高一上学期期中考试数学试卷及答案(二)


高一上学期期中考试数学试卷
全卷满分 150 分,考试用时 150 分钟。 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、已知集合 A ? { y | y ? x2 ? 1, x ? R}, B ? { y | y ? x ? 1, x ? R} ,则 A A、 {1, 2} B、 { y | y ? 1 或 2} C、 {( x, y ) | ?

B?(

)。

?x ? 0 ? x ? 1 或? } ? y ?1 ?y ? 2

D、 { y | y ? 1}

2、已知 a, b, c 均为非零实数,集合 A ? {x | x ? A、2 B、3 C、4 D、5

|a| b ab ? ? } ,则集合 A 的元素的个数为( a | b | | ab |

)。

3、已知函数 f ( x) ?

4x ? 1 ,则下列关于函数 f ( x ) 的说法正确的是( 2 x ?1
B、为偶函数且在 R 上为增函数 D、为偶函数且在 R 上为减函数

)。

A、为奇函数且在 R 上为增函数 C、为奇函数且在 R 上为减函数

4、已知函数 y ? f ( x) 的定义域和值域分别为 [?1,1] 和 [5,9] ,则函数 y ? f (2 x ? 1) 的定义域和值域 分别为( )。 B、 [?1, 0] 和 [2, 4] C、 [?1, 0] 和 [5,9] D、 [?1,1] 和 [11,19] )。

A、 [1,3] 和 [11,19]

5、下列关于四个数: e? 2 ,log 0.2 3,ln ? ,(a 2 ? 3)0 (a ? R) 的大小的结论,正确的是( A、 log0.2 3 ? e? C、 e ?
2 2

? (a2 ? 3)0 ? ln ?

B、 e ?

2

? log0.2 3 ? (a2 ? 3)0 ? ln ?
2

? (a2 ? 3)0 ? log0.2 3 ? ln ?

D、 log0.2 3 ? (a 2 ? 3)0 ? e?

? ln ?

6、如图,函数 y ?

1 、 y ? x 、 y ? 1 的图象和直线 x ? 1 将 x

平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧。 则函数 y ? A、④⑦

1 的图象经过的部分是( x
B、④⑧ C、③⑦

)。 D、③⑧

7、为了得到函数 y ? 2 ? ln( x ? 1) 的图象,只需把函数

y ? ln x 的图象上所有点(

)。

A、向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位 B、向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位

C、向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位 D、向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位 8、如果点 (1, 2) 同时位 于函数 f ( x) ? ax ? b ? 1 及其反函数的图象上,则 a , b 的值分别 为( A、 a ? ?3, b ? 6 B、 a ? ?3, b ? ?6 C、 a ? 3, b ? ?6 D、 a ? 3, b ? 6 )。

? x 2 ? 4 x, ( x ? 0) 9、已知函数 f ( x) ? ? ,若 f (2 ? t ) ? f (t ) ,则实数 t 的取值范围为( 2 ?4 x ? x , ( x ? 0)
A、 (??,1)

)。

(2, ??)

B、 (1, 2)

C、 (??,1)

D、 (??, )

3 4

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、已知 a ? 0 ,则化简 3
6

(?a)9 的结果为



12、已知函数 f ( x ) 和 g ( x) 定义如下表:

x

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1 4 3

2 3 1

3 2 2 。

4 1 4

f ( x)
g ( x)

则不等式 f [ g ( x)] ≥ g[ f ( x)] 解的集合为 13、已知函数 f ( x) ? ln

1 的单调减区间为 x ? 2x ? 8
2

。 。

14、函数 f ( x) ? 2x ? 3 ? x ? 2 的最小值为 15、已知勾函数 y ? x ? 勾函数 f ( x) ? x ?

a2 (a ? 0) 在 (??, ?a) 和 (a, ??) 内均为增函数,在 (?a, 0) 和 (0, a ) 内均为减函数。若 x


t (t ? 0) 在整数集合 Z 内为增函数,则实数 t 的取值范围为 x

三、解答题(共 75 分)。 16、(本题 12 分)已知全集 U ? {x | x ? 10, x ? N} , A ? {0, 2, 4, 6,8} , B ? {x | x ?U , x ? 5} (1)求 M ? {x | x ? A 但 x ? B} ; (2)求 (CU A)

(CU B) 。
2

17、(6 分)(1)计算: lg 5 ? lg 2 ? lg50 ;

(6 分)(2)设 3 ? 4 ? 36 ,求
x y

2 1 ? 的值。 x y

18、(本题 12 分)已知二次函数 f ( x ) 满足 f (0) ? 2 和 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 1对任意实数 x 都 成立。 (1)求函数 f ( x ) 的解析式;

(2)当 t ?[?1,3] 时,求 g (t ) ? f (2t ) 的值域。 19、 (12 分)已知 min{a, b} 表示实数 a , b 中的较小者。函数 f ( x) ? min{x2 , x?2} ( x ? R) 。 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 A 9 C 10 A

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(1)求 f ( x ) 的解析式; ( 2)作出函数 f ( x ) 的图

