2013-2014学年浙江省诸暨市诸暨中学高一下学期期中考试数学试卷(带解析)


2013-2014 学年浙江省诸暨市诸暨中学高一下学期期中考试数学试卷 (带解析)
一、选择题 1.已知向量 A. B.- , C. D.- ,且 ∥ ,则 tan α 等于( )

【答案】A. 【解析】 试题分析:∵ , ,且 ∥ ,∴ .

考点:1.平面向量共线的坐标表示;2.同角三角函数的基本关系. 2.方程 A. B. 的两根的等比中项是( ) C. D.

【答案】B. 【解析】 试题分析:设 , 为方程 为 . 的两根,则有韦达定理可得 ,∴两根等比中项

考点:1.韦达定理;2.等比中项的概念. 3.在 Rt△ ABC 中,A=90°,AB=1,则 A.1 B.-1 C.1 或-1 D.不确定,与 B 的大小,BC 的长度有关 【答案】B. 【解析】 试题分析:如图,则可知 . · 的值是( )

考点:平面向量数量积. 4.在△ ABC 中,若 A. B. 或 , C. , D. ,则 B 等于( 或 )

【答案】B. 【解析】 试题分析:由正弦定理可得: 考点:正弦定理解三角形. 5.设 是等差数列 A. B. C. 的前 项和,若 D. ,则 ( ) 或 .

【答案】A. 【解析】 试题分析:∵等差数列 ∴ 考点:等差数列及其前 项和. 6.如图:D,C,B 三点在地面同一直线上, 则 A 点离地面的高度等于( ) A. B. C. ,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是 , ,∴ . ,

D.

【答案】A.

【解析】 试题分析:如图,过 作 ,垂足为 ,设 ,则可得 , ,

又∵

,∴



考点:1.三角函数的运用;2.三角恒等变形. 7.已知数列 A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】 试题分析:∵ 是等比数列,∴ ,∴ . , ,∴ 是以 为首项, 为公比 中, 则数列 的通项公式为 ( )

考点:求数列的通项公式. 8.已知数列 A. 的前 项和为 C. D.15 ,则 的值是( )

B.73

【答案】C. 【解析】 试题分析:∵ ∴ , ∴ . , ,

考点:数列求和. 9.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 , , .若 ( ) A. 【答案】B. 【解析】 试题分析:∵ ,∴ , ,又∵ ,∴ , B. C. D. , ,则角



,∴



考点:正余弦定理解三角形. 10.设 , , 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 与 不共线, ⊥ , | |=| |,则 的值一定等于( ) A.以 , 为两边的三角形的面积 B.以 , 为两边的三角形的面积 C.以 , 为邻边的平行四边形的面积 D.以 , 为邻边的平行四边形的面积 【答案】C. 【解析】 试题分析:根据题意,可画出如下示意图,设 则 行四边形的面积. , ,从而可知 , , 的值为以 , 为邻边的平

考点:平面向量数量积的运用. 二、填空题 1.数列 【答案】 【解析】 中, =2, . 则 ________.

试题分析:∵ ∴ .

,∴

,∴

是以 为首项,

为公比的等比数列,

考点:等比数列的通项公式. 2.两等差数列 【答案】 【解析】 试题分析:∵等差数列 , ,前 项和分别为 ,且 ∴ , . 和 ,前 项和分别为 ,且 ,则 等于 .

又∵

,∴



考点:等差数列的前 项和. 3.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 , , ,若 ________. 【答案】 或 【解析】 试题分析:∵ 即 或 . ,∴ ,∴ , . ,则角 B 的值为

考点:1.余弦定理的推论;2.同角三角函数基本关系. 4.设 , 为单位向量, 且 , 的夹角为 ,若 = +3 , =2 ,则向量 在 方向上 的投影为________. 【答案】 【解析】 试题分析:∵ , ,∴ ,∴ ∴ 在 方向上的投影为 考点:平面向量的数量积. . , , .

5.在△ ABC 中,A=120°, 【答案】 【解析】 试题分析:∵ ∴由正弦定理: ,∴ .



,则



,∴由余弦定理: .



考点:正余弦定理解三角形. 6.在矩形 A BCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满 足 【答案】 【解析】 试题分析:如图建立平面直角坐标系,不妨设 , 同理 ∵ ,∴ ,∴ , 的取值范围是 . ,∴ , ,∵ ,∴ ,则 . 的取值范围是________.

