福建省南安一中2011-2012学年高二数学下学期期末试题 文 新人教A版【会员独享】


南安一中 2011~2012 学年度高二下学期期末考 文科数学试卷

本试卷考试内容为:集合与常用逻辑用语,函数、导数及其应用,三角函数、解三角形 和直线方程及两直线的位置关系.分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) ,共 4 页,满 分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.考生作答时,请将答案答在答题纸上,在本试卷上答题无效.按照题号在各题的答 题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效. 3.答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题纸纸面清洁,不破损.考试结束后,将本试卷自行保存,答题纸交回.

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,只有一个选项正确,请把答案填在答题卡上) :
2 1. 设 全 集 U ? ? ? 2, ? 1, 0,1, 2 ? , 集 合 A ? ?1 , ? , B ? ? ? 2 , 0 ? , 则 A ? ? ? U B ? 等 于

(

) B. ?1, 2 ? C. ? ? 1,1, 2 ? ° D. ? ? 1, 0 ,1, 2 ? =

A. ? 2.cos210 ( A. ? )
3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

y ? 2 sin x co s x ? 1 3. 是 ( ) A.最小正周期为 2 π 的偶函数 B.最小正周期为 2 π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 4. 若 直 线 a x? 2 y? 2 ? 0与 直 线 x ? ( a ? 1) y ? 1 ? 0 互 相 平 行 , 则 a 的 值 为 ( ) A. ? 1 B.2 C. ? 1 或 2 D.不存在

5. 二 次 函 数 y ? ( )

a ? x
2

b 与 x指 数 函 数 y ? ( )
a

b

x

的 图 象 只 可 能 是

用心 爱心 专心

1

A.

B.
?
4

C.

D.

6. 要 得 到 ( )
?
4

y ? 3 sin( 2 x ?

)

的 图 象 只 需 将

y ? 3 sin 2 x

的 图 象

A.向左平移 C.向左平移 7. ( )

个单位 个单位 知
a =l

B.向右平移 D.向右平移
b = o

?
4

个单位 个单位
cg = 3

?
8

?
8



2

4

则 .

4

6

A. a ? b ? c 8. ( 下 )

B. a > c > b 列 说

C. b ? a ? c 法 正

D. c ? a ? b 确 的 是

A.命题“设 a , b , c ? R ,若 a ? b ,则 a c 2 ? b c 2 ”为真命题; B. sin ? ? “
1 2

”是“ ? ?

?
6

”的充分不必要条件;[ ” ,则 ( ? p ) ? q 为真;

3 s s 3 C.设 p: “所有正数的对数均为正数” q: n o ? , “i c

D.命题“ ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是“ ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ” . 9. 已 知
o ?? c ? x s x ? ? f (x) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1 x ? 0 ? 0





4 4 f ( ) ? f (? ) 3 3









( ) A. ? 2

B.1

C.2
/

D.3

10. 已 知 函 数 y ? f ( x )( x ? R ) 的 图 像 如 右 图 所 示 , 则 不 等 式 xf ( x ) ? 0 的 解 集 为 ( ) A. ( ? ? , ) ? ( , 2 )
2 1 2 1 1 1 1

B. ( ? ? , 0 ) ? ( , 2 )
2

1

[

C. ( ? ? , ) ? ( , ? ? )
2 2

D. ( ? ? , ) ? ( 2 , ? ? )
2
3

11.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ,当 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x ) ? x , 若 ( 函 )
用心 爱心 专心 2



g(

? x)

?

f 3(

x) 的

l 零 o 点g x

个 |

数 |



A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

12.设 P ( x , y ) 是平面直角坐标系中任意一点,定义 [ O P ] ? x ? y (其中 O 为坐标原点). 若点 M 是 直 线 y ? x ? 1 上 任 意 一 点 , 则 使 得 [O M ] 取 最 小 值 的 点 M 有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数多个

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题(共 4 小题,每小题 4 分,请把答案写在答题卡上) .......... : 13.不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是
2

. .

14.函数 y ? x ? 2 sin x 在(0,? )内的单调递增区间为

15.如图,测量河对岸的塔高 A B 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个
0 0 测点 C 与 D .测得 ? B C D ? 1 5 , ? B D C ? 3 0 , C D ? 3 0 米,并在点 C

测得塔顶 A 的仰角为 6 0 ,则塔高 A B =

0

米.

16.已知函数 y ? f ( x ) 为 R 上的奇函数, y ? f ( x ) 的导数为 f ? ( x ) ,且当 x ? ( ? ? , 0 ] 时, 不 等 式 f ( x )?
? ? [? ?
2 ,
? x f( ? x ) 0 成 立 , 若 | a ? 1 | f (| a ? 1 |) ? sin ? f (sin ? ) 对 一 切

?
2

] 恒成立,则实数 a 的取值范围是___________________.

