北京市海淀区2019届高三上学期期末考试(数学理)


海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 (理科)

2019.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项

中,选出符合题目要求的一项.
1. 函数 y ? x ? 1 (x ? 0) 的值域为 x
A.?2, ???

B. (2, ??)

C. (0, ??)

D. ???, ?2? ?2, ???

2.如图, PAB 、 PC 分别是圆 O 的割线和切线(C 为切点),若 PA ? AB ? 3,则 PC 的长为

A. 6 2

B.6

C

C. 3 2

D.3

O

P

A B

3.已知双曲线 x2 ? y2 ? 1 ,那么它的焦点到渐近线的距离为 3

A.1

B. 3

C.3

D.4

4.已知 m, n 为两条不同直线,?, ? 为两个不同平面,那么使 m //? 成立的一个充分条件是

A. m // ?,? // ?

B. m ? ?,? ? ?

C. m ? n,n ? ?,m ? ?

D. m 上有不同的两个点到? 的距离相等

5.先后两次抛掷一枚骰子,在得到点数之和不大于 6 的条件下,先后出现的点数中有 3 的概

率为

A. 1 6

B. 1 5

C. 1 3

D. 2 5

6.如图,向量 a ? b 等于

A. ?2e1 ? 4e2

B. ?4e1 ? 2e2

C. e1 ? 3e2

D. ?e1 ? 3e2

e2 e1

b a

7.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开三个班.选课结束后,有四名同学要求改修

数学,但每班至多可再接收 2 名同学,那么不同的分配方案有

A.72 种

B.54 种

C.36 种

D.18 种

8.点 P 在曲线 C : x2 ? y2 ? 1 上,若存在过 P 的直线交曲线 C 于 A 点,交直线 l : x ? 4 4

于 B 点,满足 PA ? PB 或 PA ? AB ,则称点 P 为“H 点”,那么下列结论正确的是
A.曲线. C .上的所有点都是“H 点”
B.曲线 C 上仅有有限个点是“H 点” C.曲线 C 上的所有点都不是“H 点” D.曲线 C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“H 点”
第 II 卷(共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.

9.若直线

l

的参数方程为

? ? ?

x ? 1 ? t, y ? 2 ? 3t,

(t为参数),则直线

l

的斜率为_______________.

10.阅读右图所示的程序框图,若运行该程序后输出的 y 值为 1 , 8
则输入的实数 x 值为________________. 11.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何
体的表面积为__________________.

开始 输入 x

2

2





x>0

3
121
正视图

3
121
侧视图

y ? 2x2 ?1

y

?

? ??

1 2

?x ? ?

输出 y

俯视图

结束

12.设关于 x 的不等式 x2 ? x ? 2nx (n ? N*) 的解集中整数的个数为 an ,数列{an} 的前 n 项

和为 Sn ,则 S100 的值为_______________________.

13.在区间[0, 2] 上任取两个数 a,b ,那么函数 f (x) ? x2 ? ax ? b2 无零点的概率为_________.

14.考虑以下数列{an}, n ? N* :



an ? n2 ? n ?1;②

an ? 2n ?1;③

an

?

ln

n
.
n ?1

其中满足性质“对任意正整数 n ,

an?2 ? an 2

? an?1 都成立”的数列有

(写出满

足条件的所有序号);若数列 {an} 满足上述性质,且 a1 ? 1 , a20 ? 58 ,则 a10 的最小值



.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,C ? ? , b ? 5 , ?ABC 的面积为10 3 . 3
(Ⅰ)求 a , c 的值; (Ⅱ)求 sin(A ? ? ) 的值.
6 16.(本小题满分 13 分)
某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研,考察试卷中某道填空题的得分情况.已
知该题有两空,第一空答对得 3 分,答错或不答得 0 分;第二空答对得 2 分,答错或不答得 0
分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取 1000 份试卷,其
中该题的得分组成容量为 1000 的样本,统计结果如下表:

第一空得分情况

第二空得分情况

得分 人数

0

3

198

802

得分 人数

0

2

698

302

(Ⅰ)求样本试卷中该题的平均分,并据此估计这个地区高三学生该题的平均分;
(Ⅱ)这个地区的一名高三学生因故未参加考试,如果这名学生参加考试,以样本中各
种得分情况的频率(精确到 0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同
学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.
17. (本小题满分 13 分) 已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PD⊥底面 ABCD,E,F 分别为棱
BC,AD 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 PFB; (Ⅱ)已知二面角 P-BF-C 的余弦值为 6 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. 6 P

D F
A

C E B

18.(本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? x2 ? a (其中 a ? R ).
x ?1 (Ⅰ)若函数 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线为 y ? 1 x ? b ,求实数 a,b 的值;
2 (Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间.

