【创新设计】2014版高考数学一轮复习 第6讲 正弦定理和余弦定理课件 理 苏教版


第6讲
1.考查利用正、余弦定理解三角形的问题,常与边之间的和或 积、角的大小或三角函数值等综合考查. 2.考查正、余弦定理与平面向量、三角形的面积等结合问题.

正弦定理和余弦定理

【2014年高考会这样考】

正弦定理和余弦定理

抓住3个考点

在△ ABC中,已知a ,b和A时,解的情况
三角形中常用的面积公式,

助学微博 考点自测

考向一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 【训练1】

突破3个考向

考向二 判断三角形形状 考向三 与三角形面积有关的问题

【例2】 【训练2】

【例3】 【训练3】

揭秘3年高考 活页限时训练

解三角形与其他知识的交汇问题

A级

B级

、 、 ?1 选择题 ?1 选择题 ? 填空题 填空题 ? 2、 ? ? 2、 解答题 解答题 ?3、 ?3 、 ? ?

考点梳理
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, a b c = = =2R sin A sin B sin C 内容 b2=a2+c2-2accos B, (R 为△ABC 外接圆半径) c2=a2+b2-2abcos C b2+c2-a2 cos A= ; 2bc (1) a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c a2+c2-b2 常见变形 (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; cos B= ; 2R 2R 2R 2ac (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C a2+b2-c2 cos C= 2ab
续表 解决 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(1)已知三边,求三个角; 的问 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边 (2)已知两边和它们的夹角, 题 和其他两角 求第三边和其他两角

考点梳理
2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况
A 为锐角 A 为钝角 或直角

图形 关系 a<b sin A a=bsin A bsin A<a<b 式 解的 无解 一解 两解 个数

a≥b 一解

a>b 一解

a≤b 无解

3.三角形中常用的面积公式
1 1 1 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高). (2)S= bcsin A= absin C= acsin B. 2 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 2

助学微博
一个定律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值 也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,
A>B?a>b?sinA>sinB.

二种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:

(1)化边为角; (2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转化。

考点自测
1.(2012· 湖北改编)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C=( ). A.60° B.90° C.120° D.150° 2.(2012· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 7 7 7 24 8b=5c,C=2B,则 cos C=( ).A. B.- C.± D. 25 25 25 25 3.(2013· 三亚模拟)在△ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状是 ( ). A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 π 4.在△ABC 中,若 a=3,b= 3,∠A= ,则∠C 的大小为________. 3 5.(2013· 郑州调研)已知圆的半径为 4,a,b,c 为该圆的内接三角形的三边, 若 abc=16 2,则三角形的面积为________.

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1 C

2 A

3 B

4

π/2

5 2

考向一 利用正、余弦定理解三角形

【例 1】?(1)(2012· 北京)在△ABC 中,若 a=2,b+c (1)利用余弦定理; 1 (2)利用正弦定理和 =7,cos B=- ,则 b=________. 4 三角形内角和定理求 (2)(2012· 重庆)设△ABC 的内角 A, C 的对边分别为 解. B, 3 5 a, c, cos A= , B= , b, 且 cos b=3, c=________. 【方法锦囊 】 则 5 13 2 解(1) 根 据 余 弦 定 理 代 入 b = 4 + (7 - b)2 -
? 1? ? 2×2×(7-b)· 4?, ?- ? ? ?

【审题视点 】

解得 b=4.

4 12 (2) 由已知条件可得 sin A= ,sin B= , 5 13 而 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B
56 b c = , 根据正弦定理 = 得 65 sin B sin C 14 14 答案 (1)4 (2) c= . 5 5

(1)正弦定理是一个 连比等式,在运用此 定理时,只要知道其 比值或等量关系就 可以通过约分达到 解决问题的目的,在 解题时要学会灵活 运用. (2) 运 用 余 弦 定 理 时,要注意整体思想 的运用.

考向一 利用正、余弦定理解三角形
【训练 1】 (1)(2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 b 2 a,b,c,asin Asin B+bcos A= 2a,则a=( ). A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2, sin B+cos B= 2,则角 A 的大小为________.

