2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 2.1.2(二)椭圆的简单几何性质(二)_图文


2.1.2(二)

2.1.2
【学习要求】
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椭圆的简单几何性质(二)

1.理解直线与椭圆的位置关系. 2.能解决简单的与椭圆有关的综合问题. 【学法指导】 用直线和椭圆的方程研究直线和椭圆的位置关系,将图形 之间的关系问题转化为方程组解的问题是典型的数形结 合思想.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.2(二)

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x2 y2 1.点 P(x0,y0)与椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的位置关系: a b
x2 y2 0 0 + 2=1 a2 b 点 P 在椭圆上? ; x2 y2 0 0 + 2<1 a2 b 点 P 在椭圆内部? ; x2 y2 0 0 + 2>1 a2 b 点 P 在椭圆外部? .

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.2(二)

x2 y 2 2.直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的位置关系判断方 a b ?y=kx+m ? 2 2 法:联立?x y ?a2+b2=1 ? ,

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消去 y 得到一个一元二次方程 Ax2+Bx+C=0,则有 位置关系 解的个数 Δ 的取值 相交 相切 相离

两解

Δ> 0 Δ= 0 Δ < 0

一 解
零解

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2.1.2(二)

3.弦长公式
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x2 y 2 设直线方程 y=kx+m,椭圆方程 2+ 2=1 (a>b>0). a b 直线与椭圆的两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 1 或|AB|= 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2. k

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2.1.2(二)

探究点一
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直线与椭圆的位置关系

问题 1 已知直线和椭圆的方程,怎样判断直线与椭圆的位 置关系?

答案 直线与椭圆的位置关系,可通过讨论椭圆方程与直线 方程组成的方程组的解的个数来确定,通常用消元后的关于 x(或 y)的一元二次方程的根的判别式来判断.
Δ>0?直线和椭圆相交;Δ=0?直线和椭圆相切;

Δ<0?直线和椭圆相离.

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问题 2 直线与椭圆的位置关系能否用中心到直线的距离来
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判断?

答案 不能.

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x2 y2 例 1 已知椭圆 + =1, 直线 l:4x-5y+40=0.椭圆上是 25 9 否存在一点,它到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析
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作出直线 l 及椭圆.观察图形,可以发现,利用平行于

直线 l 且与椭圆只有一个交点的直线,可以求得相应的最小 距离. 解 由直线 l 的方程与椭圆的方程可以知道,直线 l 与椭圆 ① 不相交.设直线 m 平行于直线 l,则直线 m 的方程可以写成 4x-5y+k=0.

?4x-5y+k=0, ? 2 由方程组? x y2 ?25+ 9 =1, ?

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2.1.2(二)

消去 y,得 25x2+8kx+k2-225=0.




令方程②的根的判别式 Δ=0,
得 64k2-4×25(k2-225)=0.
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解方程③得 k1=25,或 k2=-25.
由图可知,当 k=25 时,直线 m 与椭圆的交点到 直线 l 的距离最近,此时直线 m 的方程为 4x -5y+25=0.

|40-25| 15 直线 m 与直线 l 间的距离 d= 2 2=41 41. 4 +?-5? 15 所以,最小距离是 41. 41

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2.1.2(二)

问题 3
答案
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如何求最大距离?
由图可知,k=-25 时,直线 m 与椭圆的交点到直线

l 的距离最大.

小结 本题通过对图形的观察分析,将求最小距离问题转化 为直线与椭圆的位置关系问题.
解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立,消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程,则(1)直线与椭圆相交 ?Δ>0;(2)直线与椭圆相切?Δ=0;(3)直线与椭圆相离? Δ<0,所以判定直线与椭圆的位置关系,方程及其判别式是 最基本的工具.

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2.1.2(二)

x2 y2 跟踪训练 1 在椭圆 + =1 上求一点 P,使它到直线 l: 4 7 3x-2y-16=0 的距离最短,并求出最短距离.
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设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为

3 y= x+m, 2

x2 y2 代入 + =1, 4 7 并整理得 4x2+3mx+m2-7=0, Δ=9m2-16(m2-7)=0

?m2=16?m=± 4,

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2.1.2(二)

3 3 故两切线方程为 y= x+4 和 y= x-4, 2 2
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|16-8| 3 8 显然 y= x-4 距 l 最近,d= 2 , 2= 2 13 3 +?-2?

切点为

?3 7? ? P?2,-4?. ? ? ?