19.(本小题满分 14 分)
已知抛物线W : y ? ax2 经过点 A(2,1),过 A 作倾斜角互补的两条不同直线 l1,l2 . (Ⅰ)求抛物线W 的方程及准线方程; (Ⅱ)当直线 l1 与抛物线W 相切时,求直线 l2 与抛物线W 所围成封闭区域的面积;
(Ⅲ)设直线 l1,l2 分别交抛物线W 于 B,C 两点(均不与 A 重合),若以线段 BC 为直径的
圆与抛物线的准线相切,求直线 BC 的方程.

20.(本小题满分 14 分)
给定项数为 m (m ? N*, m ? 3) 的数列{an} ,其中 ai ?{0,1} (i ? 1, 2, , m) .

若存在一个正整数 k(2 ? k ? m ?1) ,若数列{an} 中存在连续的 k 项和该数列中另一个连续

的 k 项恰好按次序对应相等,则称数列{an} 是“k 阶可重复数列”,

例如数列 {an } 0,1,1, 0,1,1, 0.

因为 a1, a2 , a3, a4 与 a4 , a5 , a6 , a7 按次序对应相等,所以数列{an} 是“4 阶可重复数列”. (Ⅰ)分别判断下列数列

①{bn}: 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0.

②{cn}:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.

是否是“5 阶可重复数列”?如果是,请写出重复的这 5 项;

(Ⅱ)若数为 m 的数列{an} 一定是 “3 阶可重复数列”,则 m 的最小值是多少?说明理由;

(III)假设数列{an} 不是“5 阶可重复数列”,若在其最后一项 am 后再添加一项 0 或 1,均可

使新数列是“5 阶可重复数列”,且 a4 ? 1 ,求数列{an} 的最后一项 am 的值.

海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 (理)

参考答案及评分标准

说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

答案

A

C

B

C

C

D

B

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)

2019.1
8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30

分)

9. ?3

10. 3 4

11. 24 ?12?

12.10100

13. 3 4

14.②③;28

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)

15.(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)由已知, C ? ? , b ? 5 , 3

因为

S?ABC

?

1 abs 2

i

nC



即 1 0 3? 1 a ? 5 s?i n,

2

3

解得 a ? 8 .

由余弦定理可得: c2 ? 64 ? 25 ? 80cos ? ? 49 , 3
所以 c ? 7 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)有 cos A ? 49 ? 25 ? 64 ? 1 ,

70

7

由于 A 是三角形的内角,

易知 sin A ? 1 ? cos2 A ? 4 3 , 7

所以 s i nA(? ? ?) sAi n ?c o? s A c o?s s i n

6

6

6

………………..1 分 ………………..3 分 ………………..5 分
………………..7 分 ………………..9 分
………………..10 分 ………………..11 分

? 4 3 ? 3 ? 1 ? 1 ? 13 . 7 2 7 2 14

………………..13 分

16.(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)设样本试卷中该题的平均分为 x ,则由表中数据可得:

x ? 0?198 ? 3?802 ? 0? 698 ? 2? 302 ? 3.01 , 1000
据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为 3.01 分.

……………….4 分 ……………….5 分

(Ⅱ)依题意,第一空答对的概率为 0.8,第二空答对的概率为 0.3,……………….7 分

记“第一空答对”为事件 A ,“第二空答对”为事件 B ,则“第一空答错”为事件 A , “第

二空答错”为事件 B .若要第一空得分不低于第二空得分,则 A 发生或 A 与 B 同时发生,

……………….9 分

故有: P( A)? P( A? B)? 0 . ?8 0 ?. 2 0?. 7. 0 . 9 4

……………….12 分

答:该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为 0.94. ……………….13 分

17. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 E,F 分别为正方形 ABCD 的两边 BC,AD 的中点,

所以 BE∥FD , 所以, BEDF 为平行四边形,

……………….2 分

得 ED // FB , 又因为 FB ? 平面 PFB,且 ED ? 平面 PFB, 所以 DE∥平面 PFB. (Ⅱ)如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分 别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设 PD=a, 可得如下点的坐标:
P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) 则有:

……………….3 分 ……………….4 分 ……………….5 分
z P

PF ? (1, 0, ?a), FB ? (1, 2, 0), ……………….6 分

因为 PD⊥底面 ABCD,所以平面 ABCD 的

一个法向量为 m ? (0,0,1) ,

……………….7 分

D

设平面 PFB 的一个法向量为 n ? (x, y, z) ,则可得 A F

??PF ? n ? 0

x

?

