高中数学4.4生活中的优化问题举例同步精练湘教版选修2_2【含答案】


高中数学 4.4 生活中的优化问题举例同步精练 湘教版选修 2-2 1.甲工厂八年来某产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示,现有四种说法: ①前三年该产品产量增长速度越来越快; ②前三年该产品产量增长速度越来越慢; ③第三年后该产品停止生产; ④第三年后该产品产量保持不变. 其中说法正确的有( ). A.①④ B.② C.①③ D.②③ ). 2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20,要使其体积最大,则其高为( 20 3 A. 3 B.100 C.20 20 D. 3 3.设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为( 3 A. V 3 B. 2V 3 C. 4V 3 D.2 V ). 4.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,已知 1 ? ?400x- x2,0≤x≤400, 2 总收益 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? ? ?80 000,x>400, 则总利润最大时,每年生产的产量是( A.100 B.150 C.200 ). D.300 5.用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面一边比另一边长 0.5 m,那么高为__________ 时容器的容积最大,最大容积为__________. 6.某厂生产某种商品 x 单位的利润是 L(x)=500+x-0.001x ,生产__________单位这种商品 时利润最大,最大利润是__________. 7 . 做 一 个 无 盖 的 圆 柱 形 水 桶 , 若 需 容 积 是 27π , 且 用 料 最 省 , 则 圆 柱 的 底 面 半 径 为 __________. 8.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时 10 海里时,燃料 费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,要使航行 1 海里所需的费用最少轮船的 速度为________,航行 1 海里所需的费用总和最少为________. 2 1 参考答案 1.B 2.A 如图,设底面半径为 r,高为 h,则有 =sin θ , =cos θ , 20 20 ∴V(θ )=π r ·h=8 000π sin θ cos θ . ∴V′(θ )=16 000π sin θ cos θ -8 000π sin θ . 令 V′(θ )=0,解得 tan θ = 2,得唯一极值点. ∴cos θ = 3 20 3 .∴h= . 3 3 2 3 2 2 r h 3.C 设底面边长为 x, 则表面积 S= 3 2 4 3V 3 3 x+ (x>0),S′= 2 (x -4V), 2 x x 3 令 S′=0,得唯一极值点 x= 4V. 4.D 设总利润为 y 元,则 y= 1 ? ?- x2+300x-20 000,0≤x≤400, ? 2 ? ?60 000-100x,x>400. 当 x∈(400,+∞)时,y′=-100≠0,此时 y 无最值. 当 x∈0,400]时,y′=-x+300.令 y′=0,得 x=300. 由 y′在 x=300 处由正变负,故 y 在 x=300 处有唯一极值点. 又 f(0)<0,f(400)<0,∴f(300)为最大值. 5 . 1.2 m 1.8 m 3 设 容 器 底 面 短 边 长 为 x m , 则 另 一 边 长 为 (x + 0.5) m , 高 为 14.8-4x-4(x+0.5) =3.2-2x. 4 由 3.2-2x>0 和 x>0,得 0<x<1.6. 设容器的容积为 y m ,则有 y=x(0.5+x)·(3.2-2x)=-2x +2. 2x +1.6x(0<x<1.6). ∴y′=-6x +4.4x+1.6. 2 3 3 2 2 4 2 令 y′=0,有-6x +4.4x+1.6=0,解得 x1=1,x2=- (不合题意,舍去). 15 当 x=1 时,y 取最大值,y 最大=-2+2.2+1.6=1.8(m ),这时高为 3.2-2×1=1.2(m). ∴当高为 1.2 m 时,容器的容积最大为 1.8 m . 6.500 750 L′(x)=1-0.002x.令 L′(x)=0,得 x=500,此时 L(500)=750. 由已知,L(x)在其定义域 0,+∞)上只有一个极值点,所以生产 500 单位这种商品时利润最 大,最大利润为 750. 7.3 设底面半径为 R,母线长为 l,则 V=π R l=27π . 27 ∴l= 2 .要使用料最省,只需使圆柱的表面积最小. 2 3 3 R 27 2 2 ∴S 表=π R +2π Rl=π R +2π · , R S′表=2π R- 54π R2 =0,∴R=3.∵S 表有唯一极值点,故当 R=3 时,S 表最小. 8.20 海里/时 7.2 元 设速度为每小时 v 海里时燃料费是每小时 p 元,那么由题设的比例关 系,得 p=k·v ,其中 k 为比例常数,它可以由 v=10,p=6 求得,即 k= 0.006v . 又设当船的速度为每小时 v 海里时,航行 1 海里所需的总费用为 q 元,那么因每小时所需的总 1 3 费用是 0.006v +96(元),而航行 1 海里所需时间为 小时.所以,航行 1 海里的总费用为 3 3 6 3=0.006.于是有 p= 10 v q= (0.006v3+96)=0.006v2+ . v v q′=0.012v- 2 = 2 (v3-8 000). v v 令 q′=0,解得 v=20. 又当 v<20 时,q′<0;当 v>20 时,q′>0, 所以当 v=20 时,q 取得最小值, 96 96 2 2 即当速度为 20 海里/时,航行 1 海里所需费用的总和最少为 q=0.006v + =0.006×20 + = v

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