2018学年高中数学人教A版选修2-1课件:3.2.1 空间向量与平行关系 精品_图文


阶 段 一 阶 段 三 3.2 立体几何中的向量方法 第 1 课时 空间向量与平行关系 阶 段 二 学 业 分 层 测 评 1.掌握直线的方向向量,平面的法向量的概念及求法.(重点) 2. 熟练掌握用方向向量, 法向量证明线线、 线面、 面面间的平行关系. (重 点、难点) [基础· 初探] 教材整理 1 直线的方向向量与平面的法向量 阅读教材 P102~P103“第 2 自然段”内容,完成下列问题. 平行或共线的非零 直线的方向向量是指和这条直线________________________ 向量, 无数 个. 一条直线的方向向量有________ 方向向量 直线 l⊥α, 取直线 l 的_____________ a, 则向量 a 叫做平面α 的法向量. 若 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向向量 为( ) A.(1,2,3) C.(2,1,3) B.(1,3,2) D.(3,2,1) → 【解析】 AB=(2,4,6)=2(1,2,3). 【答案】 A 教材整理 2 空间中平行关系的向量表示 阅读教材 P102~P103 内容,完成下列问题. 线线 设两条不重合的直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1),b=(a2, (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) a∥b 平行 b2,c2),则 l∥m?____________ ?____________________________ 线面 设 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),α 的法向量为 u=(a2,b2,c2), a1a2+b1b2+c1c2=0 a· u=0 平行 则 l∥α?____________ ?_____________________________ 面面 设 α,β 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),则 α∥β u∥v (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) 平行 ?____________ ?_____________________________ 已知向量 a=(2, -3, 5)与 b=(4, x, y)平行, 则 x, y 的值分别为( A.6 和-10 C.-6 和-10 【解析】 ) B.-6 和 10 D.6 和 10 4 x y 因为 a 与 b 平行,∴ = = , 2 -3 5 解得 x=-6,y=10. 【答案】 B [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 求平面的法向量 已知 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA 1 =AB=BC=1,AD=2,试建立适当的坐标系. (1)求平面 ABCD 的一个法向量; (2)求平面 SAB 的一个法向量; (3)求平面 SCD 的一个法向量. 图3?2?1 【精彩点拨】 (1)根据图形特点,如何建立坐标系更方便?(2)怎样求 平面的法向量?题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同? 【自主解答】 以点 A 为原点,AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴,建立如图所示的坐标系,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1, ?1 ? 0),D?2,0,0?,S(0,0,1). ? ? (1)∵SA⊥平面 ABCD, → ∴AS=(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量. (2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面 SAB, ? 1 → ? ∴AD=?2,0,0?是平面 SAB 的一个法向量. ? ? ? → 1 → ? (3)在平面 SCD 中,DC=?2,1,0?,SC=(1,1,-1). ? ? 设平面 SCD 的法向量是 n=(x,y,z), ? → ?n· DC=0, → → 则 n⊥DC,n⊥SC,所以? → ? n · SC =0, ? 1 ? ? ? x+y=0, ?x=-2y, 得方程组?2 ∴? ? ?z=-y, ? x + y - z = 0 , ? 令 y=-1,得 x=2,z=1,∴n=(2,-1,1). 1.若一个几何体中存在线面垂直关系,则平面的垂线的方向向量即为 平面的法向量. 2.一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤如下: (1)设出平面的法向量为 n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)根据法向量的定义建立关于 x,y,z ? a=0, ?n· 的方程组? ? b=0. ?n· (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量. ? a=0, ?n· 3.在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组? 有无数多个 ? n · b = 0 ? 解, 只需给 x, y, z 中的一个变量赋于一个值, 即可确定平面的一个法向量; 赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量. [再练一题] 1.正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点,在 如图 322 所示的空间直角坐标系中,求: 【导学号:18490103】 (1)平面 BDD1B1 的一个法向量; (2)平面 BDEF 的一个法向量. 图3?2?2 【解】 设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2,则 D(0,0,0),B(2, 2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2). → (1)连接 AC, 因为 AC⊥平面 BDD1B1, 所以AC=(-2, 2, 0)为平面 BDD1B1 的一个法向量. → → (2)DB=(2,2,0),DE=(1,0,2). 设平面 BDEF 的一个法向量为 n=(x,y,z). ? → ?n·

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