2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 2.1.1(一)椭圆及其标准方程(一)_图文


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2.1.1(一)

2.1.1
【学习要求】

椭圆及其标准方程(一)

1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过
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程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
【学法指导】

通过自己亲自动手尝试画图,发现椭圆的形成过程进而归 纳出椭圆的定义,培养观察、辨析、归纳问题的能力. 通过经历椭圆方程的化简,增强战胜困难的意志并体会数 学的简洁美、对称美,通过讨论椭圆方程推导的等价性, 养成扎实严谨的科学态度.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.1(一)

1.椭圆:平面内与两个定点 F1,F2 的 距离的和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫
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做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 . 2.椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 x2 y2 + =1 (a>b>0) a2 b2 焦点在 y 轴上

标准方程 焦点 a、b、c 的关 系

y2 x2 + =1 (a>b>0) a2 b2
(0,-c)(0,c)

(-c,0)(c,0) c2=a2-b2

c2=a2-b2

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2.1.1(一)

引言
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在生活中, 我们对椭圆并不陌生.油罐汽车的贮油罐横

截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是 椭圆;灯光斜照在圆形桌面上,地面上形成的影子也是椭 圆形的.在学习中,椭圆其实比圆更加让我们熟知,无论是 数学中的 0,还是字母中的 O,我们都能看到椭圆的踪影. 那么椭圆是怎样定义的呢?

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探究点一

椭圆的定义

问题 1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,能 画出椭圆吗?
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答案 固定两个图钉,绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的 关键.

结论

平面内与两个定点 F1、 F2 的距离之和是常数 ( 大于

|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点 F1、F2 称为焦点,两焦 点之间的距离称为焦距,记为 2c.若设 M 为椭圆上的任意一 点,则|MF1|+|MF2|=2a.

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问题 2

2.1.1(一)

命题甲: 动点 P 到两定点 A、 B 的距离之和|PA|+|PB| ( )

=2a (a>0 且 a 为常数);命题乙:点 P 的轨迹是椭圆,且 A、B 是椭圆的焦点,则命题甲是命题乙的 A.充分不必要条件
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B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

C.充要条件

解析

若 P 点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a (a>0,

且 a 为常数),

所以命题甲是命题乙的必要条件.
若|PA|+|PB|=2a (a>0,且 a 为常数),不能推出 P 点的轨迹 是椭圆.

这是因为:仅当 2a>|AB|时,P 点的轨迹是椭圆;

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而当 2a=|AB|时,P 点的轨迹是线段 AB;

当 2a<|AB|时,P 点无轨迹.
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所以命题甲不是命题乙的充分条件.
综上可知,命题甲是命题乙的必要不充分条件.

答案

B

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探究点二 椭圆的标准方程

2.1.1(一)

问题 1 观察椭圆的形状,你认为怎样选择坐标系才能使椭 圆的方程较简单?并写出求解过程. 答案 (1)如图所示,以经过椭圆两焦点 F1,F2
的直线为 x 轴, 线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系 xOy. (2)设点:设点 M(x,y)是椭圆上任意一点,且椭圆的焦点坐
标为 F1(-c,0)、F2(c,0). (3)列式:依据椭圆的定义式|MF1|+|MF2|=2a 列方程,并将 其坐标化为 ?x+c?2+y2+ ?x-c?2+y2=2a. ①

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(4)化简: 通过移项、 两次平方后得到: (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2 -c2),为使方程简单、对称、和谐,引入字母 b,令 b2=a2 2 2 x y -c2,可得椭圆标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0). ② a b
(5)从上述过程可以看到, 椭圆上任意一点的坐标都满足方程 ②,以方程②的解 (x , y ) 为坐标的点到椭圆的两个焦点 F1(-c,0),F2(c,0)的距离之和为 2a,即以方程②的解为坐 标的点都在椭圆上.方程②是椭圆的方程, 我们把它叫做椭圆 的标准方程.

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2.1.1(一)

问题 2 建系时如果焦点在 y 轴上会得到何种形式的椭圆方 程?怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上? y2 x2 答案 焦点在 y 轴上,椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b
在椭圆的两种标准方程中,总有 a>b>0.椭圆的两种标准方程 中,如果 x2 项的分母大,焦点就在 x 轴上,如果 y2 项的分母 大,则焦点就在 y 轴上.

