3.3.1《导数在研究函数中的应用-单调性》课件_图文


3.3.1《导数在研究 函数中的应用-单调性》

教学目标
? 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的 原理;
? 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 ? 教学重点: ? 利用导数判断函数单调性.

函数的单调性与导数
情境设置 探索研究 演练反馈 创新升级 总结提炼 作业布置

画出下列函数的图像,并根据图像指出每个函数的单调区间

y?1 x

y ? x2 ? 2x ?1 y ? 3x

y

y

y

o

x

1

o

x

1

o

x

在(- ∞ ,0)和(0, + ∞)上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。

在(- ∞ ,1)上是减 函数,在(1, +∞)上 是增函数。

在(- ∞,+∞) 上是增函数
概念回顾

单调性的概念
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时, 都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y=f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质,叫做f(x)在这个区间上的单调性,这个区间叫做f(x) 的单调区间。
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新课引入

y 1
o

1.在x=1的左边函数图像的单 调性如何?

2.在x=1的左边函数图像上的各

x 点切线的倾斜角为

(锐角/

钝角)?他的斜率有什么特征?

3.由导数的几何意义,你可以得 到什么结论?

4.在x=1的右边时,同时回答

上述问题。

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? 定理: ? 一般地,函数y=f(x)在某个区间内可导: ? 如果恒有 f′(x)>0,则 f(x) 是增函数。 ? 如果恒有 f′(x)<0,则f(x) 是减函数。 ? 如果恒有 f′(x)=0,则f(x) 是常数。

例1.确定函数 f (x) ? x2 ? 4x ? 5 在哪个区
间是减函数?在哪个区间上是增函数?

解: (1)求函数的定义域

函数f (x)的定义域是(- ∞,+∞)

y

(2)求函数的导数

f ' (x) ? 2x ? 4

(3)令 f ' (x) ? 0以及 f ' (x) ? 0

2

o

x

求自变量x的取值范围,也即函数的单调区间。

令2x-4>0,解得x>2

∴x∈(2,+∞)时,f (x) 是增函数

令2x-4<0,解得x<2

f (x)

∴x∈(-∞,2)时,

是减函数

确定函数 f (x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7,在哪个区 间是增函数,那个区间是减函数。

y 解:函数f(x)的定义域是(- ∞,+∞)
f '(x) ? 6x2 ?12 x

令6x2-12x>0,解得x>2或x<0
∴当x ∈(2,+∞)时,f(x)是增函数; 当x ∈(-∞,0)时,f(x)也是增函数

o

x

令6x2-12x<0,解得,0<x<2
∴当x ∈(0,2)时,f(x)是减函数。

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知识点:
定理:
一般地,函数y=f(x)在某个区间内可导: 如果恒有 f’(x)>,0 则 f(x)在是增函数。 如果恒有 f’(x)<,0 则 f(x)是减函数。 如果恒有 f’(x)=,0 则 f(x)是常数。
步骤: (1)求函数的定义域 (2)求函数的导数 (3)令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围,即 函数的单调区间。

练习:判断下列函数的单调性
? (1)f(x)=x3+3x; ? (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); ? (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; ? (4)f(x)=ex-x;

作业布置:
书本P107 A 1.(1)(2),2.(2)(4). 第二教材 A


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