解(1) ∵asin Asin B+bcos2A= 2a,

由正弦定理可得 sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A, b ∴sin B= 2sin A,即a= 2. ? π? (2) 由题可知,sin B+cos B= 2, 所以 2sin?B+4 ?= 2, ? ? a b 2 2 π 可得 = , 所以 B= , 根据正弦定理可知sin A=sin B, sin A π 4 sin 1 π π 4 所以 sin A= ,又 a<b,故 A= . 答案 (1)D (2) 2 6 6

【例 2】?(2013· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分 (1) 由 正 弦 定 理 进 行 角 化 再用余弦定理求 cos A; 别为内角 A, C 的对边, 2asin A=(2b-c)sin B 边, B, 且 +(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)由三角形内角和定理把角 (2)若 sin B+sin C= 3, 试判断△ABC 的形状. C 用角 B 表示,求角 B,从 解 (1) 由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 而确定三角形的形状.

考向二 判断三角形的形状

【审题视点 】

得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c, bc=b2+c2-a2, 即 【方法锦囊】 2 2 2 b +c -a 1 解决判断三角形的形状问题, . ∴cos A= = , ∴A=60° 2bc 2 -60° =120° 一般将条件化为只含角的三 . ∵A+B+C=180° ∴B+C=180° , (2) 角函数的关系式,然后利用三 由 sin B+sin C= 3,
得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° B-cos 120° B= 3. cos sin 3 3 即 )=1. ∴ sin B+ cos B= 3, sin(B+30° 2 2 <B+30° <150° . ∵0° <B<120° ∴30° , ∴B+30° =90° ,B=60° . ∴A=B=C=60° , △ABC 为正三角形.

角恒等变换得出内角之间的 关系式;或将条件化为只含有 边的关系式,然后利用常见的 化简变形得出三边的关系.另 外, 在变形过程中要注意 A, , B C 的范围对三角函数值的影 响.

【训练 2】 (1)(2012· 上海)在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C, 则△ABC 的形状是( ). A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 ?π ? ?π ? (2)在△ABC 中,acos?2-A?=bcos?2-B?,则△ABC 的形状为_____. ? ? ? ? (2) 解析 (1) ? ? ? ?

考向二 判断三角形的形状

由 sin A+sin B<sin C,

2

2

2



?π ? ?π acos? -A?=bcos? -B?, ? ?2 ? ?2 ?

得 a2+b2<c2, a2+b2-c2 所以 cos C= <0, 2ab 所以∠C 为钝角,

得 asin A=bsin B,

由正弦定理,得
a2=b2,∴a=b,
故△ABC 为等腰三角形.

即△ABC 为钝角三角形.

【审题视点 】 【例 3】?(2012· 课标全国)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个 (1)由正弦定理进 内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. 行边化角; (2)建立关于 b, 的 c (1)求 A;(2)若 a=2,△ ABC 的面积为 3,求 b,c. 由 解(1) acos C+ 3asin C-b-c=0,及正弦定理得 方程组,求 b,c. sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 【方法锦囊】
因为 B=π-A-C,
所以 3· A· C-cos A· C-sin C=0. sin sin sin ? π? 1 ? ? 注意角的 由于 sin C≠0,所以 sin?A-6?=2. ? ? π π 5π 范围,以 又 0<A<π, 所以-6<A-6< 6 , 便确定A π 故 A= . 是否唯一 3 1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsinA= 3, 故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A,
故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.
在解决三角形问题 中,面积公式 S= 1 1 absin C= bcsin A 2 2 1 = acsin B 最常用, 2 因为公式中既有边又 有角,容易和正弦定 理、余弦定理联系起 来.

考向三 与三角形面积有关的问题

cos A-2cos C 【训练 3】 在△ ABC 中, 内角 A, C 的对边分别为 a, c, B, b, 已知 cos B 2c-a sin C 1 = . (1)求 的值;(2)若 cos B= ,b=2,求△ ABC 的面积 S. b sin A 4 sin C (2) 由 解(1) =2. 得 c=2a. sin A a b c 由正弦定理,设 = = =k, 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B sin A sin B sin C 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 及 cos B=1,b=2, = 则 b = 4 sin B ksin B 1 得 4=a2+4a2-4a2× . 解得 a=1, 4 cos A-2cos C 2sin C-sin A 1 所以 = , cos B sin B 因为 cos B= ,且 0<B<π, 从而 c=2. 4 即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB, 1 15 因此 S= acsin B 所以 sin B= , 2 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 4 1 15 15 因为 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A. = ×1×2× = . 2 4 4 sin C 因此 =2. 1 1 sin A 本问由 cos B= .联想 S= acsin B, 进而寻 本问由果索因,为便于化 4 2 简,边化角是关键
找与其相关的量,上问结果的利用是关键

考向三 与三角形面积有关的问题

揭秘3年高考 热点突破11——解三角形与其他知识的交汇问题
【命题研究】通过近三年的高考试题分析,除 了考查利用正、余弦定理、面积公式求三角形的边、 角、面积之外,常常在解答题中考查解三角形与三 角函数、平面向量、数列、不等式等知识交汇,难 度中等.

