内蒙古自治区2012届高三数学单元测试11《平面向量》文新人教A版


内蒙古自治区新人教 A 版数学高三单元测试 11

【平面向量】

本卷共 100 分,考试时间 90 分钟

一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分)

1. 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )

A、一条线段 B、一段圆弧 、圆上一群孤立点

、一个单位圆

2. 下列命中,正确的是( )

A、| a |=| b | ? a = b

B、| a |>| b | ? a > b

C、 a = b ? a ∥ b

D、| a |=0 ? a =0

3. 已知 AB ? (6,1), BC ? (x, y),CD ? (?2,?3), BC ∥ DA ,则 x ? 2y 的值为( )

A.2

B. 0

C. 0.5

D. -2

4. 已知 a ? ?3,1?, b ? ?2, ?? ,若 a // b ,则实数 ? 的值为(



A. ? 2 3

B. ? 3 2

C. 2 3

D. 3 2

5.

已知非零向量 a 、b 满足向量 a ? b 与向量 a ? b 的夹角为 ? 2

,那么下列结论中一.定.成.立.

的是( )

(A) a ? b

(B)| a |?| b |

(C) a ? b

(D) a b

? ? 6. 若非零向量 a, b 满足| a |?| b |, 2a ? b ?b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为( )

A. 30°°

B. 60° C. 120° D. 150°

7. 已知 ?ABC 中, ?A , ?B , ?C 的对边分别为 a,b, c 三角形的重心为 G .

aGA ? bGB ? cGC ? 0 ,则 ?A ?

()

A. 30?

B. 60?

C. 90?

D. 120?

8. 已知点 P 为 ?ABC 所在平面上的一点,且 AP ? 1 AB ? t AC ,其中 t 为实数,若点 P 落 3

在 ?ABC 的内部,则 t 的取值范围是( )

A. 0 ? t ? 1 4

B. 0 ? t ? 1 3

C. 0 ? t ? 1 2

D. 0 ? t ? 2 3

?? ?
9. 设 A(a,1) ,B(2, b) ,C(4, 5) 是坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 OA与 OB 在 OC 方方向 向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( )
A. 5a ? 4b ?14 B. 4a ? 5b ? 3 C. 4a ? 5b ?14 D. 5a ? 4b ? 3

10. 设平面向量 a =(-2,1), b =(λ ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 的取值范围是

()

A、 (? 1 ,2) ? (2,??) 2

B、 (2,??)

C、 (? 1 ,??) 2

D、 (??,? 1 ) 2

二、填空题 (共 16 分)

11.

已知向量

? a

? ? 3,b

? ? (1,2) ,且 a

?? ? b ,则 a 的坐标是



12. 直线 l 上有不同三点 A, B,C , O 是直线 l 外一点,对于向量 OA ?(1- cos? )OB +

sin? OC (? 是锐角)总成立,则? ? _________________;

13. 在平面直角坐标系中,双曲线 C 的中心在原点,它的一个焦点坐标为 ( 5, 0) ,

e1 ? (2,1) 、 e2 ? (2, ?1) 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 C 上的点 P ,若

OP ? ae1 ? be2 ( a 、 b ? R ),则 a 、 b 满足的一个等式是



三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤)

14. ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 在 ?ABC 中 , a,b, c 分 别 为 角 A, B,C 的 对 边 , 向 量

m ? (2sin B, 2 ? cos 2B),
n ? (2sin2 ( B ? ? ), ?1) ,且 m ? n . 24
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3, b ? 1 ,求 c 的值.
15. (本小题满分 10 分)已知 ?ABC 内接于圆 O : x2 + y2 =1( O 为坐标原点),

且 3 OA +4 OB +5 OC = 0 。
(I)求 ?AOC 的面积; (Ⅱ)若 ?xOA ? ? ? ,设以射线 Ox 为始边,射线 OC 为终边所形成的角为? ,
4 判断? 的取值范围。

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求 C 点的坐标。
16. (本小题满分 12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD=4,BC=6,CD=2,

3AB ? AD ? 4CB ? CD ? 0
(1) 求四边形 ABCD 的面积; (2) 求三角形 ABC 的外接圆半径 R;

(3) 若 ?APC ? 600 ,求 PA+PC 的取值范围。

17. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC,AB ? (cos3x , ? sin 3x ) ,AC ? (cos x , sin x) ,

2

2

22

其中 x ? (0 , ? ) . 2

⑴求| BC | 和 ?ABC的边 BC 上的高 h ;

⑵若函数 f (x) ?| BC |2 ?? ? h 的最大值是 5 ,求常数 ? 的值.

答案 一、选择题 1. D2. C3. B4. C5. B6. C7. B8. D9. B10. 答案:A

点评:易误选 C,错因:忽视 a 与 b 反向的情况。

二、填空题

11.

? ???

3

5 5

,

?

6

5 5

? ???



? ???

?

3

5 5

,

6

5 5

? ???

12.

450 13.

