高中数学北师大版必修5第3章4《简单线性规划》(第1课时 二元一次不等式(组)与平面区域)ppt同步课件_图文


第三章 不等式

第三章
§4 简单线性规划

第1课时 二元一次不等式(组)与平面区域

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

本节思维导图

3

易混易错点睛

5

课 时 作 业

课前自主预习

景泰蓝是我国古老而又令多数人喜欢 的手工艺品,它制作的关键一步是在制好 的铜胎上用扁铜丝依据图案要求把铜胎表 面划分为若干个小的区域,例如一片树叶 需要两条铜丝围成树叶形的封闭区域,一 个三角形需要三条直线形铜丝围成一个封 闭区域,……铜丝有直有曲,有长有短,区域形状各异.然后 再经“点蓝”等工艺就可制作成功.在制作过程中,几条铜丝 便可围成一个区域,在平面上,直线如何围成一个区域呢?

1.二元一次不等式(组)的概念 两个 未知数,且未知数的最 二元一次不等式是指含有________

1 的不等式.二元一次不等式组是指由几个总共含 高次数为____
有两个未知数,且未知数的最高次数为 1 的不等式构成的不等 式组.

2.二元一次不等式(组)表示的平面区域 一般地,直线 l : ax + by + c = 0 把直角坐标平面分为三部 分: (1)直线l上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0; (2)直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+ c>0.

(3)直线l另一侧的平面区域内的点 (x,y)的坐标满足ax+by

+c<0.
所以,只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一特殊点 (x0,y0) ,从________________ ax0+by0+c ________ 值的正负,即可判断不等式表

示的平面区域.
在这里,直线 l : ax + by + c = 0 叫做这两个平面区域的边 界. 实线 ,表示平面 一般地,把直线l:ax+by+c=0画成________ 区域包括这一条边界直线;若把直线 l : ax + by + c = 0 画成 虚线 ,则表示平面区域不包括这一条边界直线. ________

3.直线两侧的点的坐标满足的条件 直线 l : ax + by + c = 0把坐标平面内不在直线 l 上的点分为 两部分,直线l的同一侧的点的坐标使式子 ax+by +c的值具有 相同 的符号,并且两侧的点的坐标使ax+by+c的值的符号 ________ 大于0 ,另一侧都________ 小于0 . ________ 相反 ,一侧都________

4.二元一次不等式表示区域的确定
在直线l的某一侧任取一点,检测其坐标是否满足二元一次 所在的这一侧 区域就是所求的区 不等式,如果满足,则该点______________ 另一侧 就 是 所 求 的 区 域 . 如 果 直 线 不 过 域 ; 否 则 l 的 ________

原点 的坐标来进行判断,比较方便. ________ 原点 ,则用________

1. 下列 4 个点中,不在 3x + 2y<6 表示的平面区域内的点是 ( ) A.(0,2) C.(1,1) [答案] D [解析] 3×2+2×0<6不成立,故选D. B.(0,0) D.(2,0)

2.下图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是(

)

A.x+y-1<0 C.x-y-1<0 [答案] B [解析]

B.x+y-1>0 D.x-y-1>0

边界所在的直线为x+y-1=0,取点O(0,0),代入

得-1<0,则不等式x+y-1>0表示图中阴影部分.

?y<x ? 3.不等式组?x+y≤1 ?y≥3 ? 点 P2(0,0),则( )

表示的区域为 D,点 P1(0,-2),

A.P1?D,P2?D C.P1∈D,P2?D

B.P1?D,P2∈D D.P1∈D,P2∈D

[答案] A

[ 解析] ∴选 A.

P1 点不满足 y≥3,P2 点不满足 y<x,

4.表示图中阴影部分的区域的二元一次不等式组为(
? ?x+y-1≥0 A.? ? ?x-2y+2≥0 ? ?x+y-1≥0 C.? ? ?x-2y+2≤0 ? ?x+y-1≤0 B.? ? ?x-2y+2≤0 ? ?x+y-1≤0 D.? ? ?x-2y+2≥0

)

[ 答案]
[ 解析]

A
取原点 0(0,0)检验满足 x+y-1≤0, 故异侧点应为

x+y-1≥0 排除 B、D,O 点满足 x-2y+2≥0,排除 C.故选 A.

5.若点P(a,3)在2x+y<3表示的平面区域内,则实数a的取 值范围是________. [答案] (-∞,0) [ 解析 ] 点 P(a,3) 在 2x + y<3 表示的平面区域内,则 2a + 3<3,解得a<0.

课堂典例讲练

二元一次不等式表示的平面区域 画出下列不等式表示的平面区域. (1)2x+y-10<0; (2)y≤-2x+3. [分析] 对于(1),先画出直线2x+y-10=0(用虚线表示),

再取坐标原点 (0,0) 代入检验,从而判断出 2x + y - 10<0 表示的
平面区域.对于 (2) ,先把 y≤ - 2x + 3 变形为 2x + y - 3≤0 的形 式,再画出直线2x+y-3=0(用实线表示),取原点(0,0)代入检 验,从而判断出2x+y-3≤0表示的平面区域.