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2.1.1(一)

问题 3

椭圆方程中的 a、b 以及参数 c 有什么意义,它们满

足什么关系?
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答案

椭圆方程中,a 表示椭圆上的点 M 到两

焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆, a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三 条边,a 是斜边,c 是焦距的一半,叫半焦距.a、b、c 始终满 足关系式 a2=b2+c2.

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例1

2.1.1(一)

(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并 ? 3? ?5 ? 且经过点?2,-2 ?,求它的标准方程; ? ? (2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),求椭圆的标准方程.


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(1)方法一

因为椭圆的焦点在 x 轴上,

x2 y 2 所以设它的标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b
由椭圆的定义知
2a=
?5 ? ? ? ? ?2 ? 3?2 ?2+2? +?-2? + ? ? ? ? ?5 ? ? ? ? ?2 ? 3?2 ?2-2? +?-2? =2 ? ? ? ?

10,

所以 a= 10.又因为 c=2,
x2 y2 因此,所求椭圆的标准方程为 + =1. 10 6
所以 b2=a2-c2=10-4=6.

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2.1.1(一) 研一研·问题探究、课堂更高效 x2 y2 方法二 设标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b 25 9 ? ? 2+ 2=1 依题意得?4a 4b , 2 2 ? ?a -b =4 2 ? ?a =10 解得? 2 . ? ?b =6 x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 10 6 (2)方法一 当椭圆的焦点在 x 轴上时, 设所求椭圆的方程为 x2 y2 + =1 (a>b>0). a2 b2 ∵椭圆经过两点(2,0),(0,1), ? ? 42+ 02=1, ? ?a b ?a=2, ∴? 则? ? ? 0 + 1 =1, ?b=1. 2 2 ? a b ?

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x2 2 ∴所求椭圆的标准方程为 +y =1; 4 当椭圆的焦点在 y 轴上时,
y2 x2 设所求椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b

2.1.1(一)

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∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1),

x2 2 综上可知,所求椭圆的标准方程为 +y =1. 4

? ? 02+ 42=1, ? ?a b ?a=1, ∴? 则? ? ? 1 + 0 =1, ?b=2, 2 2 ? ?a b 与 a>b 矛盾,故舍去.

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方法二 设椭圆方程为 mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n). ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点,
? ?4m=1, ∴? ? ?n=1,

2.1.1(一)

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x2 2 综上可知,所求椭圆的标准方程为 +y =1. 4 小结 (1)求椭圆的方程,可以利用定义求出参数 a,b,c 其
中的两个量; 也可以用待定系数法构造三者之间的关系.但是 要注意先确定焦点所在的位置,其主要步骤可归纳为“先定 位,后定量”. (2)当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为 mx2+ny2=1 (m>0,
n>0).因为它包括焦点在 x 轴上(m<n)或焦点在 y 轴上(m>n)两类 情况,所以可以避免分类讨论,从而达到了简化运算的目的.

1 ? ?m= , 4 ∴? ? ?n=1.

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跟踪训练 1

2.1.1(一)

(1)已知中心在原点,以坐标轴为对称轴,椭圆 x2 y2 过点 Q(2,1)且与椭圆 + =1 有公共的焦点, 求椭圆的标 9 4 准方程; (2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过

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P1( 6,1),P2(- 3,- 2)两点,求椭圆的标准方程. 解 (1)由已知的椭圆方程知:所求的椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 设方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b 2 2
x y 由 + =1?c2=5,即 a2-b2=5. 9 4 ①

4 1 又 Q(2,1)在椭圆上,则 2+ 2=1 a b 由①②解得 a2= 5+5,b2= 5, x2 y2 即所求的方程是 + =1. 5+5 5



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2.1.1(一)

(2)由已知, 设椭圆的方程是 Ax2+By2=1 (A>0, B>0, A≠B), ? ?A=1 ? 9 ?6A+B= 1 ? 故? ?? ? ?3A+2B=1 ?B=1 ? 3 ? ,

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x2 y2 即所求的椭圆标准方程是 + =1. 9 3

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2.1.1(一)

x2 y2 例 2 已知方程 - =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, k-4 k-10

7<k<10 则实数 k 的取值范围为__________.
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解析

x2 y2 化成椭圆标准形式得 + =1,根据其表示焦 k-4 10-k 解得 7<k<10.

?k-4>0, ? 点在 x 轴上的椭圆,则?10-k>0, ?k-4>10-k, ?
小结

(1)利用椭圆方程解题时,一般首先要化成标准形式.

