2015-2016学年人教B版高中数学必修2习题第一章立体几何初步综合测试1BWord版含解析


第一章综合测试(B)

时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只

有一个是符合题目要求的)

1.(2015·山东莱州市高一期末测试)在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,DD1 与 BB1 所在直线 是( )

A.相交

B.平行

C.不垂直的异面直线

D.垂直的异面直线

[答案] A

[解析] 根据棱台的定义可知,DD1 与 BB1 延长后一定交于一点,故选 A.

2.不在同一直线上的五个点,最多能确定平面的个数是( )

A.8

B.9

C.10

D.12

[答案] C

[解析] 要确定平面个数最多,须任意四点不共面,从 A、B、C、D、E 五个点中任取三

个点确定一个平面,即 ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE 共

10 种情况,选 C.

3.给出四个命题:

①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;

②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体;

③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱;

④长方体一定是正四棱柱.

其中正确的命题个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

[答案] A

[解析] 反例:①直平行六面体底面是菱形,满足条件但不是正方体;②底面是等腰梯形

的直棱柱,满足条件但不是长方体;③④显然错误,故选 A. 4.下列几何体各自的三视图中,只有两个视图相同的是( )

A.①③ C.②④ [答案] C

B.②③ D.③④

[解析] 正方体和球体的三个视图都相同,故选 C.

5.(2015·广东东莞市高一期末测试)若球的半径扩大到原来的 2 倍,那么其体积扩大到原

来的( )倍

A.64

B.16

C.8

D.4

[答案] C

[解析] 设球的半径为 R,其体积 V=43πR3,当球半径扩大到原来的 2 倍时,其体积 V′

=43π(2R)3=8V.

6.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( )

A.121

B.5

C.92

D.4

[答案] D

[解析] 本题考查三视图,棱柱体积公式.由三视图知该几何体为直六棱柱.其底面积为

S=2×[12(1+3)×1]=4,高为 1.所以体积 V=4,由“长对正、宽相等、高平齐”确定几何体

的形状及尺寸、角度等.

7.(2015·安徽安庆市高一教学质量调研监测)已知平面 α、β 和直线 m,给出条件:①m∥

α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β,能推出 m∥β 的是( )

A.①④

B.①⑤

C.②⑤

D.③⑤

[答案] D

[解析]

m?α? ??m∥β,故选 D.
α∥β ?

8.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若点 E 为 A1C1 上的一点,则直线 CE 一定 垂直于( )

A.AC C.A1D [答案] B

B.BD D.A1D1

[解析] 由 BD⊥AC,BD⊥AA1 易知 BD⊥平面 A1ACC1,而 CE?平面 A1ACC1,故 BD⊥CE.

9.已知圆柱的侧面展开图矩形面积为 S,底面周长为 C,它的体积是( )

A.4Cπ3S

B.4Cπ3S

C.C2πS

D.S4Cπ

[答案] D

??Ch=S

[解析] 设圆柱底面半径为 r,高为 h,,则?



??C=2πr

∴r=2Cπ,h=CS ,

∴V=πr2·h=π??2Cπ??2·CS =S4Cπ .

10.(2015·辽宁沈阳二中高一期末测试)三棱锥 P-ABC 三条侧棱两两垂直,三个侧面面

积分别为 22、 23、 26,则该三棱锥的外接球的表面积为( )

A.4π

B.6π

C.8π

D.10π

[答案] B

[解析] 设 PA=a,PB=b,PC=c,

??ab= 2

??a2=1

? ? 则 ac= 3 ,解得 b2=2 .

??bc= 6

??c2=3

a2+b2+c2 6

∴外接球的半径 R=

2

=2.

∴外接球的表面积 S=4πR2=6π.

