2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十二直线与平面的夹角北师大版选修2_12018022223


课时跟踪训练(十二) 则直线 l 与平面 α 夹角的余弦值为( A. 2 2 2 2 ) 直线与平面的夹角 1.已知直线 l 的一个方向向量为 a=(1,1,0),平面 α 的一个法向量为 μ=(1,2,-2), 2 2 B.- D. 1 2 ) 3 B. 5 32 D. 5 C .± 2.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,长方体的高为 AA1=3, 则 BC1 与对角面 BB1D1D 夹角的正弦值等于( 4 A. 5 22 C. 5 3.如图所示,点 P 是△ABC 所在平面外的一点,若 PA,PB,PC 与平 面 α 的夹角均相等,则点 P 在平面 α 上的投影 P′是△ABC 的( A.内心 C.重心 B.外心 D.垂心 ) 4.(大纲全国卷)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 的夹角的 正弦值等于( 2 A. 3 C. 2 3 ) B. 3 3 1 D. 3 5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 夹角的正弦值是________. 6.如图所示,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等,D 是 A1C1 的中 点,则直线 AD 与平面 B1DC 夹角的正弦值为________________. 7.如图,在正三棱柱 ABC- A1B1C1 中, AB= 2AA1,点 D 是 A1B1 的中 点. 求直线 AD 和平面 ABC1 夹角的正弦值. 1 8.如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD, AB∥DCA, A1= 1, AB=3k, AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0). (1)求证:CD⊥平面 ADD1A1; 6 (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 夹角的正弦值为 ,求 k 的值. 7 答 案 1. 选A cos〈a, μ〉 = a·μ |a||μ| 3 = 2·3 2 = , 则 直 线 l 与平面 α 的夹角 θ 的正弦值 sin θ= 2 2 2 |cos〈a,μ〉|= ,cos θ= . 2 2 2.选 C 建立如图所示的空间直角坐标系, ∵底面是边长为 4 的正方形,AA1=3, ∴A1(4,0,0),B(4,4,3),C1(0,4,0). 而面 BB1D1D 的法向量为 AC A C =(-4,4,0), 1 1 = ∴ BC1 与 对 角 面 BB1D1D 所 成 角 的 正 弦 值 即 为 |cos〈 BC1 , A1C1 〉 |= 2 |?-4,0,-3?·?-4,4,0?| 42+32 × 42+42 3.选 B 16 = 5×42 22 = 5 . 由于 PA,PB,PC 与平面 α 的夹角均相等,所以这三条由点 P 出发的平面 ABC 的斜线段相等,故它们在平面 ABC 内的投影 P′A,P′B,P′C 也都相等,故点 P′是△ABC 的 外心. 4.选 A 法 一 : 如 图 , 连 接 AC,交 BD 于点 O,由正四棱柱的性质,有 AC ⊥ BD.因为 CC1⊥ 平面 ABCD,所以 CC1⊥ BD.又 CC1∩AC= C, 所以 BD⊥ 平面 CC1O.在平面 CC1O 内作 CH⊥C1O,垂足为 H,则 BD⊥CH.又 BD∩C1O= O,所 以 CH⊥平面 BDC1, 连 接 DH, 则 DH 为 CD 在平面 BDC1 上的射影,所以∠CDH 为 CD 与平面 BDC1 所成的角设.AA1= 2AB=2.在 Rt△COC1 中由,等面积变换易求 2 CH 2 得 CH= .在 Rt△CDH 中,sin∠CDH= = . 3 CD 3 法二:以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设 AA1=2AB=2, 则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则 DC = (0,1,0), DB = (1,1,0), DC = (0,1,2).设平面 BDC1 的法向量为 n= (x, y, z),则 n⊥ 1 DB ,n⊥ DC ,所以有 Error! 1 令 y=-2, 得 平 面 BDC1 的一个法向量为 n=(2, - 2,1). 设 CD 与平面 BDC1 的 n· 夹角为 θ, 则 sin θ=|cos〈n, DC 〉|= 2 3 | |n|||| = . 5.解析:如图,以 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系,设正方体的棱长为 1, 则 A(1,0,0), B(1,1,0), C1(0,1,1), 量. 易证 1 AC 是平面 A1BD 的一个法向 AC =(-1,1,1), BC =(-1,0,1). 1 1 cos〈 AC , BC 〉= 1 1 1+1 6 = . 3 6 所以 BC1 与平面 A1BD 夹角的正弦值 为 . 3 答案: 6 3 3× 2 6.解析:不妨设正三棱柱 ABC-A1B1C1 的棱长为 2,建立如图所示的空间直 角坐标系, 3 则 C(0,0,0),A( 3,-1,0),B1(3,1,2),D 1 ( ,2 , ,- 2 2 ) 3 1 CB =( 3,1,2), 1 则 CD =( ,- ,2), 2 2 3 设平面 B1DC 的法向量为 n=(x,y,1),由 Error! 解得 n=(- 3,1,1). 3 又∵ DA = 1 ,-2 , ( ,- 2 2 ) ∴sin θ=|cos〈 DA ,n〉|= . 4 答案: 5 4 5 7.解:如图所示,设 O 是 AC 的中点,以 O 为原点建立空间直角 坐标系.不妨设 AA1= 2, 则 AB=2,相关各点的坐标分别是 A(0,- 1,0),B( 3,0,0),C1(0,1, 2), 3

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