【优化方案】2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用(第3课时)课时作业 新人教A版选修2-2


【优化方案】2014-2015 学年高中数学 第一章 导数及其应用(第 3 课时)课时作业 新人教 A 版选修 2-2
[学业水平训练] 3 1.y= x2的导数是( A.3x2 1 C.-2 1 B.3x2 D. 2 )

3 3 x

2 2 1 2 3 解析:选 D.∵y= x2=x3,∴y′=3x-3= . 3 3 x π 2.函数 y=sin(x+2)的导数为( π A.y′=-cos(x+2) C.y′=-sin x )

B.y′=cos x-sin x

D.y′=cos x

π 解析:选 C.∵y=sin(x+2)=cos x, ∴y′=-sin x. 3.曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2 C.e 1 D.e )

解析:选 A.由条件得 y′=ex,根据导数的几何意义,可得 k=y′|x=0=e0=1. 1 4.过曲线 y=x 上一点 P 的切线的斜率为-4,则 P 的坐标为( 1 A.(2,2) 1 1 B.(2,2)或(-2,-2) 1 D.(2,-2) )

1 C.(-2,-2)

1 1 1 1 1 解析:选 B.因为 y′=-x2,令-x2=-4,得 x=±2,P 的坐标为(2,2)或(-2,-2),故选 B. 1 1 5.(2014· 黄冈高二检测)若曲线 y=x-2在点(a,a-2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形 的面积为 18,则 a 等于( A.64 B.32 C.16 D.8 1 3 解析:选 A.∵y′=-2· x-2, )

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1 3 ∴y′|x=a=-2· a-2, 1 1 1 3 3 1 ∴在点(a, a-2)处的切线方程为 y-a-2=-2· a-2· (x-a). 令 x=0, 得 y=2a-2, 令 y=0, 得 x=3a, 1 3 1 ∴2×3a×2a-2=18,解得 a=64. 6.曲线 y=ln x 在点 M(e,1)处的切线的斜率是________,切线方程为____________. 1 解析:∵y′=(ln x)′=x , 1 ∴y′|x=e=e. 1 ∴切线方程为 y-1=e(x-e), 即 x-ey=0. 1 答案:e x-ey=0 1 7.已知函数 f(x)=x ,且 f′(a)-f(a)=-2,则 a=________. 1 1 解析:f(x)=x ,所以 f′(x)=-x2, 1 1 f′(a)-f(a)=-a2-a=-2. 即 2a2-a-1=0, 1 解得 a=1 或 a=-2. 1 答案:1 或-2 8 . (2014·忻州高二检测 ) 与直线 2x - y - 4 = 0 平行且与曲线 y = x 相切的直线方程是 ________. 解析:∵直线 2x-y-4=0 的斜率为 k=2, 1 又∵y′=( x)′= , 2 x 1 1 ∴ =2,解得 x=16. 2 x 1 1 ∴切点的坐标为(16,4). 1 1 故切线方程为 y-4=2(x-16). 即 16x-8y+1=0. 答案:16x-8y+1=0 9.求下列函数的导数: 1 5 (1)y=x x;(2)y=x4;(3)y= x3;
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(4)y=log2x2-log2x; x x (5)y=-2sin 2(1-2cos24). 3 3 3 3 解:(1)y′=(x x)′=(x2)′=2x2-1=2 x. 1 (2)y′=(x4)′=(x-4)′=-4x-4-1 4 =-4x-5=-x5. 3 3 3 5 (3)y′=( x3)′=(x5)′=5x5-1 3 2 3 =5x-5= . 5 5 x2 (4)∵y=log2x2-log2x=log2x, 1 ∴y′=(log2x)′=x· ln 2. x x (5)∵y=-2sin 2(1-2cos24) x x =2sin 2(2cos24-1) x x =2sin 2cos 2=sin x, ∴y′=(sin x)′=cos x. 4 10.在曲线 y=x2上求一点 P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135°. 解:设 P 点坐标为(x0,y0),∵y′=-8x-3, ∴y′|x=x0=-8x- 0 3=tan 135°=-1, 即 8x- 0 3=1, ∴x0=2.将 x0=2 代入曲线方程得 y0=1, ∴所求 P 点坐标为(2,1). [高考水平训练] 1 1. (2014· 望江高二检测)直线 y=2x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线, 则实数 b 的值为( A.2 B.ln 2+1 C.ln 2-1 D.ln 2 1 解析:选 C.∵y=ln x 的导数 y′=x , 1 1 ∴令x =2,得 x=2, ∴切点为(2,ln 2). 1 代入直线 y=2x+b,得 b=ln 2-1. 2. 设 f0(x)=sin x, f1(x)=f′0(x), f2(x)=f′1(x), …, fn+1(x)=f′n(x), n∈N, 则 f2 014(x)=________.
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)

解析:由已知 f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…依次 类推可得,f2 014(x)=f2(x)=-sin x. 答案:-sin x 3.过原点作曲线 y=ex 的切线,求切点的坐标及切线的斜率. 解:∵(ex)′=ex,设切点坐标为(x0,ex0), 则过该切点的直线的斜率为 ex0, ∴所求切线的方程为 y-ex0=ex0(x-x0). ∵切线过原点, ∴-ex0=-x0· ex 0,x0=1. ∴切点为(1,e),斜率为 e. 4.已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线 的 AOB 上求一点 P,使△APB 的面积最大. 解:因为|AB|为定值,所以要使△APB 的面积最大,只要点 P 到 AB 的距离最大,只要点 P 是抛物线的平行于 AB 的切线的切点即可.设 P(x,y),由图知,点 P 在 x 轴下方的图象上,

所以 y=-2 x, 1 所以 y′=- . x 1 因为 kAB=-2, 所以- 1 1 =-2,x=4. x

由 y2=4x(y<0),得 y=-4, 所以 P(4,-4).

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