2016年高考数学总复习 第十章 第3讲 坐标系与参数方程课件 理


第3 讲

坐标系与参数方程

1 .理解坐标系的作用;了解在平面直角坐标系伸缩变 换作用下平面图形的变化情况.

2 .能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极
坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极 坐标和直角坐标的互化.

3.能在极坐标系中给出简单图形 (如过极点的直线、过
极点或圆心在极点的圆 ) 的方程.通过比较这些图形在极坐 标和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义.

4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的 方法,并与空间直角坐标系表示点的位置的方法相比较, 了解它们的区别. 5.了解参数方程,了解参数的意义;能选择适当的参

数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
6.了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们 的参数方程. 7.了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应 用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.

1.极坐标和直角坐标的互化公式 若点 M 的极坐标为(ρ,θ),直角坐标为(x,y),
? ?x=ρcosθ, 则? ? ?y=ρsinθ,

ρ2=x2+y2 ? ? ① ? ② y tanθ=x,x≠0. ? ?

将直角坐标化为极坐标利用公式①,将极坐标化为直角坐 标利用公式②.

2.参数方程 (1)圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为
? ?x=a+rcosθ, ? (θ 为参数) ? ?y=b+rsinθ _____________________________________ , 参数

θ 的几何意义

是圆上的点绕圆心旋转的角度. a b

? ?x=acosφ, ? x2 y2 ? ?y=bsinφ (2) 椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0) 的参数方程为 ______________( φ

为参数). x2 y2 (3)双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的参数方程为
? ?x=asecφ, ? ? ?y=btanφ

(φ 为参数).

(4) 抛物线 数).

2 ? x = 2 pt , ? 2 y = 2px(p>0) 的参数方程为 ? ? ?y=2pt

(t 为参

b (5) 过 点 P(x0 , y0) , 且 斜 率 为 的 直 线 的 参 数 方 程 为 a
? ?x=x0+at, ? ? ?y=y0+bt

(t 为参数);过点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的 此时|t|表示参数 t 对应的点 M(x,

? ?x=x0+tcosα, 参数方程为? ? ?y=y0+tsinα,

y)到定点 M0(x0,y0)的距离.

1. 若点 M 的直角坐标是 ( - 1 , 3), 则点 M 的极坐标为 ( C )
? π? A.?2,3? ? ? ? 2π? C.?2, 3 ? ? ? ? π? B.?2,-3? ? ? ? π? D.?2,2kπ+3?(k∈Z) ? ?

2.极坐标方程 ρ=cosθ 化为直角坐标方程为( D )
? 1?2 2 1 A.?x+2? +y =4 ? ?

B.x

2

? 1?2 1 +?y+2? =4 ? ?

C.x

2

? 1?2 1 +?y-2? = 4 ? ?

? 1?2 2 1 D.?x-2? +y = 4 ? ?

? ?x=1+2t, 3.若直线的参数方程为? ? ?y=2-3t,

(t 为参数),则该直线

的斜率为( D ) 2 A.3 3 C.2 4. 方程
? π? ρsin?θ+4?= ? ?

2 B.-3 3 D.-2 2 x+y=1 . 表示的曲线的普通方程是 ________ 2

考点1

极坐标与直角坐标的相互转化

例1 :在极坐标系中,设圆ρ =3 上的点到直线ρ(cosθ +
3 sinθ)=2 的距离为 d,求 d 的最大值.

解:将极坐标方程转化为普通方程:x2+y2=9, ρ(cosθ+ 3sinθ)=2 可化为 x+ 3y=2. 在 x2+y2=9 上任取一点 A(3cosα,3sinα),则点 A 到直线 的距离为 |3cosα+3 3sinα-2| |6sin?α+30° ?-2| d= = , 2 2 它的最大值为 4.

【规律方法】极坐标与直角坐标的相互转化,一定要记住 两组互化公式.直角坐标化为极坐标方程比较容易,只是将公式

x=ρcosθ,y=ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为
直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题,构造形如ρcosθ,

ρsinθ,ρ2 的形式,进行整体代换,其中方程两边同乘ρ及
方程两边平方是常用的变形方法.

【互动探究】 1. (1)(2013 年上海)在极坐标系中, 曲线 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ

1+ 5 2 =1 的公共点到极点的距离为__________ .
? ?ρ=cosθ+1, 解析:将? ? ?ρcosθ=1

化简,得(ρ-1)ρ=1,ρ2-ρ-1=

1+ 5 1± 5 0,ρ= 2 .又 ρ>0,则公共点到极点的距离为 2 .

(2)(2013

? π? 年北京)在极坐标系中,点?2,6?到直线 ? ?

ρsinθ=2

1 的距离等于________ .
? π? 解析:将点?2,6?转化成普通坐标为( ? ?

3,1),ρsinθ=2 转

换成普通方程为 y=2,所以所求点到直线的距离等于 1.

考点 2

参数方程与普通方程的相互转化

例 2:(1)(2012 年广东)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为
? ?x= ? ? ?y= ? ?x=t, C1 : ? ? t ?y=

(t 是参数 ) 和 C2 :

2cosθ, (θ 是参数),则它们的交点坐标为________. 2sinθ
解析:C1:y2=x(y>0),C2:x2+y2=2,得交点坐标为(1,1).