11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF =12,则下列结论中错误的是( )

A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 [答案] D [解析] 由正方体 ABCD-A1B1C1D1 得 B1B⊥面 AC,

∴AC⊥B1B,又∵AC⊥BD,BD∩B1B=B, ∴AC⊥面 BDD1B1,BE?面 BDD1B1, ∴AC⊥BE,故 A 正确. 由正方体 ABCD-A1B1C1D1 得 B1D1∥BD, B1D1?面 ABCD,BD?面 ABCD, ∴B1D1∥面 ABCD,∴EF∥面 ABCD,故 B 正确. VA-BEF=12AC×12BB1×EF=13×12×12× 22=242. ∴三棱锥 A-BEF 的体积为定值,故 C 正确. 因线段 B1D1 上两个动点 E、F,且 EF=12, 当 E、F 移动时,A 到 EF 的距离与 B 到 EF 的距离不相等, ∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等,故 D 不正确. 12.已知圆锥的母线长为 5 cm,圆锥的侧面展开图如图所示,且∠AOA1=120°,一只蚂 蚁欲从圆锥底面上的点 A 出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点 A.则蚂蚁爬行的最短路程为( )

A.8 cm C.10 cm

B.5 3 cm D.5π cm

[答案] B

[解析] 连接 AA1,作 OC⊥AA1 于 C,因为圆锥的母线长为 5 cm,

∠AOA1=120°,所以 AA1=2AC=5 3 cm. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.(2015·宁夏银川一中高一期末测试)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角 梯形 ABCD,如图所示,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,这个平面图形的面积为________.

[答案]

2+

2 2

[解析]

[1+?1+

22?]×

2 2

2 ?2+ 2 ?

S 直观图=

2

=4

2 =

22+14.

S直观图 2

又= S平面图

4



21

? 2 +4?

2

∴S 平面图= 2 =2+ 2 .

4

14.(2015·湖南益阳市高一期末测试)已知两个球的表面积之比为 径之比为__________.
[答案]

,则这两个球的半

[解析] 设两球的半径分别为 R1、R2,由题意得 4πR21 R22= ,

∴R1 R2= 15.已知平面 α、β 和直线 m,给出以下条件:①m∥α,②m⊥α;③m?α;④α∥β.要使 m⊥β,则所满足的条件是________. [答案] ②④

[解析]

m⊥α?? ??m⊥β.
α∥β ??

16.已知点 P、A、B、C、D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边 长为 2 3的正方形,若 PA=2 6,则△OAB 的面积为________.
[答案] 3 3 [解析] 本题考查了与球有关的几何问题.

如图,连接 AC.

∵PA⊥平面 ABCD,

∴PA⊥AC,

故 PC 为球的直径,取 CP 中点 O,取 AC 中点 O′,则 OO′=12PA= 6.

又 AC=2 6,PA=2 6.

PC=4 3.

∴半径 R= OC=OA=OB=AB=2 3,∴S△OAB=3 3. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)一个棱锥的底面是边长为 a 的正三角形,它的一个侧面也是正三角 形,且这个侧面与底面垂直,求这个棱锥的体积和全面积. [解析] 如图所示,平面 ABC⊥平面 BCD,△ABC 与△BCD 均为

边长为 a 的正三角形,取 BC 中点 E,连接 AE,则 AE⊥平面 BCD,

故棱锥 A-BCD 的高为 AE,△BCD 的面积为 43a2, AE= 23a, ∴VA-BCD=13·43a2·23a=18a3. 连接 DE,∵AE⊥平面 BCD,DE?平面 BCD,∴AE⊥DE,

在 Rt△AED 中,AE=ED= 23a,

∴AD=

2·23a=

6 2 a.

取 AD 中点 F,连接 CF,则 CF⊥AD.

在 Rt△CDF 中,DF=12·26a= 46a,

∴CF= CD2-DF2=

a2-?? 46a??2=

10 4 a.

∴S△ACD=12AD·CF=12× 26a× 410a= 815a2.

∵△ABD≌△ACD,S△ABD= 815a2.

故 S 全面积= 43a2+ 43a2+2×

815a2=2

3+ 4

15 a2.

∴棱锥的体积为 18a3,全面积为2

3+ 4

15 a2.

18.(本题满分 12 分)(2015·辽宁沈阳二中高一月考)如图,矩形 AMND 所在平面与直角梯 形 MBCN 所在的平面垂直,MB∥NC,MN⊥MB.
(1)求证:平面 AMB∥平面 DNC; (2)若 MC⊥CB,求证:BC⊥AC.

