2013年全国高考理科数学试题分类汇编8:直线与圆 含答案


2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 8:直线与圆
一、选择题 1 . (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是





A. (2, 3) ?
【答案】D

B. (2, 3)

C. (?3, 2)

D. (3, 2)

2 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 已知点 )

A(?1, 0), B(1, 0), C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分,
则 b 的取值范围是 A. (0,1)
【答案】B 3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 过点 (3,1) 作圆 )

( B. (1 ?



2 1 , ) 2 2

( C) (1 ?

1 1 2 1 , ] D. [ , ) 2 3 3 2

( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为
A. 2 x ? y ? 3 ? 0
【答案】A 4 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 ) 已 知 点 ( )





B. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. 4 x ? y ? 3 ? 0

D. 4 x ? y ? 3 ? 0

O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B ? a, a 3 ? .若? ABC 为直角三角形, 则必有
A. b ? a
3





B. b ? a ?
3

1 a
3

C. b ? a
【答案】C

?

3

??b ? a ? ?

3

1? ? ??0 a?

D. b ? a ? b ? a ?
3

1 ?0 a

5 . (2013 年高考江西卷 (理) 如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线, l1 , l2 )

? 之间 l // l1 , l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点,设弧 FG 的长
为 x(0 ? x ? ? ) , y ? EB ? BC ? CD ,若 l 从 l1 平行移动到 l 2 ,则函数 y ? f ( x) 的图像 大致是

【答案】D 6 . (2013 年高考湖南卷(理) 在等腰三角形 ABC 中, AB=AC ? 4, P 是边 AB 上异于 ) 点

A, B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC , CA 发射后又回到原点 P (如图1 ).若光线 QR 经
过 ?ABC 的中心,则 AP 等

( A. 2
【答案】D 二、解答题 7 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )



B. 1

C.

8 3

D.

4 3

本小题满分 14 分.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆

C 的半径为 1,圆心在 l 上.
(1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

y A O l

x

【答案】解:(1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为1 ?y ? x ?1
2 2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a) ? ? y ? (2a ? 4)? ? 1
2 2

又 ∵ MA ? 2MO ∴ 设 得: x ? ( y ? 1) ? 4 设为圆 D
2 2

M

为 (x,y) 则

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整 理

∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2
2

即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? ( ?1)? ? 2 ? 1

由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 由 5a ? 12 a ? 0 得 0 ? x ?
2

12 5
? 12 ? ? ? 5?

终上所述, a 的取值范围为: ?0,


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