??FB ? n = 0

C y
E
B



? x ? a z? 0

? ?

x

+

2y

=0

令 x=1,得 z ? 1 , y ? ? 1 ,所以 n ? (1, ? 1 , 1) .

a

2

2a

……………….9 分

由已知,二面角 P-BF-C 的余弦值为 6 ,所以得: 6

cos < m, n >? m ? n ? | m || n |

1

a ? 6,

5 4

?

1 a2

6

解得 a =2. 因为 PD 是四棱锥 P-ABCD 的高,

所以,其体积为 VP? ABCD

?

1?2?4 3

?

8 3

.

……………….10 分 ……………….11 分 ……………….13 分

18.(本小题满分 13 分)

解:由

f

(x)

?

x2 x

?a ?1

,可得

f

?(x)

?

x2 ? 2x ? (x ? 1)2

a

.

(Ⅰ)因为函数 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线为 y ? 1 x ? b ,得: 2

? ??

f ?(1) ? 1 2

?
? ??

f

(1)

?

1 2

?

b

解得

?? a ? 1

??? b

?

1 2

……………….2 分 ……………….4 分 ……………….5 分

(Ⅱ)令 f ?(x) ? 0 ,得 x2 ? 2x ? a ? 0 … ①

……………….6 分

当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1时,不等式①在定义域内恒成立,所以此时函数 f (x) 的单

调递增区间为 (??, ?1) 和 (?1, ??) .

……………….8 分

当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1时,不等式①的解为 x ? ?1? 1? a 或 x ? ?1? 1? a , ……………….10 分

又 因 为 x ? ?1 , 所 以 此 时 函 数 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (??, ?1 ? 1 ? a ) 和

(?1 ? 1 ? a, ??) ,单调递减区间为 (?1 ? 1 ? a, ?1) 和 (?1, ?1 ? 1 ? a) .
.……………….12 分 所以,当 a ? ?1时,函数 f (x) 的单调递增区间为 (??, ?1) 和 (?1, ??) ;
当 a ? ?1时,函数 f (x) 的单调递增区间为 (??, ?1 ? 1 ? a ) 和 (?1 ? 1 ? a, ??) ,

单调递减区间为 (?1 ? 1 ? a, ?1) 和 (?1, ?1 ? 1 ? a) .

.……………….13 分

19.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由于 A(2,1)在抛物线 y ? ax2 上, 所以 1 ? 4a ,即 a ? 1 .
4 故所求抛物线的方程为 y ? 1 x2 ,其准线方程为 y ? ?1 .
4

……………….2 分 ……………….3 分

(Ⅱ)当直线 l1 与抛物线相切时,由 y? x?2 ? 1 ,可知直线 l1 的斜率为 1,其倾斜角为 45? ,所

以直线 l2 的倾斜角为135? ,故直线 l2 的斜率为 ?1,所以 l2 的方程为 y ? ?x ? 3 …….4 分

将其代入抛物线的方程 y ? 1 x2 ,得 4

x2 ? 4x ? 1 2? ,0解得

x1 ? 2, x2 ? ?6 ,

…….5 分

所以直线 l2 与抛物线所围成封闭区域的面积为:

y

? ? ? 2 (?x ? 3)d x ?

2 1 x2 d x ?

2 (?x ? 3 ? 1 x2 )d x

?6

?6 4

?6

4

……………….6 分

? (? 1 x2

? 3x ?

1

2
x3 )

? 64

2

12 ?6 3

……………….8 分

(Ⅲ)不妨设直线 AB 的方程为 y ?1 ? k(x ? 2) (k ? 0) , ……………….9 分

? y ?1 ? k(x ? 2)



? ?

