黑龙江省伊春市第二中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 理


我爱你中 国亲爱 的祖国

2017———2018 学年度第二学期期末考试

高二学年理科数学试题

分值:150 分 时间:120 分钟 一、选择题:本题共 12 个小题, 每小题 5 分.共 60 分.在每小题给 出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的。
? ? 1.设集合 M={ x | x2 ? x ? 6 ? 0 },N= x1? x ? 3 ,则 M∩N= ( )

A.[1,2)

B.[1,2]

C.(2,3]

D.[2,3]

2.设集合 M={1,2},N={ a 2 },则“ a =1”是“N? M”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

3.命题“存在实数 x ,使 x ?1 ”的否定是

()

A.对任意实数 x ,都有 x ?1

B.不存在实数 x ,使 x ?1

C.对任意实数 x ,都有 x ?1

D.存在实数 x ,使 x ?1

?x ? y ?1

4.已知变量

x



y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

1

,则

z

?

x

?

2

y

的最小值为(



??x ?1 ? 0

A.3

B.1 C. ?5

D. ?6

5.如果 a ? b ? 0,那么下列不等式成立的是

()

A. 1 ? 1 B. ab ? b2 C. ?ab ? ?a2 D. ? 1 ? ? 1

ab

ab

6.5 个人排成一排,若 A、B、C 三人左右顺序一定(不一定相邻),那么

不同排法有

()

A. A55

B. A33 ? A33

C. A55 A33

D. A33

7.在( x ? 1 )8 的展开式中常数项是 ( ) 2 3x

A.-28 B.-7 C.7 D.28

8.阅读程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )

A. 8 5

B.1131

C.2113

D.

13 8

-1-

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9.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 ? 1 ? 1,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值 xy

范围是

()

A. ??1,1?

B.?? 4,2?

C. ?0,2?

D. ?0,1?

10.设函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a,b, c ? R) .若 x ? ?1 为函数 f (x)ex 的一个极值点,则下

列图象不可能为 y ? f (x) 的图象是

()

11.若 P= a ? a ? 7 ,Q= a ? 3 ? a ? 4 ( a ? 0 ),则 P、Q 的大小关系是( )

A.P>Q

B.P<Q C.P=Q

D.由 a 的取值确定

12.设方程 log 4

x

? ?? ?

1 ?x ?
4?

?

0 、 log 1
4

x ? ?? ?

1 ?x ?
4?

?

0 的根分别为

x1、x2 ,则

()

A. 0 ? x1x2 ? 1

B. x1x2 ? 1

C.1 ? x1x2 ? 2

D. x1x2 ? 2

二、填空题:本大概题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

13. 已知复数 z 满足(1-i)z=2,则 z 等于



14.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集):

①“若 a,b ? R ,则 a ?b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a,b ?C ,则“ a ?b ? 0 ? a ? b ”;

②“若 a,b, c, d ? R ,则复数 a ? bi ? c ? di ? a ? c,b ? d ”类比推出“若 a,b, c, d ?Q,

则 a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c,b ? d ”;

③“若 a,b ? R ,则 a ?b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a,b ?C ,则 a ?b ? 0 ? a ? b ”.

其中类比结论正确的序号为是



15.用数学归纳法证明1

?

1 2

?

1 3

?

......?

1 2n ?1

?

n

”时,由

n=k(k>1)不等式成立,推证

n=k+1

时,左边应增加的项数是

项;

16.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x ? 4) ? ? f (x) ,且在区间[0,2]上是增函数.若

方 程 f (x) ? m 在 区 间 [ - 8 , 8] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1, x2 , x3, x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ________.

三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

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17.(本题满分 10 分)已知不等式 2 ? 1 的解集为 A, x ?1
不等式 x2 ? (2 ? a)x ? 2a ? 0, (a ? 2) 的解集为 B. (1)求集合 A 及 B; (2)若 A? B,求实数 a 的取值范围.
18.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x2 ? ax ? 4 (x ? 0) . x
(1)若 f (x) 为奇函数,求 a 的值; (2)若 f (x) 在[2,+∞)上恒大于 0,求 a 的取值范围 19.(本题满分 12 分)已知 x 、 y 、 z 均为正数.求证: x ? y ? z ? 1 ? 1 ? 1 ;
yz zx xy x y z
20. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最 大
值为 14,求实数 a 的值.
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21.( 本题满分 12 分)某校从参加考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数) 分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如下部分频率分布直方图如图. 观察图形的 信息,回答下列问题: (1)求分数在[70,80)内的频率; (2)估计本次考试的中位数;(精确到 0.1) (3)用分层抽样(按[60,70)、[70,80)分数段人 数比 例)的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求 恰有 1 人在分数段[70,80)的概率.
22.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? a ln x ? bx2 图象上点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 2x ? y ?3 ? 0. (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)函数 g(x) ? f (x) ? m ? ln 4 ,若方程 g(x) ? 0 在[ 1 ,2]上恰有两解,求实数 m 的取 e
值范围
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2017——2018 学年度第二学期期末考试数学答案 (理科) 一、 选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 答案 A A C C D C C D B D B A

