15.2.5 和与差的完全立方公式


15.2.5
阅读教材 P : 186 的“阅读与思考” 杨辉三角

完全立方和(差)公式

( x ? y) 0 ? 1 ( x ? y ? 0) ( x ? y)1 ? x ? y ( x ? y) 2 ? x 2 ? 2 xy ? y 2 ( x ? y)3 ? x3 ? 3x 2 y ? 3xy2 ? y3 ( x ? y)4 ? x4 ? 4x3 y ? 6x2 y 2 ? 4xy3 ? y 4 ( x ? y)5 ? x5 ? 5x 4 y ? 10x3 y 2 ? 10x 2 y 3 ? 5xy4 ? y 5 ( x ? y)6 ? x 6 ? 6x5 y ? 15x 4 y 2 ? 20x3 y 3 ? 15x 2 y 4 ? 6xy5 ? y 6
……………… 于是我们得到:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

(a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3
即两数和的立方等于这两个数的立方和与每一个数的平方乘以另一个数 3 倍的和。 这个公式叫做(乘法的)完全立方和公式。 我们也可以利用乘法的运算验证这个公式:

(a ? b)3 ? (a ? b)(a ? b)2 ? (a ? b)(a2 ? 2ab ? b2 )
3 2 2 2 2 3 ? a ? 2a b ? ab ? a b ? 2ab ? b

? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 。
例1 运用完全立方和公式计算:

(1) ( x ? 2)3 ;
解:(1)

(2) (3x ? 2 y)3 。

( x ? 2)3 ? x3 ? 3 ? x2 ? 2 ? 3 ? x ? 22 ? 23 ? x3 ? 6 x2 ? 12 x ? 8 ;
(2)

(3x ? 2 y)3 ? (3x)3 ? 3(3x)2 (2 y) ? 3(3x)(2 y)2 ? (2 y)3
? 27 x3 ? 54x2 y ? 36xy 2 ? 8 y3 。

1

练习: 1.填空,使之符合完全立方和公式: (1) (2 x ? y)3 ? ( (2) (

) ? 12x2 y ? (

) ? y3 ;

)3 ? x3 ? 9x2 ? 27 x ? 27 。

2.运用完全立方和公式计算:

(1) ( x ? 1)3 ;

(2) (2a ? 3b)3 。

运用和的完全立方公式计算 (a ? b)3 。

(a ? b)3 ? [a ? (?b)]3 ? a3 ? 3a2 (?b) ? 3a(?b)2 ? (?b)3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3 。
于是我们得到:

(a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3
即两数差的立方等于这两个数的立方差与每一个数的平方乘以另一个数 3 倍的和与差。 这个公式叫做(乘法的)完全立方差公式。 请同学们利用乘法的运算验证这个公式。 例2 运用完全立方差公式计算:

(1) (2 ? x)3 ;
解:(1) (2)

(2) (2a ? 3b)3 。

(2 ? x)3 ? 23 ? 3 ? 22 ? x ? 3 ? 2 ? x2 ? x3 ? 8 ? 12 x ? 6 x2 ? x3 ;

(2a ? 3b)3 ? (2a)3 ? 3(2a)2 (3b) ? 3(2a)(3b)2 ? (3b)3

? 8a3 ? 36a2b ? 54ab2 ? 27b3 。
练习: 1.填空,使之符合完全立方差公式: (1) (m ? 2n) ? m ? (
3 3

)?(

) ? 8n3 ;

(2) (

)3 ? x3 ?12x2 ? 48x ? 64 。

2.运用完全立方差公式计算:

(1) ( x ?1)3 ;

(2) (4a ? 3b)3 。

请同学观察完全立方和公式与完全立方差公式的区别与联系。
2

现在,我们已经学习了以下公式: 平方差公式: (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; 完全平方公式: (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ; 立方和(差)公式: (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; 完全立方和(差)公式: (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 。 这些公式均称为乘法公式.

综合练习 1.运用的完全立方和(差)公式计算:

(1) (4a ? 5b)3 ;

(2) (?2m ? 3n)3

3 1 (3) ( x ? y )3 ; 2 2

5 (4) (4a ? b)3 。 2

2.已知 a ? 2, b ? 3 ,求下列各式的值: (1) a
3

? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ;
3

(2) ?a (3) 8a (4) a
3

? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; ? 12a2b ? 6ab2 ? b3 ;

3

? 6a2b ? 12ab2 ? 8b3 。

3


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