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2.1.1(一)

?m>0, ? x y (2) + =1 表示椭圆的条件是?n>0, m n ?m≠n; ?
2 2

表示焦点在 x 轴

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?m>0, ? 上的椭圆的条件是?n>0, ?m>n; ? ?m>0, ? 件是?n>0, ?n>m . ?

表示焦点在 y 轴上的椭圆的条

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2.1.1(一)

x2 y2 跟踪训练 2 若方程 - 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m m -2 那么实数 m 的取值范围是 A.m >0
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( B ) B.0<m<1 D.m >1 且 m≠ 2

C.-2<m<1

x2 y2 解析 ∵方程 - 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,将方 m m -2
2 ? ?2-m >m, y2 x2 程改写为 2+ =1,∴有? ? 2-m m ?m>0,

解得 0<m<1.

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探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用 x2 y2 例 3 已知椭圆的方程为 + =1, 椭圆上有一点 4 3 P 满足∠PF1F2=90° (如图).求△PF1F2 的面积.
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2.1.1(一)



由已知得 a=2,b= 3,

所以 c= a2-b2= 4-3=1.从而|F1F2|=2c=2.
在△PF1F2 中,由勾股定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,
即|PF2|2=|PF1|2+4.

又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2=4,
所以|PF2|=4-|PF1|.

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3 从而有(4-|PF1|) =|PF1| +4.解得|PF1|= . 2
2 2

1 1 3 3 所以 △PF1F2 的面积 S = · |PF1|· |F1F2| = × ×2 = ,即 2 2 2 2 3 △PF1F2 的面积是 . 2

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小结

2.1.1(一)

(1)椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的三角

形称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充 分利用椭圆的定义、 三角形中的正弦定理、 余弦定理等知识 . 对于求焦点三角形的面积, 结合椭圆定义, 建立关于 |PF1|(或
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|PF2|)的方程求得 |PF1|(或 |PF2|)的长度;有时把 |PF1|· |PF2|看 成 一 个 整 体 , 运 用 公 式 |PF1|2 + |PF2|2 = (|PF1| + |PF2|)2 - 2|PF1|· |PF2|及余弦定理求出|PF1|· |PF2|,而无需单独求出,这 样可以减少运算量.
(2)焦点三角形的周长等于 2a+2c.

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x2 y2 跟踪训练 3 已知椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1、 49 24 48 F2 的连线夹角为直角,则|PF1|· |PF2|=________.
解析 依题意 a=7,b=2 6,c= 49-24=5, |F1F2|=2c=10,由于 PF1⊥PF2,

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所以由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2=100. 又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=14, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|· |PF2|=100, 即 196-2|PF1|· |PF2|=100. 解得|PF1|· |PF2|=48.

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2.1.1(一)

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x2 1.椭圆 +y2=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2, 则点 P 到 25 另一个焦点的距离为 A.5
解析

( D ) C.7 D.8

B.6

由椭圆定义知点 P 到另一个焦点的距离是 10-2=8.

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2.1.1(一)

x2 y2 2.若方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实 25-m m+9 数 m 的取值范围是 A.-9<m<25
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( B ) B.8<m<25 D.m >8
,解得 8<m<25,

C.16<m <25
解析 ?25-m>0 ? 依题意有?m+9>0 ?m+9>25-m ?

即实数 m 的取值范围是 8<m<25.

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2.1.1(一)

x2 y2 8 3.椭圆 + =1 的焦距为________. 16 32
解析
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由方程得 a2=32,b2=16,

∴c2=a2-b2=16,∴c=4,2c=8.

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x2 y2 4.已知椭圆经过点( 3,0)且与椭圆 + =1 的焦点相同, 4 9 2 2 y x + =1 8 3 则这个椭圆的标准方程为____________.
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解析

x2 y2 椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上,且 c= 9-4= 5, 4 9

故所求椭圆的焦点在 y 轴上,又它过( 3,0),所以 b= 3, 2 2 y x 故 a2=b2+c2=3+5=8,故所求方程为 + =1. 8 3

2.1.1(一)

1.平面内到两定点 F1, F2 的距离之和为常数, 即|MF1|+|MF2| =2a, 当 2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;
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当 2a=|F1F2|时,轨迹是一条线段 F1F2; 当 2a<|F1F2|时,轨迹不存在. 2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法:可以通过待定 系数法求解,也可以通过椭圆的定义进行求解. 3.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置, 可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情况 求解;也可设 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求解,避免 了分类讨论,达到了简化运算的目的.


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