象(要求作出主要的一些关键点)并求其值域。 20、(12 分)某厂每月生产一种投影仪的固定成本为 0.5 万元,但每生产 100 台,需要加可变成本(即另增加投 入) 0.25 万元,市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入函数为 R( x) ? 5 x ? 其中 x 是产品售出的数量(单位:百台)。 (1)求月销售利润 y (万元)关于月产量 x (百台)的函数解析式; (2)当月产量为多少时,销售利润可达到最大?最大利润为多少? 21 、( 14 分)已知 f ( x ) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,且 f (1) ? 1 。若对任意 m, n ?[?1,1], m ? n ? 0 都有

x2 (万元) (0 ? x ? 5) , 2

f ( m) ? f ( n ) ?0。 m?n
(1)判断函数 f ( x ) 的单调性,并简要说明理由;
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(2)若 f (a ? ) ? f (3a) ,求实数 a 的取值范围; (3)若不等式 f ( x ) ≤ (1 ? 2a)t ? 2 对所有 x ?[?1,1] 和 a ?[?1,1] 都恒成立,求实数 t 的取值范围。

1 2

高一数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、 ?a 12、 {2,3} 13、 (2, ??) 14、 7 15、 (0, 2)

三、解答题(共 75 分)。

17、解:(1)原式= (lg5)2 ? (1 ? lg5)lg 2 = (lg5)2 ? lg 2 ? lg 2lg5 = (lg 5 ? lg 2) lg 5 ? lg 2 ………………………………………4 分 = lg 5 ? lg 2 =1………………………………………………………………6 分 (2)∵ 3 ? 4 ? 36 ,
x y

∴ x ? log3 36, y ? log 4 36 ……………………………………8 分 ∴

1 1 ? log 36 3, ? log 36 4 ……………………………………10 分 x y



2 1 ? = 2log36 3 ? log36 4 ? log36 (32 ? 4) ? 1 ……………12 分 x y

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2





g (t ) ? f (2t ) ? (2t )2 ? 2 ? 2t ? 2 ? (2t ?1)2 ? 1 ………………………8 分

又∵当 t ?[?1,3] 时, 2 ? [ ,8] ,…………………………………………9 分
t

1 2

∴ (2 ? 1) ? [? , 7] , (2t ?1)2 ?[0, 49]
t

1 2

∴ g (t ) ? [1,50] ………………………………………………………………11 分 即当 t ?[?1,3] 时,求 g (t ) ? f (2t ) 的值域为 [1,50] 。……………………12 分

19、解:(1)由 x ? x 得 x ? ?1 ,……………………………………………………2 分
2

?2

当 | x |? 1 时, x

?2

? x2 ;
?2

当 | x |? 1 时, x ? x 。………………………………………………………4 分
2

? x ?2 , ( x ? ?1或x ? 1) ∴ f ( x) ? ? 。…………………………………… ………6 分 2 ? x , (?1 ? x ? 1)

(2)由(1)作出函数 f ( x ) 的图象(如图): 由图象可知,函数 f ( x ) 的值域为 [0,1] 。……………………………………12 分 20、解:(1)当 0 ? x ? 5 时,投影仪能售出 x 百台; 当 x ? 5 时,只能售出 5 百台,这时成本为 (0.5 ? 0.25x) 万元。………………2 分 依题意可得利润函数为

y ? R( x) ? (0.5 ? 0.25x)

? x2 (5 x ? ) ? (0.5 ? 0.25 x), (0 ? x ? 5) ? ? 2 ………………………………………5 分 ?? 2 ? (5 ? 5 ? 5 ) ? (0.5 ? 0.25 x), ( x ? 5) ? ? 2



? x2 5? ? 0 . 5 ? ,( x0 ? 5) ?4 . 7 x 。………………………… …………………7 分 y?? 2 ? 1 2? 0 . 2 x 5 x ,?( 5) ?

(2)显然, y |x?5 ? y |x?5 ;………………………………………………………………8 分 又当 0 ? x ? 5 时, y ? ?

1 1 ( x ? 4.75) 2 ? ? 4.752 ? 0.5 …………………… …10 分 2 2 1 2 ∴当 x ? 4.75 (百台)时有 ymax ? ? 4.75 ? 0.5 ? 10.78125 (万元) 2
即当月产量为 475 台时可获得最大利润 10.78125 万元。……………………13 分

21、解:(1)设任意 x1 , x2 满足 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,由题意可得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 )
? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ( x1 ? x2 ) x1 ? (? x2 )

? 0,
∴ f ( x ) 在定义域 [?1,1] 上位增函数。………………………………………………4 分

1 ? ??1 ? a ? 2 ? 1 ? 1 1 1 (2)由(1)知 f ( a ? ) ? f (3a ) ? ? ?1 ? 3a ? 1 ? ? a ? 。 2 4 3 ? 1 ? a ? ? 3a 2 ?
∴ 即 a 的取值范围为 ( , ] 。……………………………………………………8 分

1 1 4 3


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