2018-2019学年高二数学北师大版选修2-2第2章 变化率与导数 2.2.1导数的概念_图文


§2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 1.了解导数的概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导 数的思想及其内涵. 2.会求函数在某点处的导数. 导数的概念 设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x 0)变到 f(x1), Δ 函数值 y 关于 x 的平均变化率为 Δ = (1 )-(0 ) (0 +Δ)-(0 ) = . Δ 1 -0 当1 趋于0, 即 Δ趋于 0 时 , 如果平均变化率趋于一个固定的值, 那么这个值就是函数 = ( )在0 点的瞬时变化率. 在数学中, 称瞬时变化率为函数 = ( )在0 点的导数 , 通常用符号′ (0) 表示, 记作′(0) = lim f(x1 )-f(x0 ) (0 +Δ)-(0 ) = . Δ 1 → 0 x1 -x0 x →0 说明:(1)函数应在x0的附近有定义. (2)在定义导数的极限式中,Δx趋近于0,且Δx是自变量x在x0处的 改变量,所以Δx可正、可负,但不能为0.当Δx>0(或Δx<0)时,Δx→0表 示x0+Δx从右边(或从左边)趋近于x0. (3)函数在某点处的导数就是在该点的函数值的改变量与自变量 的改变量之比的极限,它是个常数,不是变量. 【做一做】 已知f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a等于 ( A.2 B.-2 C.3 D.-3 答案:A ) 题型一 题型二 题型三 题型一 求函数在某点处的导数 【例1】 已知y=f(x)=x2+3. (1)求f(x)在x=1处的导数; (2)求f(x)在x=a处的导数. 分析:函数在某一点处的导数实际上就是相应函数在该点处的瞬 时变化率. 题型一 题型二 题型三 Δ 解 :(1)因为 Δ = (1+Δ)-(1) (1+Δ) +3-(12 +3) = = Δ Δ 2 2 + Δ , 且当 Δx 趋于 0 时 ,2+Δx 趋于 2, 所以 f(x)在 x=1 处的导数等于 2. Δ (2)因为 Δ = (+Δ)-() (+Δ) +3-(2 +3) = = Δ Δ 2 2 + Δ , 且当 Δx 趋于 0 时 ,2a+Δx 趋于 2a, 所以 f(x)在 x=a 处的导数等于 2a. 反思求 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤 :(1)求 求极限,得导数值 . Δ Δy;(2)求 ; (3) Δ 题型一 题型二 题型三 【变式训练 1】 求函数 y=f(x)=x2+2x+3 在 = 1 处的导数 . 解 :因为 Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2+2(1+Δx)+3 1 + Δ ? (1 + 2 + 3) = (Δ )2 + 4Δ + 3 1 + Δ ? 3, Δ 所以 Δ (Δ) +4Δ+3 1+Δ-3 = Δ 1+Δ-1 =Δx+4+3· Δ 3 =Δx+4+ . 1+Δ+1 3 11 当 Δx 趋于 0 时 ,Δx+4+ 趋于 . 1+Δ+1 2 11 故函数在 x=1 处的导数等于 . 2 2 题型一 题型二 题型三 题型二 导数的实际意义 【例 2】 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m) 与起跳后的时间 t(单位:s)之间的关系式为 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10,求在 t= 65 98 s 时 , ? ()的导数, 并解释此时的运动状况. 分析:根据导数的定义求出导数,并根据导数就是瞬时速度说明 运动状况 . 题型一 题型二 题型三 65 ?(0 +Δ)-?(0 ) 解 :令 t0= , Δ为增量,则 = 98 Δ 2 -4.9(0 +Δ) +6.5(0 +Δ)+10+4.92 -4.9Δ(20 +Δ)+6.5Δ 0 -6.50 -10 = Δ Δ 65 65 ?4.9(20 + Δ) + 6.5 = ?4.9 + Δ + 6.5. ∴ ?′ = 49 98 h(t0 +t)-h(t0 ) 65 lim = -4.9 + Δ + 6.5 = 0. t 49 Δ →0 t →0 65 故运动员在 t= s 时的瞬时速度为 0 m/s. 98 = 这说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处. 反思函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)反映了函数在这点处的瞬时 变化率,它揭示了事物在某时刻的变化状况. 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】 一条水管中流过的水量y(单位:m3)是时间t(单 位:s)的函数,且y=f(t)=3t.求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它 的实际意义. Δ (2+Δ)-(2) 3(2+Δ)-3×2 解 :根据导数的定义,得 = = = 3. Δ Δ Δ y 所以 f'(2)= lim = 3. ′(2)的意义是:水流在 2 s 时的瞬时流 Δ →0 t 量为 3 m3/s,即此时刻 ,每经过 1 s,水管中流过的水量为 3 m3. 题型一 题型二 题型三 题型三 易错辨析 f(x0 +2x)-f(x0 ) = x Δ →0 易错点 :不能正确理解导数的定义式而致错 【例 3】 已知 f(x)在 x=x0 处的导数为 4,则 lim . 错解: (0 +2Δ)-(0 ) = Δ x →0 ′(0) = 4. 错因分析 :本题分子中 x 的增量是 2Δx,即(x0+2Δx)-x0=2Δx,而分 母为 Δx,两者不是等量的,若忽视该点 ,则易得出结论为 4 的错误答 案. 题型一 题型二 题型三 f(x0 +2x)-f(x0 ) 正解: lim x Δ →0 (0 + 2Δ)-(0) = ×2 x →0 2Δ 2′(0) = 2 × 4 = 8. =2 lim 答案 :8 f(x0 +2x)-f(x0 ) = 2 x Δ →0 1 2 3 4 5 1 f(x0

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