二、填空题 13、__________1+i__________

14、_____①②_________

15、_________ 2k __________

16、________8_或-8_____

? ? 17.解:(1)由已知得: x ?1 ? 0 ; A ? x ?1? x ?1 .………3 分 x ?1 ? ? (x ? a)(x ? 2) ? 0 ; B ? x a ? x ? 2 .………6 分

(2) ? A ? B ?a ? ?1.… ……10 分

18. 解(1)? f (x) 为奇函数;

? f (?x) ? ? f (x)(x ? 0)恒成立,即 x2 ? ax ? 4 ? ? x2 ? ax ? 4 恒成立……3 分

?x

x

得 a ?0;

(2)

f

' ( x)

?

(x

?

2)(x x2

?

2)

? x ??2,??? ? f '(x) ? 0

…………………6 分 ………………7 分
………………8 分

? f (x) 在[2,+∞)单调递增; ………………9 分

? f (x)min ? f (2) ? a ? 4 ; ………………10 分 由 f (x) 在[2,+∞)上恒大于 0

? f (x)min ? 0 成立,即 a ? 4 ? 0

?a ? ?4;

………………12 分

19 证明:因为 x , y , z 全为正数.所以 x ? y ? 2 ,…………………3 分 yz zx z

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同理可得: y ? z ? 2 , ………6 分 zx xy x

x ? z ? 2 ………9 分 yz xy y

当且仅当 x = y = z 时,以上三式等号都成立.

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得 x ? y ? z ? 1 ? 1 ? 1 ……12 分 yz zx xy x y z

20.解:f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,∵x∈[-1,1],

(1)当 0<a<1 时,a≤ax≤1a,∴当 ax=1a时,f(x)取得最大值.

∴(1a+1)2-2=14,∴1a=3,∴a=13. …………6 分

(2)当 a>1 时,1a≤ax≤a,∴当 ax=a 时,f(x )取得最大值.

∴(a+1)2-2=14,∴a=3.

综上可知,实数

a

1 的值为3或

3.…………12



21、解:(1)分数在[70,80)内的频率为: 1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1-0.7=0.3………3 分
(2)中位数 73 1 ? 73.3 …………6 分 3
(3)由题意,[60,70)分数段的人数为:0.15×60=9(人);[70,80)分数段的人数为:0.3×60 =18(人). ∴需在[60,70)分数段内抽取 2 人,在[70,80)分数段内抽取 4 人,……… 8 分 设“从样本中任取 2 人,恰有 1 人在分数段[70,80)内”为事件 A,.

∴P(A)= C41C21 ? C62

8 15………12 分

22.解:(Ⅰ)当 x=1 时,f(1)=2×1-3=-1.

f ′( x)= a ? 2bx , x



? ? ?

f f

?(1) ? a ? 2b (1) ? b ? ?1

?

2

…………1 分 ………2 分
……………3 分

解得 a=4,b=- 1

……………………4 分

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∴y=f(x)=4ln x-x2.

………………5 分

(Ⅱ):g(x)=f(x)+m-ln4=4ln x-x2+m-ln4.

………6 分

令 g(x)= 0 得 m= x2 ? 4ln x ? ln 4 ,则此方程在[ 1 , 2 ]上恰有两解. e
记? (x )= x2 ? 4ln x ? ln 4

令? ′( x)=2x- 4 ? 2x2 ? 4 ? 2( x ? 2)( x ? 2) ? 0 ,得 x= 2 ∈[ 1 , 2 ] …………7

xx

x

e


x∈( 1 , 2 ),? ′( x)<0,? (x)单调递减; e
x∈( 2 ,2), ? ′(x)>0,? (x)单调递增.

……………9 分

??( 2) ? 2 ? 4 ln 2 ? 2 ln 2 ? 2

?



??? ?

(1 e

)

?

4

?

1 e2

?

2 ln 2

……………11 分

???(2) ? 4 ? 4 ln 2 ? 2 ln 2 ? 4 ? 2 ln 2

∵? (x)的图像如图所示(或∵? ( 1 ) >?(2)) e

∴2<m≤4-2ln2.

………………………………12 分

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