2018-2019学年(新课标)北师大版高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》章末检测A及解析


(新课标)2017-2018 学年北师大版高中数学选修 2-1 第二章 空间向量与立体几何(A) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.以下命题中,不正确的个数为( ) ①|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件;②若 a∥b,则存在唯一的实数λ,使 a =λb;③若 a·b=0,b·c=0,则 a=c;④若 a,b,c 为空间的一个基底,则 a+b, b+c,c+a 构成空间的另一个基底; ⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|. A.2B.3C.4D.5 → → → → 2.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B等于( ) A.a+b-cB.a-b+c C.-a+b+cD.-a+b-c 3.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y),若 a∥b,则( ) 15 A.x=6,y=15B.x=3,y= 2 15 C.x=3,y=15D.x=6,y= 2 → 4.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3,且 a 分别与AB, → AC垂直,则向量 a 为( ) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C.(1,1,1)或(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1) → → 5.已知 A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则 sin〈AB,CD〉等于( ) 2 2 5 5 A.- B. C. D.- 3 3 3 3 6.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2BB1,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( ) A.60°B.90°C.105°D.75° 7. 若两个不同平面α, β的法向量分别为 u=(1,2, -1),v=(-3,-6,3), 则( A.α∥βB.α⊥β C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确 → 8.若两点 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x 的值等于( 8 8 19 A.19B.- C. D. 7 7 14 9. ) ) 如图所示,在四面体 P—ABC 中,PC⊥平面 ABC,AB=BC=CA=PC,那么二面角 B—AP—C 的余弦值为( ) 2 3 7 5 A. B. C. D. 2 3 7 7 → → 10.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,则 sin〈DB1,CM〉的值等于( ) 1 210 A. B. 2 15 C. 2 11 D. 3 15 题 答 号 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若 a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=______. 12. 若三点 A(1, -2,1), B(4,2,3), C(6, -1,4), 则△ABC 的形状是________________. 13.如图所示, 1 1 已知正四面体 ABCD 中, AE= AB, CF= CD, 则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为________. 4 4 14.平面α的法向量为(1,0,-1),平面β的法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β 所成二面角的大小为________. 15. ? ? π?? 如图所示,已知二面角α—l—β的平面角为θ?θ∈?0, ??,AB⊥BC,BC⊥CD,AB 在平 2 ?? ? ? 面β内,BC 在 l 上,CD 在平面α内,若 AB=BC=CD=1,则 AD 的长为______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(12 分)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,CA1⊥BC1.求证:AB1=CA1. 17.(12 分)已知四边形 ABCD 的顶点分别是 A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1, -3),D(3,-5,3). 求证:四边形 ABCD 是一个梯形. 18.(12 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点. (1)求证:EF∥平面 ACD1; (2)求异面直线 EF 与 AB 所成角的余弦值. 19.(12 分) 如图所示,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠ BCD. 求证:C1C⊥BD. 20.(13 分) 如图,在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB= 60°,求 OA 与 BC 所成角的余弦值. 21.(14 分) 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC,CC1 上的点,CF=AB=2CE,AB∶ AD∶ AA1=1∶ 2∶ 4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明 AF⊥平面 A1ED; (3)求二面角 A1—ED—F 的正弦值. 第二章 1.C [只有命题④正确.] 2.D 空间向量与立体几何(A) → → → → → → → → → [如图,A1B=AB-AA1=CB-CA-AA1=CB-CA-CC1=b-a-c.] 3=2λ ? ? 3.D [∵a∥b,∴存在实数λ,使?x=4λ ? ?y=5λ x=6 ? ? ,∴? 15 y= ? 2 ? .] → 4.C [设 a=(x,y,z),∵AB=(-2,-1,3), → → → AC=(1,-3,2),又|a|= 3,a⊥AB,a⊥AC, x +y +z =3, ? ? ∴?-2x-y+3z=0, ? ?x-3y+2z=0. 2 2 2 x=1, ? ? ∴?y=1, ? ?z=1 x=-1, ? ? 或

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