2014高考数学备考学案(文科)能力提升第62课 直线与圆、圆与圆的位置关系


第 62 课 直线与圆、圆与圆的位置关系 1. (2012 天津高考) m, n ? R , 设 若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 相切, m ? n 则
的取值范围是( ) B. (??,1 ? 3] ? [1 ? 3, ??) D. (??, 2 ? 2 2] ? [2 ? 2 2, ??) A. [1 ? 3,1 ? 3] C. [2 ? 2 2, 2 ? 2 2] 【答案】D 【解析】圆心为 (1,1) ,半径为 1,直线与圆相切, ∴圆心到直线的距离满足 ∴ m ? n ? 1 ? mn ? ( 设 m ? n ? z ,即

(m ? 1) ? (n ? 1) ? 2 | | (m ? 1) 2 ? (n ? 1) 2

?1,

m?n 2 ) , 2

1 2 z ? z ?1 ? 0, 4 解得 z ? 2 ? 2 2 , 或 z ? 2 ? 2 2 . 2. (2012 广州一模)已知圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 ,点 P ? a,b ? ( ab ? 0 )是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的
最短弦所在的直线为 l1 ,直线 l2 的方程为 ax ? by ? r ? 0 ,那么(
2



A. l1 ∥l2 ,且 l2 与圆 O 相离 C. l1 ∥l2 ,且 l2 与圆 O 相交 【答案】A 【解析】依题意可知 OP ? l1 ,∵ kOP ? ∴直线 l1 的方程为 y ? b ? ?

B. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相切 D. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相离

b a ,∴ kl1 ? ? , a b

∵点 P ? a,b ? 是圆 O 内一点,∴ a ? b ? r ,
2 2 2

a ( x ? a) , b 2 2 即 ax ? by ? (a ? b ) ? 0 .∴ l1 ∥l2 .

∵圆心 O 到直线 l2 的距离 d ? ∴ l2 与圆 O 相离.

r2 a 2 ? b2

?

r2 r2

?r,
?? ??? ? ? ?

3. (2012 东莞一模)已知直线 l : x ? 2 y ? k ? 1 ? 0 被圆 C : x ? y ? 4 所截得的弦长为 2 ,则 OA ?OB 的值为 . 2 【答案】 【解析】依题意可得: ?AOB 为等边三角形,
2 2

1 ? 2. 2 4. (2012 天津高考)设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于 B ,且 l 与 2 2 圆 x ? y ? 4 相交所得弦的长为 2 , O 为坐标原点,则 ?AOB 面积的最小值为 . 【答案】 3 1 1 【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为 A(0, ), B ( ,0) , n m 直线与圆相交所得的弦长为 2 , 2 2 2 圆心到直线的距离 d 满足 d ? r ? 1 ? 3 ,∴ d ? 3 ,
∴ OA ? OB ? OA ? OB cos 60 ? 2 ? 2 ?
?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

∴圆心到直线的距离 d ?
2 2 ∴m ? n ?

?1 m2 ? n2

? 3,

1 . 3 1 1 1 1 1 ∴ S?AOB ? ? ? ? 2 ? 3, 2 m n 2 mn m ? n2 1 当且仅当 m ? n ? 时取等号,∴最小值为 3 . 6 2 5. 已知圆 C1 : ? y 2 ? 2 和圆 C2 , 直线 l 与圆 C1 相切于点 A(1,1) , C2 的圆心在射线 2 x ? y ? 0 ( x ? 0) 圆 x
上,圆 C2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 . (1)求直线 l 的方程; (2)求圆 C2 的方程. 【解析】 (1)∵ AO ? l ,∴ kl ? ? 又 ∵ 切点为 A(1,1) , ∴ 直线 l 的方程是 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (2)设圆心 C2 (a, 2a)(a ? 0) ,则 r ? 5a , ∵ C2 到直线 l 的距离 d ? ∴

1 ? ?1 . kOA

| 3a ? 2 | , 2

(3a ? 2)2 ? 12 ? 5a 2 , 2 2 化简得 a ? 12a ? 28 ? 0 , 解得 a ? 2 或 a ? ?14 (舍去) . 2 2 ∴ C2 的方程是 ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 20 .
8.已知圆 O : x ? y ? 1,圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 1 ,由两圆外一点 P (a, b) 引两圆切线 PA 、 PB , 切点分别为 A 、 B ,且满足 | PA |?| PB | .
2 2 2 2

(1)求实数 a 、 b 间满足的关系式; (2)求切线长 | PA | 的最小值; (3)是否存在以 P 为圆心的圆,使它与圆 O 相内切且与圆 C 相外切?若存在,求出圆 P 的方程,若不存 在,说明理由.
2 2 【解析】 (1)∵ | PA |? | PO | ?1 , | PB |? | PC | ?1 ,

∴ a ? b ? (a ? 2) ? (b ? 4) , ∴ a ? 2b ? 5 ? 0 为 a , b 满足的关系式.
2 2 2 2

(2) | PA | ?| PO | ?1 ? (5 ? 2b) ? b ?1
2 2 2 2

? 5(b ? 2)2 ? 4 , ∴ 当 b ? 2 时, | PA |min ? 2 . (3)假设存在半径为 r 的圆 P ,满足题设, 则 | PO |? r ? 1 , | PC |? r ? 1 ,∴ | PC |?| PO | ?2 ,
2 2 即 (a ? 2) ? (b ? 4) ?

a 2 ? b2 ? 2 ,

化简得

a 2 ? b2 ? 4 ? (a ? 2b) ,

又 ∵ a ? 2b ? 5 ,∴ a2 ? b2 ? ?1,不可能. ∴不存在这样的圆 P .


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