揭秘3年高考

【教你审题 】

【真题探究】? (2012· 陕西)在△ABC 中, 由已知等式和余弦 一审: 角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c, 定理消去 c; 若 a2+b2=2c2, cos C 的最小值为( 则 ). 二审: a, 表示出 cos C; 用 b 3 2 1 1 三审: 由基本不等式求最小值. A. B. C. D.- 2 2 2 2
【解法】

1 2 又 c = (a +b2), 2 a2+b2 2ab 1 1 2 得 2abcos C= (a +b2), cos C= 即 2 4ab ≥4ab=2,所以选 C.

由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcos C,

2

[反思]

本题考查余弦定理和基本不等式,易错点有三:一是余弦定理 公式记错;二是不能消去参数c,无法得出关于a,b的代数式; 三是基本不等式用错.

揭秘3年高考
→ → 【试一试】 (2012· 湖南)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· =1, BC 则 BC=( ).A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23

解析

设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. .A→· →=1,即 accos B=-1. B BC

.在△ABC 中, 再根据余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,

及 AB=c=2,AC=b=3,
可得 a2=3,即 a= 3. 可得 a2=3,即 a= 3.
答案 A

A级

基础演练

题号
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一、选择题

1 A

2 B

3 C

4 B

3.(2012· 天津模拟)在△ 2.(2012· 湖南)在△ABC 中,AC= 7,BC 四川)如图, ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a, 正方形 ABCD 的对边分别是 a,b,c,若 4.(2012· 中,内角 A,B,C的边长为 1.在△ABC b,c,若角 A,B,C 依次成等差数列,且 a=1,b= 3,则 S△ ABC 1,延长 BA , E,使 AE=1,连结 EC、). 至 =2, 2= 3bc,sin C=2 3sin B,则 A=( B=60° 则 BC 边上的高等于( a2-b ). 3 ED,则 sin∠CED=( ). =( 3 ). B.60° C.120°C.D.150°D.2 A. B. 3 6 A.30° 3 32 3+ 2 3+ 39 3 5 D. A. 10 B. 10 C. 5 4 解析 2 . A. ∵A,B,C 成等差数列,∴A+C=2B,∴B=60° B. 2 C. 2 D. 10 10 2 10 15 解析 a=1,b= = 3bc,sin C=2 h. 2 B,得 a2= 3bc 解析 设 AB=c,BC 边上的高为 3sin 由 a2-b 3,∴ a = b , 又 解析 依题意得知,CD=1,CE= CB2 +EB2= 5,DE= 2 由余弦定理得 AC2=csin A sin B 2+ED2-CD2 2 c2- 3bc +BC2-2BC· b +c2-a ccos , 2 c CE A= 60° 3 10 3 1 1 +b 2, 2 2= 2,cos∠CED=2cos =2 asin B 得 EA +AD 3.由余弦定理, ,-2c-3=0, = = ,所以 b +4-4ccos 60° = c ∴sin 即 7=c A= b = 2 ×,即 2CE· 2bc ED 10 2bc 2 3 c 3 3 3 10 = ∴A=30° 1-cos2∠CED= =1A=30° 答案 A.答案 A - = 3- =.∴S ,所以 ,选 3= 3. 3=3B 3, ∴c=3(负值舍去).又 h=c· ×1×=3× 答案 C sin 60° B.,故选 sin∠CED= ,∴C=90° 2 △ ABC 2 2b 2 2 2 2 2 10

故选 B.

A级 基础演练
二、填空题

题号
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5 π或2π 6
3 3

2 - 4

6.(2012· 福建)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比 5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 数列,则其最大角的余弦值为________. 2 2 2
若(a +c -b )· B= 3ac,则角 B 的值为________. tan

解 析 依 题 意 得 , △2ABC 的 三 边 长 分 别 为 a, 2 a +c2-b2 解析 由余弦定理,得 a,2a(a>0) , 则 最 大 边 2a 所 =cos B,结合已知等式得 对的角的余弦值为: 2ac a2+? 2a?2-?2a?2 2 3 3 π2 2π cos B· B= ,∴sin B= 答案 - 或 . tan ,∴B= 2 =- 4 . 2 3 3 4 2a· 2a
答案 π 2π 或 3 3

A级 基础演练

三、解答题

7

8

7.(12 分)(2012· 浙江)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B.(1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.
解 (1) 由 bsin A= 3acos B,可得 sin Bsin A= 3sin Acos B, π 又 sin A≠0,可得 tan B= 3,所以 B= . 3

(2)由 sin C=2sin A,可得 c=2a,在△ ABC 中, 9=a2+c2-2accos B=a2+4a2-2a2=3a2,解得 a= 3, 所以 c=2a=2 3.

