【新】2019高中数学第一章三角函数4.正弦函数余弦函数的性质学案必修47


1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 1.掌握 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.(重点) 2.会求函数 y=Asin(ω x+φ )及 y=Acos(ω x+φ )的周期,单调区间及最值.(难点) 3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.(易混点) [基础·初探] 教材整理 1 函数的周期性 阅读教材 P34~P35“例 2”以上部分,完成下列问题. 1.函数的周期性 (1)对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 2.两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π . (2)余弦函数是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π . 函数 y=2cos x+5 的最小正周期是________. 【解析】 函数 y=2cos x+5 的最小正周期为 T=2π . 【答案】 2π 教材整理 2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材 P37“思考”以下至 P37 第 14 行以上内容,完成下列问题. 1.对于 y=sin x,x∈R 恒有 sin(-x)=-sin x,所以正弦函数 y=sin x 是奇函数, 正弦曲线关于原点对称. 2.对于 y=cos x,x∈R 恒有 cos(-x)=cos x,所以余弦函数 y=cos x 是偶函数,余 弦曲线关于 y 轴对称. 1 3π ? ? 判断函数 f(x)=sin?2x+ ?的奇偶性. 2 ? ? 3π ? ? 【解】 因为 f(x)=sin?2x+ ?=-cos 2x. 2 ? ? 且 f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),所以 f(x)为偶函数. 教材整理 3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材 P37~P38“例 3”以上内容,完成下列问题. 函数名称 图象与性质 性质分类 相 同 处 定义域 值域 周期性 图象 奇偶性 奇函数 π π? ? 在?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z)上 2 2? ? 单调性 不 同 处 对称轴 对称中心 是增函数;在 偶函数 在[2kπ -π ,2kπ ](k ∈Z)上是增函数;在 [2kπ ,2kπ +π ](k∈ Z)上减函数 R [-1,1] 最小正周期为 2π R [-1,1] 最小正周期为 2π y=sin x y=cos x ?2kπ +π ,2kπ +3π ?(k∈Z)上 ? ? 2 2 ? ? 是减函数 π 2 x=kπ + (k∈Z) (kπ ,0)(k∈Z) x=kπ (k∈Z) ?kπ +π ,0?(k∈Z) ? ? 2 ? ? x=2kπ 时,ymax=1;x =2kπ +π 时, ymin=- 1 x=2kπ + (k∈Z)时,ymax=1; 最值 π x=2kπ - (k∈Z)时,ymin=-1 2 π 2 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 sin? ?2π +π ?=sinπ ,则2π 是函数 y=sin x 的一个周期.( 6? 6 3 ? 3 ? ) ) (2)函数 y=sin x 在第一象限内是增函数.( (3)余弦函数 y=cos x 是偶函数,图象关于 y 轴对称,对称轴有无数多条.( ) 2 1 ? π? (4)函数 y=- sin x,x∈?0, ?的最大值为 0.( 2? 2 ? 【解析】 (1)×.因为对任意 x,sin? ) ?2π +x?与 sin x 并不一定相等. ? ? 3 ? (2)×.y=sin x 的单调性针对的是某一区间,不能用象限角表示. (3)√.由余弦函数图象可知正确. 1 ? π? (4)√.函数 y=- sin x 在 x∈?0, ?上为减函数,故当 x=0 时,取最大值 0. 2? 2 ? 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ [小组合作型] 三角函数的周期问题及简单应用 (1)下列函数是以 π 为最小正周期的函数是( A.y=sin x C.y=cos 2x+2 B.y=sin x+2 D.y=cos 3x-1 ) π? ? (2)函数 y=sin?2x+ ?的最小正周期为________. 4? ? (3)求函数 y=|sin x|的最小正周期. 2π 【精彩点拨】 (1)(2)利用周期定义或公式 T= 求解.(3)利用图象求解. ω 【自主解答】 (1)y=sin x 及 y=sin x+2 的最小正周期为 2π ,y=cos 2x+2 的最 2π 小正周期为 π ,y=cos 3x-1 的最小正周期为 ,所以选 C. 3 π? π ? ? ? (2)法一:y=sin?2x+ ?=sin?2x+ +2π ? 4? 4 ? ? ? =sin? ? ? x+π π + ? ,所以最小正周期为 π . 4? ? π? 2π 2π ? 法二:因为函数 y=sin?2x+ ?中 ω =2,所以其最小正周期 T= = =π . 4 | ω | 2 ? ? 【答案】 (1)C (2)π (3)作函数 y=|sin x|的简图如下: 3 由图象可知 y=|sin x|的最小正周期为 π . 求三角函数周期的方法: (1)定义法:即利用周期函数的定义求解. (2)公式法:对形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )(A,ω ,φ 是常数,A≠0, 2π ω ≠0)的函数,T= . |ω | (3)图象法:即通过观察函数图象求其周期. [再练一题] 1.求下列三角函数的周期: (1)y=cos 2x,x∈R; ?1 π ? (2

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