【步步高】高中数学 第三章 3.1.3导数的几何意义课件 新人教A版选修1-1_图文


3.1.3 【学习要求】 导数的几何意义 1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义.2.会求导函数. 3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 【学法指导】 前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想,本节 再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想,并进一步 体会另一种重要思想——以直代曲. 填一填·知识要点、记下疑难点 1.导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率 设函数 y=f(x)的图象如图所示,AB 是过 点 A(x0,f(x0))与点 B(x0+Δx,f(x0+Δx)) Δy 的一条割线,此割线的斜率是 = Δx 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时, 割线 AB 绕点 A 转动, 它的 极限位置为直线 AD,这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 处 的 切线 .于是,当 Δx→0 时,割线 AB 的斜率无限趋近于 过点 A 的切线 AD 的斜率 k,即 k= f′(x0) = f?x0+Δx?-f?x0? Δx . f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx Δx→ 0 . 填一填·知识要点、记下疑难点 (2)导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y= f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的 斜率 .也就是说,曲线 y= f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0) .相应地,切线方程 为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) 2.函数的导数 当 x= x0 时, f′ (x0)是一个确定的数, 则当 x 变化时, f′(x) 是 x 的一个函数, 称 f′(x)是 f(x)的导函数(简称导数 ).f′(x) 也记作 y′,即 f′(x)=y′= . f?x+Δx?-f?x? lim Δx Δx→ 0 . 研一研·问题探究、课堂更高效 探究点一 问题 1 导数的几何意义 如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x) 趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 的变化趋势是什么? 答案 当点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置. 这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线. 观察变化 研一研·问题探究、课堂更高效 问题 2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个 交点? 答案 不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲 线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图,曲线的切 线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线. 研一研·问题探究、课堂更高效 例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变 化的函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的图象.根 据图象,请描述、比较曲线 h(t)在 t0,t1,t2 附近的变化情况. 解 我们用曲线 h(t)在 t0,t1,t2 处的切线,刻画曲线 h(t)在 上述三个时刻附近的变化情况. (1)当 t=t0 时,曲线 h(t)在 t0 处的切线 l0 平行于 t 轴.所以,在 t=t0 附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当 t=t1 时,曲线 h(t)在 t1 处的切线 l1 的斜率 h′(t1)<0.所 以, 在 t=t1 附近曲线下降, 即函数 h(t)在 t=t1 附近单调递减. (3)当 t=t2 时,曲线 h(t)在 t2 处的切线 l2 的斜率 h′(t2)<0.所 以,在 t=t2 附近曲线下降,即函数 h(t)在 t=t2 附近也单调递减. 研一研·问题探究、课堂更高效 从图中可以看出, 直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度, 这说明曲线 h(t)在 t1 附近比在 t2 附近下降得缓慢. 小结 导数与函数图象升降的关系: 若函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数存在且 f′(x0)>0(即切线的 斜率大于零), 则函数 y=f(x)在 x=x0 附近的图象是上升的; 若 f′(x0)<0(即切线的斜率小于零), 则函数 y=f(x)在 x=x0 附近的图象是下降的. 导数绝对值的大小反映了曲线上升 和下降的快慢. 研一研·问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 (1)根据例 1 图象,描述函数 h(t)在 t3 和 t4 附近 增(减)以及增(减)快慢的情况. 解 函数 h(t)在 t3、t4 处的切线的斜率 h′(t)>0,所以,在 t =t3, t=t4 附近单调递增, 且曲线 h(t)在 t3 附近比在 t4 附近递 增得快. 研一研·问题探究、课堂更高效 (2)若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函 数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是 ( A ) 解析 依题意,y=f′(x)在[a,b]上是增函数,则在函数 f(x) 的图象上,各点的切线的斜率随着 x 的增大而增大,观察四 个选项的图象,只有 A 满足. 研一研·问题探究、课堂更高效 探究点二 问题 1 求切线的方程 怎样求曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程? 答案 根据导数的几何意义,求出函数 y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的 点斜式求出切线方程. 研一研·问题探究、课堂更高效 问题 2 曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过某点(x0, y0)的切线有何不同? 答案 曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是 切点,只要求出 k=f′(x0),利用点斜式写出切线即可;而曲 线 f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线 上,既使在曲线上也不一定是切点. 研一研·问题探究、课堂更高效 例 2 已知曲线 y=x2, (1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(3,5)的切线方程. 解 (1)设切点为(x0

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