三.解答题(共 6 小题,要求写出解答过程或者推理步骤) : 17.(本题满分 12) 命题 p : 关于 x 的不等式 x ? 2 a x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立; q : 函数
2

f ( x ) ? (5 ? 2 a ) 是增函数,若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.
x

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin ( ? x ? ? ) ? 其中 ? ? 0 , ? ? ( ?
π π , ). 2 2

3 co s( ? x ? ? ) 的部分图象如图所示,

(Ⅰ)求 ? 与 ? 的值; (Ⅱ)若 f (
?
4 ) ? 4 5 5

,求

2 sin ? ? sin 2 ? 2 sin ? ? sin 2 ?

的值.

用心 爱心 专心

3

19.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? b ( a ? 0 ) .
3

(1)若曲线 y ? f ( x ) 在点 ? 2, f ? 2 ? ? 处与直线 y ? 3 x ? 2 相切,求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点.

20.(本题满分 12 分) 在△ A B C 中, A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,
sin C (co s A ? co s B ) ? co s C (sin A ? sin B ) , sin ( B ? A ) ? co s C .

(1)求 A , C ; (2)若 S ? A B C ? 3 ?
3 ,求 a , c .

21.(本题满分 12 分) 设直线 l1 的倾斜角为 ? , ? ? ( 0 ,

?
2

) , l1 绕其上一点 p 沿逆时针方向

旋转 ? 角得直线 l 2 , l 2 的纵截距为 ? 2 , l 2 绕点 p 沿逆时针方向旋转
x ? 2y ?1 ? 0 .

?
2

? ? 角得直线 l 3 :

(1)求直线 l1 和 l 2 的斜率; (2)求直线 l1 的方程.

用心 爱心 专心

4

22.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2

x ? m ln x ? ( m ? 1) x , m ? R .
2

(Ⅰ)当 m ? 2 时,求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)当 m ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ) 求证: m ? ? 2 时, 当 对任意的 x1 , x 2 ? ? 0, ? ? ? , x1 ? x 2 , 且 有
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

? ?1 .

南安一中 2011~2012 学年度高二下学期期末考 文科数学试卷参考答案 一.选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) 1. C 2. A 3. D 4. A 5. A 6. C 7. B 8. C 9. D 10. B 11. D 12. D 二.填空题:(每小题 4 分,共计 16 分) 13. ( ? 3,1) 14. (
?
3 ,? ) 或

?? ? ,? ? ?3 ? ?

15. 1 5 6

16. ( ?? , ? 2 ] ? [ 0 , ?? )

三.解答题:(共计 74 分) 17.解: g ( x ) ? x ? 2 a x ? 4 , 设 由于关于 x 的不等式 x ? 2 a x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,
2
2

所以函数 g ( x ) 的图象开口向上且与 x 轴没有交点,故 ? ? 4 a ? 1 6 ? 0,? ? 2 ? a ? 2 . ??3
2

分 函数 f ( x ) ? (5 ? 2 a ) 是增函数,则有 5 ? 2 a ? 1, 即 a ? 2 .
x

??????6 分 ??????8 分

又由于 p 或 q 为真, p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假.
? 2 ? a ? 2, a ? 2,

(1)若 p真 q 假 ,则 {

此不等式组无解;

??????10 分

(2)若 p 假 q 真 ,则 {

a ? ? 2或 a ? 2, a ? 2,

? a ? ?2 .

综上可知,所求实数 a 的取值范围为 ? a a ? ? 2 ? . 18.解: f ( x ) ? 2 sin ( ? x ? ? ? 设 f ( x ) 的最小正周期为 T . 由图可得
T 2 ? π 4 ? (? π 4 )? π 2
用心 爱心 专心

??????12 分 ??????2 分

π 3

) .

,所以 T ? π , ? ? 2 .

??????4 分

5

由 f ( 0 ) ? 2 ,得 s in (? ? 因为 ? ? ( ?

π 3

) ? 1,

π π π , ) ,所以 ? ? . 6 2 2
π 2 ) ? 2 cos 2 x .

??????6 分 ??????7 分

(Ⅱ)解: f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ?
?
4

由 f(

) ? 2 cos

?
2
2

?

4 5 5

,得 cos
3 5

?
2

?

2 5 5



??????8 分

所以 cos ? ? 2 cos

?
2

?1 ?


1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 4

??????10 分

所以

2 s in ? ? s in 2 ? 2 s in ? ? s in 2 ?
'

?

2 s in ? (1 ? c o s ? ) 2 s in ? (1 ? c o s ? )
2

?

?



??????12 分

19.解: (1) f ? x ? ? 3 x ? 3 a ,
? 曲线 y ? f ( x ) 在点 ? 2, f

??????1 分
? 3 x ? 2 相切,

? 2 ? ? 处与直线 y
解得 ?

∴ ?

? f (2) ? 3
'

? f (2) ? 4
'

即 ?