[解析] (1)∵四边形 AMND 是矩形, ∴AM∥DN,又∵MB∥NC, AM∩MB=M,DN∩NC=N, ∴平面 AMB∥平面 DNC. (2)∵平面 AMND⊥平面 MBCN, 平面 AMND∩平面 MBCN=MN,AM⊥MN, ∴AM⊥平面 MBCN,∴AM⊥BC. ∵BC⊥MC,AM∩MC=M,∴BC⊥平面 AMC,∴BC⊥AC. 19.(本题满分 12 分)(2015·广东清远市高一期末测试)如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,点 D 是 AB 的中点.

(1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1.
[解析] (1)∵AC=3,BC=4,AB=5, ∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC. 又∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC⊥CC1,CC1∩BC=C, ∴AC⊥平面 BB1C1C,∴AC⊥BC1. (2)如图,设 BC1 交 B1C 于点 E,连接 DE.
∵D 为 AB 的中点,E 为 BC1 的中点,∴DE∥AC1. 又∵AC1?平面 CDB1,DE?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. 20.(本题满分 12 分)(2014·福建文,19)如图,三棱锥 A-BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD ⊥BD.

(1)求证:CD⊥平面 ABD; (2)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A-MBC 的体积. [解析] (1)∵AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD,

∴AB⊥CD.

又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,

AB?平面 ABD,BD?平面 ABD,

∴CD⊥平面 ABD.

(2)由 AB⊥平面 BCD,得 AB⊥BD,

∵AB=BD=1,∴S△ABD=12.

1

1

∵M 是 AD 的中点,∴S△ABM=2S△ABD=4.

由(1)知,CD⊥平面 ABD,

∴三棱锥 C-ABM 的高 h=CD=1,

因此三棱锥 A-MBC 的体积

1

1

VA-MBC=VC-ABM=3S△ABM·h=12.

21.(本题满分 12 分)如下三个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观 图,右面是它的主视图和左视图(单位: cm).
(1)画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连接 BC′,证明:BC′∥平面 EFG.

[解析] (1)如图.
(2)所求多面体的体积 V=V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6-13×(12×2×2)×2=2384(cm3). (3)证明:如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,连接 AD′,
则 AD′∥BC′, 因为 E、G 分别为 AA′、A′D′中点, 所以 AD′∥EG, 从而 EG∥BC′, 又 BC′?平面 EFG, 所以 BC′∥平面 EFG. 22.(本题满分 14 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂 直,△ABE 是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.
(1)求证:EF⊥平面 BCE; (2)设线段 CD 的中点为 P,在直线 AE 上是否存在一点 M,使得 PM∥平面 BCE?若存在, 请指出点 M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. [解析] (1)因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD,BC⊥AB,平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 BC⊥平面 ABEF.所以 BC⊥EF.

因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,所以∠AEB=45°. 又因为∠AEF=45°,所以∠FEB=45°+45°=90°, 即 EF⊥BE. 因为 BC?平面 BCE,BE?平面 BCE,BC∩BE=B, 所以 EF⊥平面 BCE. (2)存在点 M,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥平面 BCE,
取 BE 的中点 N,连接 CN、MN, 则 MN 綊12AB 綊 PC, 所以四边形 PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN. 因为 CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, 所以 PM∥平面 BCE.


相关文档

2015-2016学年人教B版高中数学必修2习题第一章立体几何初步1.1.1Word版含解析
《高中同步测控优化设计》2015-2016学年高二生物人教版必修三习题第1章人体的内环境与稳态第1、2章测评AWor
《高中同步测控优化设计》2015-2016学年高二生物人教版必修三习题第6章生态环境的保护第6章测评AWord版含答
2015-2016年人教版九年级上第25章概率初步单元测试题含答案
《高中同步测控优化设计》2015-2016学年高二生物人教版必修三习题第3章植物的激素调节第3章测评AWord版含答
《高中同步测控优化设计》2015-2016学年高二生物人教版必修三习题第4章种群和群落第4章测评BWord版含答案
初二下册数学 2015-2016年人教版八年级下第16章二次根式同步练习题及答案
2015-2016学年广东省高二政治同步练习:第8课《唯物辩证法的发展观》(人教版必修4)
2015-2016学年数学人教A版必修3课时作业第1章算法初步章末复习课
2015-2016届高一人教版生物必修同步练习:第6章第2节《细胞的分化》
电脑版