[解析] (1)先画出直线2x+y-10=0(画成虚线),

取点(0,0),代入2x+y-10,得2×0+0-10=-10<0,
∴ 2x + y - 10<0 表示的平面区域是直线 2x + y - 10 = 0 的左 下方的平面区域,如图(1)所示.

(2)将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0.先画出直线2x+y-3= 0( 画成实线 ) .取点 (0,0) ,代入 2x + y - 3 ,得 2×0 + 0 - 3 =- 3<0,∴2x+y-3≤0表示的平面区域是直线2x+y-3=0以及其 左下方的平面区域,如图(2)所示.

[ 方法总结]

画二元一次不等式所表示的平面区域的一般

步骤为:①“直线定界”,即画出边界Ax+By+C=0,要注意 是虚线还是实线;②“特殊点定域”,取某个特殊点(x0,y0)作 为测试点,由 Ax0 + By0 + C 的符号确定出所求不等式表示的平 面区域.当C≠0时,通常取原点(0,0)作为测试点.

画出不等式x+2y-4<0表示的平面区域. [解析] 先画直线x+2y-4=0(画成虚线). 把原点 (0,0) 的坐标代入 x + 2y - 4 ,则 0 + 2×0 - 4 =- 4 < 0,所以原点在x+2y-4<0表示的平面区域内,所以不等式x+

2y-4<0表示的区域如图所示中的阴影部分.

二元一次不等式组表示的平面区域

用平面区域表示下列不等式组:
? ?x≥y, (1)? ? ?3x+4y-12<0;

?x-y+5≥0 ? (2)?x+y≥0 ?x≤3 ?

.

[ 分析] 部分.

先画出每个不等式所表示的平面区域,再取公共

[解析]

(1)作直线x=y ,画为实线,取直线下方区域;作

直线 3x + 4y - 12 = 0 ,画为虚线,取直线下方区域,取两区域 的公共部分,如图:

(2)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 及其右下方的 平面区域,

x+y≥0 表示直线 x+y=0 及其右上方的平面区域,x≤3 表示直线 x=3 及其左侧的平面区域,所以不等式组 ?x-y+5≥0 ? ?x+y≥0 ?x≤3 ?

,表示的平面区域如图所示.

[方法总结]

二元一次不等式组表示的平面区域是它的各

个不等式所表示的平面区域的公共部分,注意边界是实线还是 虚线.对每一个不等式表示的平面区域都必须作出正确的判 断,最后取交集.

把本例(1)中不等式组改为“(x-y)(3x+4y-12)<0”试画出 平面区域.
[ 解析] 不等式等价于

? ?x-y>0, ? ? ?3x+4y-12<0, ? ?x-y<0, 或? ? ?3x+4y-12>0,

画出所表示的平面区域如图所示.

求平面区域的面积

(2014· 安徽文,13)不等式组 ?x+y-2≥0 ? ?x+2y-4≤0 ?x+3y-2≥0 ?

表示的平面区域的面积为________.

[ 解析]

本题考查了线性平面区域表示及其面积求法.画

出可行域如图.

? ?x+3y-2=0 由? ? ?x+2y-4=0

得 A(8,-2)

1 1 ∴三角形面积 S=2×2×2+2×2×|-2|=4. 画可行域的办法是“直线定界,特殊点定域”.

[ 答案]

4

[ 方法总结]

不能正确表示不等式组所表示的平面区域是

常犯的错误.这类问题作出所表示的平面区域是前提,利用直 线的斜率及纵截距的几何意义是解题的关键.

?x-y+6≥0 ? 画出不等式组?x+y≥0 ?x≤3 ? 面区域的面积.

所表示的平面区域, 并求出平

[ 解析]

先画出直线 x-y+6=0(画成实线),不等式 x-y

+6≥0 表示直线 x-y+6=0 及其右下方的平面区域.画出直 线 x+y=0(画成实线),不等式 x+y≥0 表示直线 x+y=0 及其 右上方的平面区域.画出直线 x=3(画成实线),不等式 x≤3 表 示直线 x=3 及其左侧的平面区域. 所以原不等式组所表示的平 面区域如图所示.因此其区域面积即为△ABC 的面积.由于直 线 x-y+6=0 与直线 x+y=0 垂直,所以△ABC 为直角三角
? ?x=3 形.由? ? ?x+y=0

,得 B(3,-3).

? ?x=3 由? ? ?x-y+6=0 ? ?x+y=0 由? ? ?x-y+6=0

得 C(3,9).

得 A(-3,3).