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探究点二 直线与椭圆的相交弦问题

2.1.2(二)

问题 直线与椭圆相交,怎样求相交弦的弦长? 答案 在相交弦问题中,一般不求出交点坐标,只是先设出
交点坐标(设而不求思想),然后利用根与系数的关系求弦长. x2 y2 设直线 l:y=kx+m 交椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)于 P1(x1,y1), a b P2(x2,y2)两点, 则|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2

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? ?y -y ? ? 2?2? ? ? 1 ?x1-x2?2?1+? ? ? ? ?x1-x2? ?

= ?x1-x2?2· ?1+k2? =|x1-x2|· 1+k2.
1 同理可得|P1P2|=|y1-y2|· 1+ 2 (k≠0). k

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2.1.2(二)

x2 y2 例 2 已知椭圆 + =1 和点 P(4,2),直线 l 经过点 P 且与 36 9 椭圆交于 A、B 两点. 1 (1)当直线 l 的斜率为 时,求线段 AB 的长度; 2
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(2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程. 1 解 (1)由已知可得直线 l 的方程为 y-2= (x-4), 2 1 ? ?y= x, ? 2 1 即 y= x.由? 2 2 x y2 ? ?36+ 9 =1, ? 可得 x2-18=0,若设 A(x1,y1),B(x2,y2).
则 x1+x2=0,x1x2=-18.

于是|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2

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= 1 ?x1-x2? + ?x1-x2?2 4
2

2.1.2(二)

5 = ?x1+x2?2-4x1x2 2
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5 = ×6 2=3 10. 2

所以线段 AB 的长度为 3 10.
(2)方法一 设 l 的斜率为 k,则其方程为 y-2=k(x-4).

? x2 y2 ? + =1, 联立?36 9 ?y-2=k?x-4?, ?
消去 y 得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0.

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32k2-16k 若设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= , 1+4k2

2.1.2(二)

由于 AB 的中点恰好为 P(4,2),
x1+x2 16k2-8k 1 所以 = =4,解得 k=- ,且满足 Δ>0. 2 2 1+4k2 1 这时直线的方程为 y-2=- (x-4), 2 1 即 y=- x+4. ? x2 y2 2 ? 1 + 1=1, ?36 9 方法二 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有? 2 x2 y2 ? + 2=1, ?36 9 ? 2 2 2 2 x2-x1 y2-y1 两式相减得 + =0, 36 9

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研一研·问题探究、课堂更高效 y2-y1 9?x2+x1? 整理得 kAB= =- , x2-x1 36?y2+y1?
由于 P(4,2)是 AB 的中点,∴x1+x2=8,y1+y2=4,
9×8 1 于是 kAB=- =- , 2 36×4
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2.1.2(二)

1 于是直线 AB 的方程为 y-2=- (x-4), 2 1 即 y=- x+4. 2
小结 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直

线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式 解决,涉及弦的中点,还可使用点差法:设出弦的两端点坐 标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系.

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2.1.2(二)

x2 y2 跟踪训练 2 已知椭圆 + =1 的弦 AB 的中点 M 的坐标 16 4 为(2,1),求直线 AB 的方程,并求弦 AB 的长.

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方法一

易知直线斜率 k 存在.

设所求直线的方程为 y-1=k(x-2),
?y-1=k?x-2?, ? 2 由? x y2 ?16+ 4 =1, ?
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1、x2 是上述方程的两根, 8?2k2-k? 于是 x1+x2= 2 . 4k +1

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x1+x2 4?2k2-k? 又 M 为 AB 的中点,∴ = =2, 2 4k2+1 1 解得 k=- ,且满足 Δ>0. 2

2.1.2(二)

故所求直线的方程为 x+2y-4=0.
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4?2k-1?2-16 ∵x1+x2=4,x1·2= x =0. 4k2+1

∴|AB|= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2

? 1? 1+?-2?2 ? ? ? ?

42-0=2 5.

方法二

设 A(x1,y1)、B(x2,y2).

∵M(2,1)为 AB 的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.

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2.1.2(二)

又 A、B 两点在椭圆上,

则 x2+4y2=16,x2+4y2=16, 1 1 2 2
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两式相减,得(x2-x2)+4(y2-y2)=0, 1 2 1 2
于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 x1+x2 4 1 ∴ =- =- =- , 2 x1-x2 4?y1+y2? 4×2 1 即 kAB=- .故所求直线的方程为 x+2y-4=0. 2 |AB|求法同上.