答案:(1,1)

(2)(2013 年湖南)在平面直角坐标系 xOy 中,若 l:
? ?x=t, ? ? ?y=t-a

(t 为参数)过椭圆

? ?x=3cosφ, C:? ? ?y=2sinφ

(φ 为参数)的右顶

点,则常数 a 的值为__________.

解析:将

? ?x=t, l:? ? ?y=t-a

(t 为参数)和

? ?x=3cosφ, C:? ? ?y=2sinφ

转换

x2 y2 成普通方程为 y=x-a 和 9 + 4 =1,直线与 x 轴的交点为(a,0) 就是椭圆的右顶点(3,0),所以 a=3.
答案:3

【规律方法】常见的消参数法有:代入消元?抛物线的参数 方程?、加减消元?直线的参数方程?、平方后再加减消元?圆、椭 圆的参数方程?等.经常使用的公式有 sin2α+cos2α=1.在将曲线 的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围,确 保普通方程与参数方程等价.

【互动探究】
? ?x= 5cosθ, 2.已知两曲线的参数方程分别为 ? ? ?y=sinθ

(0≤θ<π)

52 ? ?x= t , 和? 4 (t∈R),则它们的交点坐标为________. ? ?y=t

? ?x= 5cosθ, 解析:? ? ?y=sinθ

x2 2 表示椭圆 5 +y =1(- 5<x≤ 5,且

5 ? ?x= t2, 4 2 4 0≤y≤1),? 表示抛物线 y =5x. ? ?y=t
2 x ? 2 + y =1?- 5<x≤ 5,且0≤y≤1?, ?5 联立方程,得? ?y2=4x, 5 ?

?

x2+4x-5=0?x=1 或 x=-5(舍去). 又因为

? 2 ? 0≤y≤1,所以它们的交点坐标为?1, ?

5

5? ? ?.
?

? 2 5? ? ? 答案:?1, 5 ? ? ?

考点3

极坐标与参数方程的相互转化

例 3 : (2013 年 新 课 标 Ⅰ ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
? ?x=4+5cost, ? ? ?y=5+5sint

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ.

(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

? ?x=4+5cost, 解:将? ? ?y=5+5sint

消去参数 t,化为普通方程(x-4)2

+(y-5)2=25, 即 C1:x +y
2 2

? ?x=ρcosθ, -8x-10y+16=0,将? ? ?y=ρsinθ

代入 x2+y2-8x-10y+16=0,得 ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0. ∴C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.

(2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0,
2 2 ? ?x +y -8x-10y+16=0, 由? 2 2 ? ?x +y -2y=0

? ?x=1, 解得? ? ?y=1

? ?x=0, 或? ? ?y=2.

∴C1 与

? C2 交点的极坐标为? ?

π? ? π? 2,4?,?2,2?. ? ? ?

【规律方法】极坐标方程与参数方程之间不能直接互化,
必须以普通方程为桥梁,即将极坐标方程转化为普通方程再转 化为参数方程,或将参数方程转化为普通方程再转化为极坐标 方程,要注意普通方程与参数方程的等价性.

【互动探究】

3.(2013 年广东)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极
点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,则曲线

x=1+cosθ, (θ为参数) y = sin θ C 的参数方程为__________________________.
解析:ρ=2cosθ的普通方程为(x-1)2+y2=1,其参数方程

x=1+cosθ, 为 y=sinθ.

4.(2014 年广东肇庆一模)已知曲线 l1 的极坐标系方程为 ρsin
? π? ?θ- ? 4? ?

2 = 2 (ρ>0,0≤θ≤2π) , 直 线 l2 的 参 数 方 程 为 (t 为参数).若以直角坐标系的 x 轴的非负半轴为

? ?x=1-2t, ? ? ?y=2t+2

极轴,则 l1 与 l2 的交点 A 的直角坐标是______.

? π? 解析:ρsin?θ-4?= ? ?

2 π π 2 2 ?ρsinθcos4-ρcosθsin4= 2 ? ?x+y=3.

? ?x=1-2t, y-x=1.? ? ?y=2t+2 ? ?x+y=3, 由? ? ?y-x=1

? ?x=1, ?? ? ?y=2

?A(1,2).

答案:(1,2)

●易错、易混、易漏● ⊙参数方程与普通方程互化时应注意参数的取值范围 例题:(1)(2012 年广东)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为
? ?x= ? C1 : ? ?y=

5cosθ, π (θ 是参数, 0≤θ≤ ) 2 5sinθ

? ?x=1- 2t, 2 ? ? 和 C2 : (t 是参数), 则它们的交点坐标为_____. 2 ? y=- 2 t ? ? 正解:C1:x2+y2=5(0≤x≤ 5),C2:y=x-1,

解得交点坐标为(2,1).
答案:(2,1)

(2)曲线

? ?x=sinθ, ? 2 ? ?y=sin θ

(θ为参数)与直线y=a有两个公共点,

则实数a的取值范围是________.

正解:如图

? ?x=sinθ, 1031,曲线? 2 ? y = sin θ ?

(θ 为参数)为抛物线 y

=x2(-1≤x≤1).若曲线与直线 y=a 有两个公共点,则借助图 形观察易得 0<a≤1.

答案:(0,1]

图 10-3-1

【失误与防范】在将曲线的参数方程化为普通方程时,不 仅仅是把其中的参数消去,还要注意 x,y 的取值范围,同时在 消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. 本题很容易忽略参数方程中 0≤sin2θ≤1 的限制而致错.


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