所以|AB|=6 2,|AC|=6 2, 1 1 所以 S△ABC=2|AB|· |AC|=2×6 2×6 2=36, 所以原不等式组表示的平面区域的面积为 36.

求范围问题
已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为

顶点的三角形区域(包括边界与内部),如图所示.

(1)写出表示区域D的不等式组; (2) 若点 B( - 1 ,- 6) , C( - 3,2) 在直线 4x - 3y - a = 0 的异

侧,求a的取值范围.

[ 分析]

由二元一次不等式组所表示的区域写出相应的不

等式组,这本身就是一种创新,其求解过程与画出二元一次不 等式组的过程正好互逆.另外,在第 (2) 问中由 B , C两点位于 直线4x-3y-a=0的异侧,可知将B,C两点坐标代入代数式4x -3y-a所得的值的符号正好相反.

[ 解析]

(1)由 A(4,1)、B(-1,-6)、C(-3,2),得直线 AB、

AC、BC 的方程分别为 7x-5y-23=0、x+7y-11=0、4x+y +10=0.原点(0,0)在区域 D 内,所以表示区域 D 的不等式组为 ?7x-5y-23≤0 ? ?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ?

.

(2)将 B、 C 的坐标分别代入 4x-3y-a, 得 4×(-1)-3×(- 6) - a = 14 - a,4×( - 3) - 3×2 - a =- 18 - a. 由题意,知 (14 - a)(-18-a)<0,解得 a 的取值范围是-18<a<14.

[方法总结]

点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线Ax+By+C=0

同侧的充要条件是Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号;在异侧的 充要条件是Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号.

若点(3,1)和(4,-6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取
值范围是( ) B.(7,24) D.(-24,-7) A.(-24,7) C.(-7,24) [答案] D [解析] 把点(3,1)和(4,-6)分别代入3x-2y+a得7+a,24 +a,由题意得(7+a)(24+a)<0. ∴-24<a<-7.

二元一次不等式组表示实际问题

某工厂生产甲、乙两种产品,需经过制造和装
配两个车间.已知制造车间生产 1件甲产品需 4 小时,生产1 件 乙产品需 3 小时,总有效工时为 480小时;装配车间生产 1 件甲

产品需 2 小时,生产 1 件乙产品需 5 小时,总有效工时为 500 小
时.若工厂安排生产x件甲产品,y件乙产品,试列出x,y满足 的关系,并画出图形.

[分析] 将已知数据列成下表: 加工时间(小时/件) 总有效工 时(小时)

车间

制造 装配

甲 4 2

乙 3 5

480 500

[解析] 依题意,可列出下面的条件:

?4x+3y≤480 ? ?2x+5y≤500 ?x,y∈N + ?



可行域为如图所示阴影部分(不含坐标轴)内的整点.

[方法总结]

用二元一次不等式(组)表示的平面区域来表示

实际问题时,可先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多 的两个量用字母表示,进而问题中所有的量都用这两个字母表 示出来,再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的 实际意义写出所有的不等式,再把由这些不等式所组成的不等 式组用平面区域表示出来即可.

某家具厂计划每天生产桌椅的数量各不少于12,已知生产
一张桌子需用木材 0.3 方,生产一把椅子需要用木材 0.2 方,每 个工人每天能生产一张桌子或 2把椅子,木材每天供应量为 12 方,工人人数最多时为30人,请你用图形表示每天生产的桌椅 数量的取值范围. [ 分析 ] 设出桌椅数量 x 、 y ,把 x 、 y 的限制条件列成不等 式组,把不等式组表示的区域画出就是所要求的每天生产桌椅 数量的取值范围.

[ 解析 ]

设每天生产桌子 x

张,椅子 y 把,由题意得 ?x≥12, ? ?y≥12, ?0.3x+0.2y≤12 ? ? y ?x+2≤30 ? ?x,y∈N



由不等式组画出区域如图阴影部分. (x,y)的取值范围即图中阴影部分的整点.

易混易错点睛

画出二元一次不等式 2y -5x -10>0 表示的区 域. [ 误解]
作出直线 2y-5x-10=0,即 5x-2y+10=0.

将(0,0)代入 5x-2y+10 可得 5×0-2×0+10>0, ∴所示区域为含有(0,0)的一侧,如图所示.

[辨析]

取特殊点检验时,应代入原式(2y-5x-10),而不

能代入变形后的(5x-2y+10)进行检验.
[ 正解] 设 F(x,y)=2y-5x-10,作

出直线 2y-5x-10=0. ∵ F(0,0) = 2×0 - 5×0 - 10 = - 10<0, ∴所求区域为不含(0,0)的一侧,如图 所示.

本节思维导图

二元一次不等式?组?及其解集 ? ? 二元一次不 ?二元一次不等式?组?的几何意义 等式?组? ? ?二元一次不等式?组?表示的平面区域 与平面区域? ?二元一次不等式?组?表示平面区域的步骤


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