江苏省宿迁市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第4课时 椭圆的几何性质1导学案(无答案)苏教版选修21


第 4 课时 椭圆的几何性质(1)

【学习目标】

1.熟悉椭圆的几何性质(对称性.范围.顶点.离心率);

2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响. 【问题情境】

问题 1.分别从方程和图形来研究椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的范围.对称性,写出焦点和

顶点坐标.

问题 2.如何计算椭圆的离心率?离心率的取值范围是什么?椭圆离心率的大小对椭圆形状 有何影响?

【合作探究】

问题 1.探究椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长

长轴长=

,短轴长=



焦点 焦距 对称性 离心率 【展示点拨】

F1F2=



对称轴

,对称中心



e=



例 1.求椭圆 x2 ? y2 ? 1 的长轴长,短轴长,焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆. 25 9

例 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴长为 20,离心等于 4 ; (2)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点(2,-6) 5

例 3.设 F 是椭圆的一个焦点, B1B2 是短轴,? B1FB2 600 ,求椭圆的离心率.

例 4.若焦点在 x 轴上的椭圆 x2 ? y 2 ? 1 的离心率为 1 ,则 m 等于



2m

2

拓展延伸:若椭圆 x2 ? y 2 ? 1 的离心率为 1 ,则 m 等于



2m

2

【学以致用】

1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为 6;

(2)离心率 e= 2 ,短轴长为 8 5 . 3
2.比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁?

(1) 9x2 + y2 = 36 与 x2 + y2 =1 ; (2) x2 +9 y2 = 36 与 x2 + y2 =1 .

16 12

6 10

3.已知椭圆

x2 ka2

?

y2 kb2

? 1(a

?b

? 0, k

? 0, k

? 1)



x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 具有相同





4.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为 F(3,0),若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是

40,求该椭圆的方程.

5.若中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,求 此椭圆的方程

【基础训练】

第 4 课时 椭圆的几何性质(1)

1.已知椭圆的方程为 x2 + y2 =1 ,则它的右顶点为



16 9

2.已知椭圆的方程为 9x 2 ? y 2 ? 81 ,则它的离心率为_______________.

3.在下列方程所表示的曲线中,关于 x 轴.y 轴都对称的是

(填序号).

① x 2 ? 4 y ;② x2 ? 2xy ? y ? 0 ;③ x2 ? 4 y 2 ? 5x ;④ 9x2 ? y 2 ? 4 .

4.中心在原点,一个焦点坐标为(0,5),短轴长为 4 的椭圆的方程为



x2 y2

x2

y2

5.已知两椭圆25+ 9 =1 与9-k+25-k=1(0<k<9),则它们有相同的________.

6.已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,椭圆的离心率





【思考应用】

7.根据前面所学有关知识画出下列图形:(1) x 2 ? y 2 ? 1 ;(2) 4x2 ? y 2 ? 1. 43
8.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)中心在原点,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点 P(3, 0) ;

(2)对称轴都在坐标轴上,长半轴长为 10,离心率是 0.6; (3)焦点在 x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为 2,到右顶点的距离为 1

9.已知椭圆的一个顶点为 A(0,?1) ,焦点在 x 轴上,且右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距
离为 3,试求椭圆的标准方程.

10.椭圆 x 2 a2

? y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F1(0,-c),F2(0,c)(c>0),离心率 e=

3, 2

焦点到椭圆上点的最短距离为 2 ? 3 ,求椭圆的标准方程.

【拓展提升】

11.已知点

M

与椭圆

x2 13 2

y2 ?
12 2

? 1 的左焦点和右焦点距离之比为 2 : 3 ,求点 M 的轨迹方

程.

12.求椭圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点 P(x,y)与 A(1,0)的距离的最小值,并求相应的 P 点坐 94
标.


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