? 3( 4 ? a ) ? 3 ?8 ? 6 a ? b ? 4
2

?a ? 3 ?b ? 14

??????5 分

(2)∵ f ? x ? ? 3 ? x ? a ? ? a ? 0 ? ,
'

??????6 分

当 a ? 0 时, f ? x ? ? 0 , 函数 f ( x ) 在 ? ? ? , ? ? ? 上单调递增, 此时函数 f ( x ) 没有极值点. 8 分 当 a ? 0 时,由 f ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,
'

??????9 分

当 x ? ? ? ? , ? a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
'

当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减,
'

当 x ? ? a , ? ? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
'

??????11 分

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ?

a 是 f ( x ) 的极小值点. ??????12 分

20.解:(1) 因为 sin C (cos A ? cos B ) ? cos C (sin A ? sin B) , 所以 sin C co s A ? sin C co s B ? co s C sin A ? co s C sin B , 即 sin C co s A ? co s C sin A ? co s C sin B ? sin C co s B , 得 sin ( C ? A ) ? sin ( B ? C ) , 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ?
?
3 2? 3

??????2 分

,所以 B ? A ?

??????4 分

用心 爱心 专心

6

又因为 s in ( B ? A ) ? c o s C ? 得A ?
?
4 ,B ? 5? 12

1 2

,则 B ? A ?

?
6

,或 B ? A ?

5? 6

(舍去)????5 分 ??????6 分

(2) 因为 sin 所以 S ? A B C ?

5? 12 1 2

? sin (

?
4

?

?
6

) ? 2

2 2

?

3 2

?

2 1 ? ? 2 2 3 ,

6 ? 4

2

??????8 分

a c s in B ?

6 ? 8

ac ? 3 ?

即 又

ac ? 4 6
a s in A ? c s in C

① , 即
a 2 2 ? c 3 2

??????10 分 ,∴ a ?
6 3 c



联立①②解得 a ? 2 2 , c ? 2 3 . 21.解: (1)由题意可知 l1 ? l 3 ,所以 k 1 ?k 3 ? ? 1
? 直线 l 3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 ,即 y ? ?

??????12 分 ??????1 分
1 2

1 2

x?

1 2

,∴ k 3 ? ?

∴ k1 ? 2

即 tan ? ? 2
2 ta n ? 1 ? ta n ?
2

??????3 分
? ? 4 3 4 3 x ? 2 即 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 ????8

∴直线 l 2 的斜率 k 2 ? ta n 2 ? ?

??????6 分

(2)由直线 l 2 的纵截距为 ? 2 ,可得 l 2 的方程为 y ? ? 分 联立 ?
?4x ? 3 y ? 6 ? 0 ?x ? 2y ?1 ? 0

解得点 P ? ? 3, 2 ?

??????10 分

所以直线 l1 的方程为 y ? 2 ? 2 ( x ? 3) 即 2 x ? y ? 8 ? 0 22. 解 : ( Ⅰ ) 显 然 函 数
x ? ?x ) (
2

??????12 分

f (x)
1 ) x( ?

的 定 义 域 为
2 )

? 0, ?? ? , 当

m ? 2时

, ?f

?2 x x

?

(? x x



∴ 当 x ? ? 0 ,1 ? 时 , f ? ( x ) ? 0 , x ? ? 1, ? ? ? , f ? ( x ) ? 0 . ∴ f ( x ) 在 x ? 1 时取得最小值,其最小值为 f (1) ?
m x x ? ( m ? 1) x ? m
2

??????3 分 ??????4 分

3 2



(Ⅱ)∵ f ? ( x ) ? x ?

? ( m ? 1) ?

?

( x ? 1)( x ? m ) x

?????5 分

x

用心 爱心 专心

7

∴(1)当 ? 1 ? m ? 0 即 ? m ? 1 时,若 x ? ? 0, ? m ? 时 , f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 为增函数;
x ? ? ? m ,1 ? 时 , f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 为 减 函 数 ; x ? ? 1 , ? ?时 ? , f? ( x )? 0f, 为 增 函 x( )

数.???7 分 (2)当 m ? ? 1 时, f ? ( x ) ? 8分 (3)当 m ? ? 1 即 ? m ? 1 时, x ? ? 0,1 ? 时 , f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 为增函数;
x ? ? 1, ? m ? 时 , f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 为减函数;x ? ? ? m , ? ? ? 时 , f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 为增函数. ??
( x ? 1) x
2

? 0 ,函数 f ( x ) 在 ? 0 , ? ? ? 上为增函数.

???

9分 (Ⅲ)不妨设 0 ? x1 ? x 2 ,要证明 即证明: f ? x 2 ? ? x 2 ? f ? x1 ? ? x1 当 m ? ? 2 时,函数 f ( x ) ?
1 2 x ? 2 ln x ? 3 x .
2

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

? ?1 ,

?????10 分

考查函数 h ? x ? ? f ? x ? ? x ?
2 x
2

1 2

x ? 2 ln x ? 2 x
2

?????11 分

? h?? x ? ? x ?

?2 ?

x ? 2x ? 2 x

?

? x ? 1?
x

2

?1

? 0

∴ h ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上是增函数, 对任意 0 ? x1 ? x 2 ,
h ? x 2 ? ? h ? x1 ? ,

?????13 分

所以 f ? x 2 ? ? x 2 ? f ? x1 ? ? x1 ,∴

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

? ? 1 命题得证

?????14 分

用心 爱心 专心

8


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