4ab?1

三、解答题

14. 解:(1) m ? n ? 2sin B ? 2sin2( B ? ? ) ? (2 ? cos2B) 24

? 2sin B ? (1 ? cos(B ? ? )) ? 2 ? cos2B 2
? 2sin B ? 2sin2 B ? 2 ? cos2B
? 2sin B ?1 ? 0 ,?sin B ? 1 2
因为 0 ? B ? ? 所以 B ? ? 或 5?
66 (2)在 ?ABC中,因为 b<a,所以 B ? ?
6
由余弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2accosB

得 c2 ? 3c ? 2 ? 0 所以 c ?1或 c ? 2 ,

15. 解:(1)由 3 OA +4 OB +5 OC = 0 得 3 OA +5 OC = ?4 OB ,

平方化简,得 OC · OA = ? 3 ,所以 cos ? OA,OC ? = ? 3 ,

5

5

而 ? OA,OC ??[0,? ] 所以 sin ? OA,OC ? = 4 。 5

?AOC

的面积是

S?AOC

=

1 2

OA

OC

sin ? OA,OC ? = 2 。 5

(2)由(1)可知 cos ? OA,OC ? = ? 3 ? 0 ,得 ? OA,OC ? 为钝角, 5

又 ? ? OA,OC ? ? ? ? ? ? 2k? 或 ? OA,OC ? =? ? ? ? 2k? , k ?Z

4

4

所以 ? 5 ? ? 2k? ? ? ? ? 3? ? 2k? 或 1 ? ? 2k? ? ? ? 3? ? 2k? , k ?Z

4

4

4

4

(3)由题意,C 点的坐标为 (cos?,sin? ) ,进而 OC ? (cos? ,sin? ) ,

又 OA ? ( 2 , ? 2 ) ,可得 OA? OC ? 2 cos? ? 2 sin? ? ?sin(? ? ? )

22

2

2

4

OA? OC ? ? 3 ,于是有 sin(? ? ? ) ? 3

5

45

当 ? 5 ? ? 2k? ? ? ? ? 3? ? 2k? 时, ? 3? ? 2k? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2k? ,

4

4

2

4

所以 cos(? ? ? ) ? ? 4 45

sin?

? sin[(?

?

?

)

?

?

]?

sin(?

?

?

? ) cos

? cos(?

?

?

? ) sin

44

44

44

? 3 ? 2 ? (? 4)? 2 ? ? 2 5 2 5 2 10

从而 cos? ? ? 7 2 。 10

当 1 ? ? 2k? ? ? ? 3? ? 2k? 时, 0 ? 2k? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2k? ,

4

4

42

所以 cos(? ? ? ) ? 4 45

cos?

?

cos[(?

?

?

)

?

?

]?

cos(?

?

?

? ) cos

? sin(?

?

?

) sin

?

44

44

44

? 4? 2 ?3? 2 ? 2 5 2 5 2 10

从而 sin? ? 7 2 。 10

综上, C 点的坐标为 (? 2 , ? 7 2 ) 或 ( 2 , 7 2 ) 。

10 10

10 10

16. (1)由 3AB ? AD ? 4CB ?CD ? 0 得 ?BAD ? ?BCD ? ?

??ABC ? ?ADC ? ?

? AC2 ? 42 ? 62 ? 2? 4? 6cos ?ABC ? 42 ? 22 ? 2? 2? 4cos ?ADC

?cos ?ABC ? 1 2

故 ?ABC ? 600

? SABCD

?

1 ? 2? 4?sin1200 2

?

1 ? 4? 6sin 600 2

?

8

3

(2)由(1)知 AC ? 2 7 ,?2R ? AC ? 2 7 ? 4 21 sin ?ABC sin 600 3

? R ? 2 21 3

(3) 由(1)和(2)知点 P 在三角形 ABC 的外接圆上,故 PA=2Rsin∠ACP,

PC=2Rsin∠CAP,设∠ACP=θ ,则∠CAP= 2? ?? , 3

? PA

?

PC

?

2R

???sin ?

?

sin( 2? 3

?? )???

?

4

7 sin(? ? ? ) , 6

? ?(0, 2? )?? ? ? ?(? , 5? )

3

6 66

? sin(?

?

? 6

)

?

? ??

1 2

,1???

? ?PC ? PA? 2 7, 4 7 ??

17.

⑴ BC

?

AC ? AB ? (cos x ? cos3x , 22

sin

x 2

?

sin

3x 2

)



| BC |2 ? (cos x ? cos3x)2 ? (sin x ? sin 3x)2

22

22

? 2 ? 2(sin x sin 3x ? cos x cos3x) ? 2 ? 2cos2x ? 4sin2 x 22 2 2

因为 x ? (0 , ? ) ,所以| BC |? 2sin x ,因为| AB |?| AC |? 1, ?ABC是等腰
2

三角形,所以 h ?

| AB |2 ?(1 | BC |) 2 ? cos x 2

注 : 运 用 数 形 结 合 解 三 角 形 的 办 法 求 解 | BC | 也 可 参 ( 照 给 分 。

cos A ? AB? AC ,? cos2x 0 ,依题意, ? A ? ? ,0 ? 2x ? ? ,所以 A ? 2x | AB | ? | AC |

,因为| AB |?| AC |?1,所以| BC |? 2sin x , h ? cosx

⑵由⑴知, f (x) ?| BC |2 ?? ? h ? ?4cos2 x ? ? cos x ? 4 ? ?4(cos x ? ? )2 ? 4 ? ?2 ,

8

16

因为 x ? (0 , ? ) , cos x ? (0 , 1) ,所以 2



若0??

? 8,则当 cosx

?

? 8

时,f (x) 取得最大值 4 ?

?2 16

,依题意 4 ?

?2 16

?

5,

解得 ? ? 4

② ②若 ? ? 0,因为 cosx ? (0 , 1),所以 f (x) ? ?4cos2 x ? ? cos x ? 4 ? 4 ,

与 f (x) 取得最大值 5 矛盾

③若 ? ? 8 ,因为 cosx ? (0 , 1),

所 以 f (x) ? 4s i2 xn? ? c ox ?s 4s i2 xn? 8c ox s, f (x) 的 最 大 值

M

?

f

(? 3

)

?

7

?

5

,与“函数

f (x) 的最大值是 5 ”矛盾

(或:若 ? ? 8 ,当 cosx ? 1时, f (x) 取得最大值,最大值为 f (0) ? ?

? ? 8 依题意 ? ? 5,与

矛盾

? 综上所述, ? 4 .


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