数列求和 分组求和法2_图文


数列求和
第二课时 分组求和法

教学目标:
通过观察发现数列(通项)的特点,寻找合 适的求和方法——分组之后可得到特殊的数 列,会用分组求和法求数列的前 n 项和.

重点:会用分组求和法求数列的前 n 项和. 难点:会用分组求和法求数列的前 n 项和.

一、分组求和法
分组转化法求和的常见类型 {cn } 为等差或等 (1) 若 an ? bn ? cn , 且{bn } , 比 数 列 ,可 采用 分 组求 和 法求 {a n } 的 前 n 项 和. ?bn , n奇 (2) 通项公式为 an ? ? 的数列,其中 ? cn , n偶 数列{bn },{cn }是等比数列或等差数列,可采 用分组求和法求和.把数列的每一项分成若干 项,使其转化为等差或等比数列,再求和.

二、典型例题
1 1 1 1 , ???, 2n ? n?1 的前 例 1 求数列 2 ,4 ,6 4 8 16 2 n 项和 S n . 1 1 1 例 2 求数列1 ? 1, ? 4, 2 ? 7, ???, n?1 ? 3n ? 2 a a a 的前 n 项和.
例 3 已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n , 且 a 3 ? 5 , S15 ? 225 . (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设 bn ? 2an ? 2n ,求数列{bn } 的前 n 项和 Tn .

例 4 设 {a n } 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 . (1)求{a n }的通项公式; (2)设{bn }是首项为 1,公差为 2 的等差数 列,求数列{an ? bn } 的前 n 项和 S n .

例 5 数列{an }的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 4n ? 2 , 66 则| a1 | ? | a2 | ?...? | an |? .

三、课堂练习
练习 1 求和: n 3 9 25 n?2 ?1 (1) Sn ? ? ? ? ... ? . n 2 4 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 n (2) Sn ? ( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ( x ? 3 ) ? ... ? ( x ? n ) . x x x x 练习 2 求数列{a n }的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , n a 2 ? 2, an? 2 ? an ? 1 ? ( ?1) ,( n ? N ? ) ,则 2600 S100 ? . 练习 3 已知数列{a n }中, a1 ? ?60 , an ?1 ? an ? 3 , 则 这 个 数 列 前 30 项 的 绝 对 值 的 和 是 . 765

三、课堂练习
练习 4 数列{a n }的通项公式为 n ?1 an ? ( ?1) ? (4n ? 3) ,则它的前 100 项之和 S100 ? ( B ) A.200 B.- 200 C.400 D.- 400 n 练习 5 数列{a n }满足 an?1 ? ( ?1) an ? 2n ? 1 , 则{a n }的前 60 项和为 S60 ? 1830 . 练习 6 已知数列 2008,2009,1,- 2008, - 2009,…这个数列的特点是从第二项起, 每一项 都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2013 项之和 S 2013 等于 (C ) A.1 B.2010 C.4018 D.0

四、课堂小结
1.分组求和法有何特点? 2.分组之后,一般都可以使用什么方法求 和? 3.你熟悉等差、等比数列的求和公式吗? 表达式里的 n 是什么含义?

五、课外作业 1. 1002 ? 992 ? 982 ? ... ? 22 ? 12 的值是 (

) A.2525 B.5050 C.10100 D.20200 2. 等差数列 {a n } 的公差不为零, a4 ? 7 , a1 , a2 , a5 成等比数列,数列{Tn }满足条件 Tn ? a2 ? a4 ? a8 ? ... ? a2n ,则Tn = .

3. 求和:

Sn ? (2 ? 3 ? 5?1 ) ? (4 ? 3 ? 5?2 ) ? (6 ? 3 ? 5?3 ) ? ???
?(2n ? 3 ? 5 )
?n

五、课外作业
4. 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 满 足 : a1 ? 1 3tSn ? (2t ? 3) Sn?1 ? 3t ,其中 t ? 0 , n ? N ? 且n ? 2 (1)求证:数列{a n }是等比数列; (2)设数列{a n }的公比为 f ( t ) ,数列{bn } 满 1 足 b1 ? 1, bn ? f ( ) ( n ? 2) ,求的通项公式 . bn?1 (3)记 Tn ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? ... ? b2 n?1b2 n ? b2 nb2 n ?1 20 求证:Tn ? ? . 9


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