2019届高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式一导学案新人教A版必修4


2019 届数学人教版精品资料 3.1.2 学习目标 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2. 会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等 .3.熟悉两角 和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法. 知识点一 两角和的余弦公式 思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式? 答案 用-β 代换 cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β 中的 β 便可得到. 梳理 公式 简记符号 使用条件 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β C(α +β ) α ,β 都是任意角 记忆口决:“余余正正,符号相反”. 知识点二 两角和与差的正弦公式 思考 1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式? 答案 sin(α +β )=cos? ?π -?α +β ?? ? ?2 ? ??π ? ? =cos?? -α ?-β ? ?? 2 ? ? ?π ? ?π =cos? -α ?cos β +sin? -α ?2 ? ?2 =sin α cos β +cos α sin β . 思考 2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式? 答案 梳理 内容 简记符号 两角和的正弦 S(α +β ) 两角差的正弦 S(α -β ) 用-β 代换 β ,即可得 sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β . ?sin β ? ? sin(α +β )= 公式形式 sin α cos β +cos α sin β sin (α -β )= sin α cos β -cos α sin β 记忆口诀:“正余余正,符号相同”. 类型一 给角求值 例 1 (1)化简求值:sin(x+27°)cos(18°-x)-sin(63°-x)·sin(x-18°). 解 (1)原式=sin(x+27°)cos(18°-x)-cos(x+27°)· sin(x-18°) =sin(x+27°)cos(18°-x)+cos(x+27°)sin(18°-x) =sin[(x+27°)+(18°-x)]=sin 45°= sin 50°-sin 20°cos 30° (2) = cos 20° 答案 1 2 2 . 2 . sin?20°+30°?-sin 20°cos 30 ° 解析 原式= cos 20° = = sin 20°cos 30°+cos 20°sin 30°-sin 20°cos 30° cos 20° cos 20°sin 30° 1 =sin 30°= . cos 20° 2 (1) 解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小,化切为弦统一函数名 反思与感悟 称,然后根据角的关系和式子的结构选择公式. (2)解题时应注意观察各角之间的关系,恰当运用拆角、拼角技巧,以达到正负抵消或可以 约分的目的,从而使问题得解. 跟踪训练 1 计算:(1)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°; (2)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). 解 (1)原式=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°) =sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16° 1 =sin(14°+16°)=sin 30°= . 2 (2)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin 90°=1. 类型二 给值求值 例 2 已知 sin? ?3π +α ?= 5 ,cos?π -β ?=3,且 0<α <π <β <3π ,求 cos(α +β ). ? 13 ?4 ? 5 4 4 ? 4 ? ? ? π 3π 解 ∵0<α < <β < , 4 4 ∴ 3π 3π π π < +α <π ,- < -β <0. 4 4 2 4 又∵sin? ∴cos? ?3π +α ?= 5 ,cos?π -β ?=3, ? 13 ?4 ? 5 ? 4 ? ? ? ?=-12,sin?π -β ? ?4 13 ? ? ?π +?α +β ?? ? ?2 ? ?=-4. ? 5 ? ?3π +α ? 4 ∴cos(α +β )=sin? =sin?? =sin? ??3π +α ?-?π -β ?? ? ?4 ?? ?? 4 ? ? ?? ?3π +α ?cos?π -β ?-cos?3π +α ?sin?π -β ? ? ?4 ? ? 4 ? ?4 ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? 5 3 ? 12? ? 4? 33 = × -?- ?×?- ?=- . 13 5 ? 13? ? 5? 65 反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略 ①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. ②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应 用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (2)给值求角本质上为给值求值问题,解题时应注意对角的范围加以讨论,以免产生增解或 漏解. π 3π 12 3 跟踪训练 2 已知 <β <α < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 cos 2α 与 cos 2 4 13 5 2β 的值. π 3π 解 ∵ <β <α < , 2 4 π 3π ∴0<α -β < ,π <α +β < . 4 2 ∴sin(α -β )= 1-cos ?α -β ? 2 = ?12?2 5 1-? ? = , ?13? 13 2 cos(α +β )=- 1-sin ?α +β ? =- 4 ? 3?2 1-?- ? =- . 5 ? 5? ∴cos 2α =cos[(α -β )+(α

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