2016秋高中数学第一章立体几何初步1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球球及组合体练习新人教B版必修2


第 5 课时 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球——球及组合体 课时目标 1.初步掌握球的截面的性质及其简单应用. 2.了解经度、纬度的几何意义,初步理解球面距离的概念. 识记强化 (1)球面可看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面,球面围成 的几何体,叫做球,形成球的半圆的圆心叫做球心;连结球面上一点和球心的线段叫做球的 半径;连结球面上两点且通过球心的线段叫做球的直径. (2)球可以用表示它的球心的字母来表示. (3)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合. (4)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆;被不经过球心的平面截得的圆叫做 球的小圆. (5)在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的 长度,这个弧长叫做两点的球面距离. (6)球的小圆的圆心为 O′,球心为 O,|OO′|=d,球的小圆的半径为 r,球半径为 R, 2 2 则 d= R -r . 课时作业 一、选择题(每个 5 分,共 30 分) 1.A、B 为球面上相异两点,则通过 A、B 所作的大圆个数为( ) A.1 个 B.无数个 C.一个也没有 D.1 个或无数个 答案:D 解析:当 A、B 是球的直径的两个端点时,经过 A、B 的大圆有无数个,否则只有一个, ∴应选 D. 2.一个底面半径为 2 的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截,则截得的截面圆 的面积为( ) A.π B.2π C.3π D.4π 答案:A 3.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面图形可以是下图中的 ( ) 答案:B 解析:由组合体的结构特征知球只与正方体的表面相切,而与侧棱相离,故正确答案为 B. 1 4.给出下列命题,其中正确命题的个数为( ) ①直线绕定直线旋转形成柱面; ②曲线平移一定形成曲面; ③直角梯形绕一边旋转形成圆台; ④半圆绕定直线旋转形成球. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 答案:D 解析:①可能是锥面,对于②若曲线在平面内平移就形成了平面.③④不符合定义,旋 转轴不确定. 5. 救生圈是旋转体, 它可以看成圆绕其轴旋转一周得到的几何体, 该轴的位置是( ) A.该圆的一条直径 B.该圆所在平面外的一条直线 C.该圆所在平面内的一条直线 D.以上都不对 答案:D 解析:应该是该圆所在平面内,并且在该圆外的一条直线. 6.已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ,它们位于球心的同一侧,且相距 为 1,那这个球的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.5 答案:B 2 2 2 解析:设两截面圆的半径分别为 r1、r2,球半径为 R,则 π r1=5π ,π r2=8π ,故 r1= 2 5,r2=8, 2 2 2 ? ?r1+h1=R , 又由题意得? 2 2 2 ?r2+?h1-1? =R , ? 解得? ? ?h1=2 ?R=3 ? ,∴选 B. 二、填空题(每个 5 分,共 15 分) 7.下列关于球的说法正确的是________(填序号). ①球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段; ②球的直径是连接球面上任意两点的线段; ③空间中到一定点的距离为某一定值的点的集合是一个球. 答案:① 解析:①正确;②球的直径必须过球心,所以②错误;③空间中到一定点的距离相等的 点的集合是一个球面,所以③错误. 8.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶 点的圆锥而得到的组合体, 现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体, 则截面图形可 能是________(填序号). 答案:①⑤ 解析:当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时,截面图形如图①;当垂直于圆柱底 面的平面不经过圆锥的顶点时,截面图形可以为图⑤. 2 9.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是________(填序号). ①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的; ②该几何体有 12 条棱、6 个顶点; ③该几何体有 8 个面,并且各面均为三角形; ④该几何体有 9 个面,其中一个面是四边形,其余各面均为三角形. 答案:④ 解析:平面 ABCD 可将该几何体分割成两个四棱锥,因此该几何体是这两个四棱锥的组 合体,然而平面 ABCD 是它的一个截面,而不是一个面,故说法①②③正确,说法④不正确. 三、解答题 10.(12 分)用一平面截半径为 25 的球,若截面圆的面积为 225π ,求球心到截面的距 离. 解:设球心为 O,截面圆的圆心为 O′,球的半径为 r、截面圆的半径为 r′,则 OO′ 2 2 = r -r′ . 2 2 ∵π r′ =225π ,∴r′ =225. 2 2 又 r =25 =625,∴OO′= 625-225=20. ∴球心到截面的距离为 20. 2 11. (13 分)某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍, 轴截面的面积等于 392 cm , 母线与轴的夹角是 45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径. 解:圆台的轴截面如图所示. 设圆台上、下底面半径分别为 x cm 和 3x cm,延长 AA1 交 OO1 的延长线于点 S. 在 Rt△SOA 中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°, ∴SO=AO=3x cm,OO1=2x cm, 1 ∴ (2x+6x)·2x=392,解得 x=7. 2 又母线长 AA1= 2OO1, ∴圆台的高 OO1=14 cm,母线长为 14 2 cm,底面半径分别为 7 cm 和 21 cm. 能力提升 12.(5 分)在地球的北纬 60°圈上有 A、B 两点,它们的经度差是 180°,问 A、B 两点 沿纬度圈的距离是 A、B 球面距离的多少倍? 解:如图所示,设地球半径为 R,北纬 60°圈半径为 r,在 Rt△OAC 中,∠OAC=60°, 1 r=Rcos60°= R.又 A、B 两点的经度差为 180°,即 AB 为圆 C 的直径

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