云南省保山市第一中学高中数学 3.3.2简单的线性规划问题第1课时课件 新人教A版必修5_图文


3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题 1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、 可行域、可行解等基本概念; 2.了解线性规划问题的图解法,并能解决一些简单的问 题.(重点、难点) 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一 件甲产品使用4个A配件耗时1 h,每生产一件乙产品使用 4个B配件耗时2 h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B配件,按每天工作8 h计算,该厂所有可能 的日生产安排是什么? 设甲、乙两种产品分别 生产x、y件,由已知条 件可得二元一次不等式 组: ? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0. 将上述不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标 为整数的点 P ( x, y ) 时 ,安排生产任务 x , y 都是有意义的. y 4 3 O y =3 x 4 x?4 8 x ? 2y ? 8 简单线性规划问题及有关概念 进一步,若生产一件甲种产品获利2万元,生产一 件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品x件,乙产品y件时,工厂获得的利润为z, 则z=2x+3y. 上述问题就转化为:当x、y满足不等式组并且为非负 整数时,z的最大值是多少? 2 z 2 把z ? 2 x ? 3 y变形为y ? ? x ? ,这是斜率为 ? , 3 3 3 z 在y轴上的截距为 的直线, 3 当z变化时,可以得到一组互相平行的直线. 故可先作出过原点的直线l 0 : y ? ? 2 x,再作l 0的平行线. 3 当点P在可允许的取值范围内变化时, z 求截距 的最值,即可得z的最值. 3 y 2 l0 : y ? ? x 3 4 3 O y =3 M (4, 2) 由图可知 2 z 当直线y ? ? x ? 3 3 经过直线x ? 4与直线x ? 2 y ? 8 x 4 x?4 8 x ? 2y ? 8 z 14 的交点 M (4, 2) 时,截距 3 的值最大, 最大值为 3 . 即 z 的最大值为 z ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ? 14. 所以,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂可获得最 大利润14万元. 1.线性约束条件 上述问题中,不等式组 是一组对变量 ? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0. x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一 次不等式,所以又称为线性约束条件. 2.线性目标函数 我们把要求最大值的函数z=2x+3y称为目标函数.又 因为z=2x+3y是关于变量x、y的一次解析式,所以又称 为线性目标函数. 3.线性规划 一般的,在线性约束条件下求线性目标函数的最大 值或最小值问题,统称为线性规划问题. 4.可行解、可行域、最优解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个 问题的最优解. (1)在上述问题中,如果每生产一件甲产品 获利3万元,每生产一件乙产品获利2万元, 又当如何安排生产才能获得最大利润? (2)由上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系 吗? 设生产甲产品x件乙产品y件时,工厂获得的利润为z,则 z=3x+2y. 3 z 3 把z ? 3 x ? 2 y变形为y ? ? x ? ,这是斜率为 ? , 2 2 2 z 在y轴上的截距为 的直线. 2 l0 : y ? ? 3 x 2 y 4 3 y =3 M (4, 2) 由图可知 3 z 当直线y ? ? x ? 2 2 经过直线x ? 4与x ? 2 y ? 8 x O 4 x?4 8 x ? 2y ? 8 z 最大值为 8. 的交点 M (4, 2) 时,截距 2 的值最大, 即 z 的最大值为 z ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 16. 所以,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂获得最 大利润16万元. 在确定约束条件和线性目标函数的前提下, 用图解法求最优解的步骤为: (1)在平面直角坐标系内画出可行域; z ? ax ? by ()将目标函数 b ? 0) ( 2 变形为 a z 最值问题转化为求直线 y ? ? x ? b b 在 z 轴上的截距 b a z y ? ? x ? z, 将求 的 b b y 的最值问题; (3)画出直线 ax ? by =0 并平行移动,平移过程中最先 或最后经过的点为最优解; (4)求出最优解并代入目标函数,从而求出目标函数的 最值. 简单线性规划问题的图解方法 例1 设 z=2x+y,式中变量x、 y满足下列条件: ? x ? 4 y ? ?3, ? ? 3 x ? 5 y ? 25, 求z的最大值和最小值. ? x ? 1, ? 分析:作可行域,画平行线,解方程组,求最值. y x ?1 3 x ? 5 y ? 25 ? 0 解:作出如图所示的可行域, 作 l0 : 2 x ? y ? 0 及 l / / l0 . 当直线 l 经过点B时,对应 4 C 2 B O x ? 4y ? 3 ? 0 A 6 x 的 z 最小,当直线 l 经过 点A时,对应的 z 最大. 2 4 l0 : 2 x ? y ? 0 ? x ? 1, 由? 得点B(1,1), ? x ? 4 y ? 3 ? 0. ? 3 x ? 5 y -25=0, 由? 得点A(5, 2). ? x ? 4 y ? 3 ? 0. ? z 最小值 =2 ? 1+1=3, z 最大值 =2 ? 5+2=12. 解线性规划问题的步骤: (1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目

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