考点:平面向量数量积综合. 三、解答题 1.设向量 【答案】 【解析】 试题分析:由条件 用条件中 及 再由 ∥ , 可知,要求 的坐标,只需求得 联立方程组求得:设 ,有 ,可得 ,∴ , ,则 . 的坐标即可,而 可利 可得 , , . ,向量 , ∥ ,又 + = ,求 .



联立方程组即可解得

试题解析:由题意:设 又∵ ∥ , ,∴

,∵ ,∴

,∴

, ,即: .

,∴ ②,

①,

联立①,②可解得

,则

考点:平面向量的坐标运算. 2.在△ ABC 中,已知边 【答案】 【解析】 试题分析:根据条件 再根据 ,且 , ,再联立 试题解析:∵ ∴ ∴ , 又∵ , 结合正弦定理 可得 可解得 ,∴ ,且 , ,∴ ,从而 , . ,即 ,即 ,联立 , , ,可得 , . 可将角化边,从而得到: 是以 斜边的直角三角形,即可得 , , . , 又知 ,求边 、 的长.

是以 为斜边的直角三角形,∴

考点:1.正弦定理解三角形;2.三角恒等变形. 3.已知正项等差数列 (1)求数列 (2)设 的前 n 项和为 ,若 ,且 , , 成等比数列,

的通项公式; ,求数列 的前 n 项和 ;(2) . .

【答案】(1) 【解析】

试题分析:(1)由等差数列的性质可知, ,再由 , , 成等 比数列,可得到关于公差 的方程: ,再由 是 正项等差数列可知 ,从而可得通项公式 ;(2)由(1)及 可知数列 的通项公式为等差数列 与等比数列 的乘积,因此可以考虑采用错位相减法来求其前 项和 : ①, ① : ②,

①-②可得: ,即 .

试题解析:(1)∵等差数列 又∵ , ,



,∴



, 或 ,

成等比数列,∴ ,∴ , ①, ;

又∵正项等差数列,∴ (2)∵ ∴ ① : ,∴

②,

①-②可得: , ∴ .

考点:1.等差数列的通项公式;2.错位相减法求数列的和. 4.已知向量 三边 , , 所对的角. (1)求角 C 的大小; (2)若 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)首先根据平面向量数量积的坐标表示可得: ,利用两角和与差的正弦公式,将其变形,可最终得到 ,结合条件 ,可得 ,从而 ;(2)根据条件利用正弦定理可将角的关系 系 ,再结合 ,即可得 转化为边的关 ,再由余弦定理 . , , ,且 S△ ABC= ;(2) . ,求边 c 的长 , , ,其中 A,B,C 分别为△ ABC 的

,对其结合已知条件进行变形可得 试题解析:(1)∵ ∴ , 在 ∴ ∵ ,∴ 中,∵ ,又∵ ,∴ , ,∴ ,∴ ; ,

(2)∵ 又∵ 由余弦定理得:

,由正弦定理得 ,



考点:1.平面向量数量积的坐标表示;2.三角恒等变形;3.正余弦定理解三角形. 5.已知数列 (1)求 (2)求证数列 (3)设 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)根据条件中 ;(2)欲证 根据数列 中 与 ∴ 又∵ ; (3)由(2)结合条件 的前 项和 : 的不等式: 的最大值为 . 试题解析:(1)∵ (2)证明:在 ∴ 又∵ ,∴ ,而 ,∴令 n=1, 中,当 ,即 ,∴ 时, ,∴ , , ; ,可得 ,因此可以考虑采用裂项相消法求数列 ,从而可将 ,结合 转化为关于 ,即可知 ,∴ ,而 满足的条件 满足的关系:当 时, ,即 ,∴ ,可令 ,结合 ,即可得: ,因此可以首先 是等差数列,并求数列 ,数列 的通项公式; 的 的最大值. 的前 项和 ,数列 满足 .

的前 项和为 ,求满足

;(2)证明详见解析,

;(3) 的最大值为 .

是等差数列,而条件中 探究 与 , ,∴

满足的关系,进而可以得到数列



是以 为首项, 为公差的等差数列,

是以 为首项, 为公差的等差数列,

∴ (3)由(2)及 ∴ ∴ 又∵

,∴

; ,∴ ,∴ , cn=log2=log22 =n, ,
n

,∴ 的最大值为 .

考点:1.等差数列的证明;2.求数列的通项公式;3.裂项相消法求数列的和.


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