高中数学人教A版选修4-4课件 第一讲坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介_图文


四 柱坐标系与球坐标系简介 学 习 目 标 1.了解在柱坐标系、 球坐标系中刻画空间 中点的位置的方法. 2.理解柱坐标、球坐 标与空间直角坐标的 互化关系与公式,能应 用公式解决问题. 思 维 脉 络 柱坐标系与球坐标系 柱坐标系 球坐标系 柱坐标、球坐标与直角坐标的互化 1.柱坐标系 (1)定义:如图,建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,它在 Oxy平面上的射影为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的 极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样,我们建立 了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系.把建立上述对应关 系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作 P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞. (2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为 = cos, = sin, . = 名师点拨柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一 部分建立起来的,柱坐标的表示形式为(ρ,θ,z).因此,在求空间一点P 的柱坐标时,先确定点P在xOy平面上的射影Q的极坐标(ρ,θ),它的柱 坐标中的z与空间直角坐标中的z相同. 做一做1 (1)若点P的柱坐标为 为 ; (2)已知点M的直角坐标为(0,1,5),则它的柱坐标 为 . 解析: (1)设点 P 的直角坐标为 (x,y,z). π π 因为 x= 2cos =1,y= 2sin =1,z=1, π 2, ,1 ,则它的直角坐标 4 所以点 P 的直角坐标为 (1,1,1). (2)设点 M 的柱坐标为 (ρ,θ,z), 0 = cos, 根据题意 ,得 1 = sin, = 5, π 所以 ρ2=ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=1,易知 θ= . π 故点 M 的柱坐标为 1, ,5 . 2 π 答案:(1)(1,1,1) (2) 1, ,5 2 2 4 4 2.球坐标系 (1)定义:如图,建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连 接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射 影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样 点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数 组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系 叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标, 记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π. (2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为 = sincos, = sinsin, . = cos 名师点拨1.球坐标的排列顺序:①r(点P到原点的距离);②φ(OP与 z轴正方向所夹的角);③θ(OP在平面Oxy内的射影与x轴正方向所成 的角). 2.求空间一点P的球坐标,先求|OP|=r,再求OP与Oz轴正方向所夹 的角φ,设OP在平面Oxy上的射影为OQ,则Ox轴按逆时针方向旋转 到OQ时所转过的最小正角为θ,则点P的球坐标确定为(r,φ,θ). 3.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系的联系与区别:柱坐标 系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系中的一点在 平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系中的竖坐标 相同;在球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极 角)刻画点的位置.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空 间坐标系,空间点的坐标都是三个数值组成的有序数组. 做一做 2 (1)若点 M 的球坐标为 π π 8, , 3 2 ,则其直角坐标为 ; (2)将点 M(1,- 1, 6)化成球坐标为 . 解析:(1)设点 M 的直角坐标为(x,y,z), 由点 M 的球坐标 8, , π 3 π π 2 π π π 3 2 , = 8sin cos = 0, 得 = 8sin 3 sin 2 = 4 3, = 8cos = 4. 3 π 故点 M 的直角坐标为(0,4 3,4). (2)设点 M 的球坐标为(r,φ,θ),则 r= 12 + (-1)2 + ( 6)2 =2 2,tan φ= 2 + 2 = 2 6 = 3 3 .由 0≤φ≤π,知 φ= .由 tan θ= =-1,0≤θ<2π,x>0, π 7π 6 4 6 π 所以 θ= .故点 M 的球坐标为 2 2, , 4 7π . 答案:(1)(0,4 3,4) (2) 2 2, , π 7π 6 4 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)要刻画空间点的位置,无论用哪种坐标都需要三个数值. ( ) (2)球坐标系与柱坐标系中的点的坐标一定包含一个角. ( ) (3)利用三角函数可以实现柱坐标、球坐标与直角坐标的互化. ( ) (4)点A(1,0,1)的柱坐标与直角坐标是相同的. ( ) 探究一 探究二 思维辨析 直角坐标与柱坐标的互化 【例1】 已知点A的直角坐标为(1, 3 ,5),求它的柱坐标. 分析:由公式求出 ρ,再由 tan θ= 求出 θ. 解:设点 A 的柱坐标为 (ρ,θ,z). = cos, 由公式 = sin, = 2 = 2 + 2 , 得 = , 即 ρ2=12+( 3)2=4,所以 ρ=2. tan θ= = 3 , 又 x>0,y>0,点 A 在 xOy 平面内的射影在第一象限. 因此 θ= ,故点 A 的柱坐标为 2, ,5 . π 3 π 3 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟已知点的直角坐标,确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ, 尤其是θ,要注意求出tan θ后,还要根据点在xOy平面内的

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