??

y ? 1 x2 4

得 x2 ? 4kx ? 8k ? 4 ? 0 ,

……………….10 分

易知该方程有一个根为 2,所以另一个根为 4k ? 2 ,

所以点 B 的坐标为 (4k ? 2, 4k 2 ? 4k ?1) ,

同理可得 C 点坐标为 (?4k ? 2, 4k2 ? 4k ?1) ,

A

O

x

y C

A

OB

x

y ? ?1

……………….11 分

所以 | BC |? [(4k ? 2) ? (?4k ? 2)]2 ?[(4k2 ? 4k ?1) ? (4k2 ? 4k ?1)]2

? (8k)2 ? (?8k)2 ? 8 2k ,

……………….12 分

线段 BC 的中点为 (?2, 4k 2 ?1) ,因为以 BC 为直径的圆与准线 y ? ?1 相切,

所以 4k 2 ? 1? ?( 1?) 4k ,由2 于 k ? 0 , 解得 k ? 2 .
2

…………….13 分

此时,点 B 的坐标为 (2 2 ? 2,3 ? 2 2) ,点 C 的坐标为 (?2 2 ? 2,3 ? 2 2) ,

直线 BC 的斜率为 (3 ? 2 2) ? (3 ? 2 2) ? ?1, (?2 2 ? 2) ? (2 2 ? 2)

所以,BC 的方程为 y ? (3 ? 2 2) ? ?[x ? (2 2 ? 2)] ,即 x ? y ?1 ? 0 . …….14 分

20.(本小题满分 14 分)
? ? 解:(Ⅰ)记数列①为 bn ,因为 b2 ,b3,b4 ,b5,b6 与 b6 ,b7 ,b8,b9 ,b10 按次序对应相等,所以数列①
是“5 阶可重复数列”,重复的这五项为 0,0,1,1,0;
? ? 记 数 列 ② 为 cn , 因 为 c1, c2 , c3, c4 , c、5 c2 , c3, c4 , c5 , c6 、 c3, c4 , c5 , c6 , c7 、 c4 , c5 , c6 , c7 , c8 、
c5 , c6 , c7 , c8 , c9 、 c6 ,c7 ,c8,c9 ,c10 没 有 完 全 相 同 的 , 所 以 ?cn? 不 是 “5 阶 可 重 复 数 列 ”.
……………….3 分 (Ⅱ)因为数列{an} 的每一项只可以是 0 或 1,所以连续 3 项共有 23 ? 8种不同的情形.若 m=

11,则数列{an} 中有 9 组连续 3 项,则这其中至少有两组按次序对应相等,即项数为 11 的数

列{an} 一定是“3 阶可重复数列”;若 m=10,数列 0,0,1,0,1,1,1,0,0,0 不是“3 阶可重复数列”;

则 3 ? m ?10 时,均存在不是“3 阶可重复数列”的数列{an} .所以,要使数列{an} 一定

是“3 阶可重复数列”,则 m 的最小值是 11.

……………….8 分

(III)由于数列?an? 在其最后一项 am 后再添加一项 0 或 1,均可使新数列是“5 阶可重复数列”,

即在数列?an? 的末项 am 后再添加一项 0或1 ,则存在 i ? j ,

使得

ai ,

ai?1 ,

ai?2

,

ai?3

,

ai?


4

am?3 , am?2 , am?1, am , 0

按次序对应相等,或

aj,

a j?1 ,

a j?2

,

a j?3

,

a


j? 4

am?3, am?2 , am?1, am ,1 按次序对应相等,

如果 a1, a2 , a3, a4 与 am?3, am?2 , am?1, am 不能按次序对应相等,那么必有 2 ? i, j ? m ? 4 ,i ? j ,

使得 ai , ai?1, ai?2 , ai?3 、 a j , a j?1, a j?2 , a j?3 与 am?3 , am?2 , am?1, am 按次序对应相等.

此时考虑 ai?1, a j?1 和 am?4 ,其中必有两个相同,这就导致数列?an? 中有两个连续的五项恰

按次序对应相等,从而数列 ?an? 是“5 阶可重复数列”,这和题设中数列?an? 不是“5 阶可重复数

列”矛盾!所以 a1, a2 , a3, a4 与 am?3, am?2 , am?1, am 按次序对应相等,从而 am ? a4 ? 1. ……………….14 分

说明:其它正确解法按相应步骤给分.


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