福建省南安一中高二数学下学期期中考试试题 理【会员独享】


福建省南安一中 2011-2012 学年高二下学期期中考试数学(理)试题
本试卷考试内容为:选修 2-2 和 2-3.分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) ,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.考生作答时,请将答案答在答题纸上,在本试卷上答题无效.按照题号在各题的答题 区域内作答,超出答题区域书写的答案无效. 3.答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题纸纸面清洁,不破损.考试结束后,将本试卷自行保存,答题纸交回.

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,只有一个选项正确,请把答案填在答题卡上) : 1. (

i
) A. i















a 1? i ? 1? i i
C. ? 2 i





a







B. ?i

D. 2i

2. 5 个 代 表 分 4 张 同 样 的 参 观 券 , 每 人 最 多 分 一 张 , 且 全 部 分 完 , 那 么 分 法 一 共 有 ( )
4 A. A5 种

B. 4 种

5

C. 5 种

4

4 D. C5 种

3. 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N (3,1) , 且 P( 2 ? X ? 4 )=0.6826 , 则 P( X ? 4 ) = ( ) A.0.1588 4. ( 设 i ) A. 4i B. ? 4i C. 6 D. ?6 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585

为 虚 数 单 位 , 则

(i ? 1)4 的 展 开 式 中 的 第 三 项 为

x 5. 如图,由函数 f ( x) ? e ? e 的图象,直线 x ? 2 及 x 轴所围成的阴影部分面积等于


2

) B. e ? 2e
2

A. e ? 2e ? 1

e2 ? e C. 2

D. e ? 2e ? 1
2

6. 某城市汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,其中 4 个数字互不相同的牌照号 码 共 有 ( )
1 2 4 A. (C26 ) A10 种 2 4 B. A26 种 A10 1 2 C. (C26 ) 104 种
2 D. A26 104 种

7. 在等差数列 ?an ? 中,若 an ? 0 ,公差 d ? 0 ,则有 a4 a6 ? a3 a7 ,类比上述性质,在等比 数 列 (

?bn ?


中 , 若 bn ? 0 q ,?

, 则 b4、 b 1 、 、 b7 5

的 b8 一 个 不 等 关 系 是

A. b4 ? b8 ? b5 ? b7
?

B. b5 ? b7 ? b4 ? b8

C. b4 ? b7 ? b5 ? b8

D. b4 ? b5 ? b7 ? b8

8. (



1 n ? ? 2 4cos xdx, 则二项式( x ? ) n 0 x



















) A.12 B.6 C.4 D.2 9. 箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取 球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为 ( ) A.
3 1 C5 C4 C54

B. ( ) ?
3

5 9

4 9

C. ?

5 1 9 4

D.C4 ? ( ) ?
1 3

5 9

4 9

3 3 2 2 10. 设 函 数 f ( x) ? a x ? a x ? ax ? a 在 x ? 1 处 取 得 极 大 值 , 则 a 的 值 为



) A. ?

1 3

B. 1

C. 1 或 ?

1 3

D.

1 3

11. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且有两位女生 相 邻 , 则 不 同 排 法 的 种 数 是 ( ) A.360 B.288 C.216 D.96 12. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 x x ? R, 且x ? 0 , k1 是其图象在点 P( x, f ( x)) 处的切线的 斜率, k2 是点 P 与原点 O 连线的斜率,若对定义域内的任意 x 值恒有 (k1 ? k2 ) x ? 0 ,且

?

?

f (2) ? f (?2) ? 0
( )











xf ( x) ? 0









A.(?2,0) ? (2, ??)

B.(?2, 0) ? (0, 2)

C.(??, ?2) ? (2, ??)

D.(??, ?2) ? (0, 2) y

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题(共 4 小题,每小题 4 分,请把答案写在答题卡上 ) : ..........

? 3

O

x

3

13. 已知 ?

B(n, p), E? ? 3, D(2? ?1) ? 9 ,则 p 的值是
2



14. 函数 f ( x) ? 3x ? 2ln x 的单调增区间为



15. 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图像如图, f ' ( x) 为 函数 f ( x) 的导函数,则不等式 x f ' ( x) ? 0 的解集为 16. 已知数组:( ) ,( , ) ,( , .