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探究点三 椭圆中的最值(或范围)问题 问题
答案
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2.1.2(二)

在椭圆的有关问题中,常出现离心率、弦长或面积的
(1)解决与椭圆有关的最值问题,一般先根据条件列出

范围、最值问题,这类问题一般思路是什么?
所求目标函数的关系式,然后根据函数关系式的特征选用配 方法,应用不等式的性质,以及三角函数的最值求法求出它 的最大值或最小值及范围.

x2 y2 (2)解决椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中的范围问题常用的关系有 a b

①-a≤x≤a,-b≤y≤b;
②离心率 0<e<1;

③一元二次方程有解,则判别式 Δ≥0.

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例 3 已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m.

2.1.2(二)

(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

?4x2+y2=1, ? (1)由? ?y=x+m ?

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得 5x2+2mx+m2-1=0,

因为直线与椭圆有公共点,
5 5 所以 Δ=4m -20(m -1)≥0,解得- ≤m≤ . 2 2
2 2

(2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由(1)知:5x2+2mx+m2-1=0, 2m 1 2 ∴x1+x2=- ,x1x2= (m -1), 5 5

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所以|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2

2.1.2(二)

= 2?x1-x2?2= 2[?x1+x2?2-4x1x2] =
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?4m2 4 ? ? 2 2? - ?m -1?? ? 5 ? 25 ?

2 = 10-8m2. 5

∴当 m=0 时,|AB|最大,此时直线方程为 y=x.
小结 解析几何中的综合性问题很多.而且可与很多知识联

系在一起出题,例如不等式、三角函数、平面向量以及函数 的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、 函数 与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程 根与系数的关系构造等式或函数关系式,这其中要注意利用 根的判别式来确定参数的限制条件.

2.1.2(二) 研一研·问题探究、课堂更高效 跟踪训练 3 在本例中, 设直线与椭圆相交于两点 A(x1, 1), y

B(x2,y2),求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时 的直线方程.

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|m| 解 可求得 O 到 AB 的距离 d= , 2 2 又|AB|= 10-8m2, 5 ? 12 2 ?5 1 ? 2 |m| 2? 2 -m ?m ∴S△AOB= |AB|· =2· 10-8m · = d 5 5 ?4 2 2 ? ? ?5 ? ? -m2?+m2 ? 2 ?4 1 ? ? ≤ · = . 5 25 4 当且仅当“ -m2=m2”时,上式取“=”. 4 10 ? 5 5? ? 此时 m=± ∈?- , ?. 4 2 2? ? ? 10 ∴所求直线方程为 x-y± =0. 4

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(二)

x2 2 1.已知直线 l:x+y-3=0,椭圆 +y =1,则直线与椭圆的 4
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位置关系是 A.相交 C.相离 B.相切 D.相切或相交

( C )

x2 2 解析 把 x+y-3=0 代入 +y =1 4 2 x 得 +(3-x)2=1,即 5x2-24x+32=0. 4 ∵Δ=242-4×5×32=-64<0,∴直线与椭圆相离.

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2.1.2(二)

x2 y2 2.直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 总有公共点,则 m 的取值 5 m 范围是
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( D ) B.m≥1 或 0<m<1 D.m≥1 且 m≠5

A.m>1 C.0<m<5 且 m≠1

解析 ∵直线 y=kx+1 恒过(0,1)点,若 5>m,则 m≥1,
若 5<m,则必有公共点,∴m≥1 且 m≠5.

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2.1.2(二)

x2 y2 3.直线 y=x+1 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点坐标是 4 2
?2 5 ? A.?3,3 ? ? ? ? ? ?4 7 ? B.?3,3 ? ? ? ? ? ? 13 17? ? D.?- 2 ,- 2 ? ? ? ?

( C )

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?y=x+1, ? 2 2 解析 联立方程?x y 消去 y 得 3x2+4x-2=0. ? 4 + 2 =1, ? 设交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0), x1+x2 4 2 1 ∴x1+x2=- ,x0= =- ,y0=x0+1= . 3 2 3 3
? 2 1? ∴所求中点的坐标为?-3,3?. ? ? ? ?

? 2 1? C.?-3,3 ? ? ? ? ?

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2.1.2(二)

x2 y2 4.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交 5 4 5 于 A, 两点, 为坐标原点, B O 则△OAB 的面积为________. 3
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解析 由已知可得直线方程为 y=2x-2, 联立方程得方程组 ?x2 y2 ?5 4? ? + =1, ?5 4 解得 A(0,-2),B? , ?. ?3 3? ? ? ?y=2x-2, ? 1 5 ∴S△AOB= |OF||yA-yB|= . 2 3

2.1.2(二)

解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法,
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解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2); (2)联立直线与椭圆的方程; (3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程; (4)利用根与系数的关系设而不求; (5)把题干中的条件转化为 x1+x2,x1·2 或 y1+y2,y1·2,进 x y 而求解.


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