,得 x=-6,所以函数的零点为-6. x-2 -2- 2 判断函数零点所在的区间 2 (1)函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( x ) A.(3,4) C.(1,2) B.(2,e) D.(0,1) x (2)根据表格内的数据,可以断定方程 e -x-3=0 的一个根所在区间是( ) 【导学号:37102347】 x e x -1 0.37 2 0 1 3 B.(0,1) D.(2,3) 1 2.72 4 2 7.39 5 3 20.08 6 x+3 A.(-1,0) C.(1,2) (1)C (2)C 增, 2 [(1)因为 f(1)=ln 2- <0,f(2)=ln 3-1>0,且函数 f(x)在(0,+∞)上单调递 1 所以函数的零点所在区间为(1,2).故选 C. (2)构造函数 f(x)=e -x-3,由上表可得 f(-1)=0.37-2=-1.63<0, x f(0)=1-3=-2<0, f(1)=2.72-4=-1.28<0, f(2)=7.39-5=2.39>0, f(3)=20.08-6=14.08>0, f(1)·f(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选 C.] [规律方法] 判断函数零点所在区间的三个步骤 代入:将区间端点值代入函数求出函数的值 判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断 结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数, 则在该区间内无零点,若符号为负且 函数连续,则在该区间内至少有一

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