1 1

1 2 2 1

1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 , ) ,( , , , ) , ,( , , , 3 2 1 4 3 2 1 n n ?1 n ? 2

,

n ?1 n , ), 2 1

记该数组为: (a1 ),(a2 , a3 ),(a4 , a5 , a6 ),

, 则 a2012 =



三.解答题(共 6 小题,要求写出解答过程或者推理步骤) : 17.(本题满分 12) 已知 (2 x i +

1 n ) , i 是虚数单位, x ? 0 , n ? N ? 2 x

(Ⅰ)如果展开式中的倒数第 3 项的系数是-112,求 n 的值. (Ⅱ)对(Ⅰ)中的 n ,求展开式中系数为正实数的项.

18.(本题满分 12 分) 某中学对髙二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对 提高‘数学应用题’得分率作用”的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练) , 乙班为对比班(常规教学,无额外训练) ,在试验前的測试中,甲、乙两班学生在数学应用 题上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用题測试的平均成绩(均取整数)如下 表所示: 60 分以下 甲班(人数) 乙班(人数〉 3 4 61-70 分 6 8 71—80 分 11 13 81—90 分 91—100 分 18 15 12 10

现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀. (Ⅰ)试分别估计两个班级的优秀率; (Ⅱ)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并问是否有 75℅的把握认为“加强‘语文阅 读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助? 优秀人数 甲班 乙班 合计 非优秀人数 合计

参考公式及数据:

0. 50 0. 40 h

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005

0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6. 635 7.879 10.828

19.(本题满分 12 分) 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要 建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的 相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为 点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

20.(本题满分 12 分) 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是 (Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率; (Ⅲ)已知教师乙在某场比赛中,6 个球中恰好投进了 4 个球,求教师乙在这场比赛中获奖 的概率;教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗?

2 . 3

21.(本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? (Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 ,并猜想 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)用数学归纳法证明通项公式的正确性.

an 1 且 an ? 0, n ? N ? . ? ?1 , 2 an

22.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

2? x . ? a ln( x ? 1) ( a ? R ) x ?1 (Ⅰ)若函数 f ( x) 在区间 [2, ??) 上是单调递增函数,试求实数 a 的取值范围; 1 (Ⅱ)当 a ? 2 时,求证: 1 ? ; ? 2ln( x ? 1) ? 2 x ? 4 ( x ? 2 ) x ?1 1 1 1 1 1 (Ⅲ)求证: ( n? N* 且 n ? 2 ) . ? ? ... ? ? ln n ? 1 ? ? ... ? 4 6 2n 2 n ?1

4分 南安一中 2011~2012 学年度高二下学期期中考 理科数学试卷参考答案

18.解: (Ⅰ)由题意,甲、乙两班均有学生 50 人,------------------- 1 分 甲班优秀人数为 30 人,优秀率为

30 ? 60% ,----------- 2 分 50 25 ? 50% ,----------- 4 分 乙班优秀人数为 25 人,优秀率为 50

所以甲、乙两班的优秀率分别为 60%和 50%.------------------- 5 分 (Ⅱ) 优秀人数 甲班 乙班 合计 30 25 55 非优秀人数 20 25 45 合计 50 50 100 ---------- 7 分 注意到 K ?
2

100 ? (30 ? 25 ? 20 ? 25)2 100 ? ? 1.010 ,---------------- 11 分 50 ? 50 ? 55 ? 45 99

所以由参考数据知,没有 75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用 题’得分率”有帮助. ------------------- 12 分 19.解: (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, (n ? 1) x ? m,即n=

m ? 1 ……………………3 分 x

2 4 3 A4 A4 2 C4 2 则 P( B) ? ? 或 p ( B) ? 4 ? . 6 A6 5 C6 5

即教师乙在这场比赛中获奖的概率为

2 2 32 32 ? .显然 ? , 5 5 80 81

所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等.………12 分

即当 n ? k ? 1 时,通项公式也成立. 由①和②,可知对所有 n ? N , an ? 2n ? 1 ? 2n ?1 都成立.
?

22.解: (1)因为 f ' ( x) ?

a( x ? 1) ? 1 …………1 分,若函数 f ( x) 在区间 [2, ??) 上是单调递增 ( x ? 1)2

函数,则 f ' ( x) ? 0 恒成立,即 a ? 又 x ?[2, ??) ,则 0 ?

1 1 恒成立,所以 a ? ( )max .………………2 分 x ?1 x ?1

1 ? 1 ,所以 a ? 1 .…………………4 分 x ?1 2? x (2)当 a ? 2 时,由(Ⅰ)知函数 f ( x) ? ? 2ln( x ? 1) 在 [2, ??) 上是增函数,……5 分 x ?1


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