A级 基础演练

三、解答题

7

8

8.(13 分)(2012· 浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 2 c.已知 cos A= ,sin B= 5cos C. 3 (1)求 tan C 的值;(2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 2 5 2 解 (1)因为 0<A<π,cos A= ,得 sin A= 1-cos A= .又 3 3 5cos C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C 5 2 = cos C+ sin C. 所以 tan C= 5. 3 3 5 1 5 (2)由 tan C= 5,得 sin C= ,cos C= .于是 sin B= 5cos C= . 6 6 6 a c 由 a= 2及正弦定理 = ,得 c= 3.设△ABC 的面积为 S, sin A sin C 1 5 则 S= acsin B= . 2 2

B级 能力突破
一、选择题

题号
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1
C

2
A

1.在△ABC 中,A=60° ABC 的面积为 3 ,AC= 3 , ,且最大边长和最小边长是方程 2.(2013· 豫北六校联考)已知△ x2-7x+11=0 的两个根,则第三边的长为( 2 ). π ∠ABC= ,则△C.4 的周长等于( ). A.2 B.3 ABC D.5 3
3 3 解析 由 A=60° 3 ,不妨设△ABC 中最大边和最小边分 A.3+ 3 B.3 C.2+ 3 D. 2 2 2 2 2 2 别为 b,c,故 b+c=7,bc=11. 解析 由余弦定理得 b =a +c -2accos B,即 a +c -ac=3. 2 π 3 由余弦定理得 a1=b2+c2-2bccos 60° =(b+c)2-3bc= 又△ ABC 的面积为 acsin = ,即 ac=2, 2 3 2 72-3× 2 11=16,∴a=4.答案 C 2
所以 a +c +2ac=9,所以 a+c=3,即 a+c+b=3+ 3, 故选 A. 答案 A

B级 能力突破
二、填空题

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3
(1, 2]

4
①②③

4.(2012· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,则下列命题正确的是________(写出 所有正确命题的编号). π π π π ①若 ab>c2,则 C< ②若 a+b>2c,则 C< ③若 a3+b3=c3,则 C< ④若(a+b)c<2ab,则 C> ⑤若 3 3 2 2 π (a2+b2)c2<2a2b2,则 C> 3 a2+b2-c2 2ab-ab 1 2 2 解析 ①由 ab>c ,得-c >-ab,由余弦定理可知 cos C= > = ,因为 C∈(0,π),函数 2ab 2ab 2 ?a+b?2 2 2 ? 2 2 2 a +b -? a +b -c π ? 2 ? y=cos x 在(0,π)上是减函数,所以 C< ,即①正确.②由余弦定理可知 cos C= > 3 ? 2ab 2ab ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? π ? ? 4?a +b ?-?a+b? 3?a +b ?-2ab 4ab 1 = = ≥ ?= , ? C< , 所以 即②正确. ③若?C 是直角或钝角, a2+b2≤c2, 则 ? ?8ab ? 8ab 8ab 2 3 ?a b ? ? ? ? ?a? ?b?? ?a? ?b? ? ? ? ? ?a?2 ?b?2 x 即?c ? +?c ? ≤1,而c , c∈(0,1),而函数 y=a (0<a<1)在 R 上是减函数,所以?c ?3+?c ?3<?c ?2+?c ?2≤1 与 a3+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π 2ab 2ab b3=c3 矛盾,所以假设不成立,所以 C< ,即③正确.④因为(a+b)c<2ab,所以 c< ≤ = ab,即 2 a+b 2 ab 2 2 2a2b2 2 2 2 2 2 2 2 2a b ab>c ,转化为命题①,故④错误.⑤因为(a +b )c <2a b ,所以 c < 2 ≤ =ab,即 ab>c2,转化为 a +b2 2ab 命题①,故⑤错误.答案 ①②③

3.(2012· 金华模拟)在 Rt△ ABC 中,C=90° ,且 A,B, C 所对的边 a,b,c 满足 a+b=cx,则实数 x 的取值范 围是________. a+b sin A+sin B 解析 x= = =sin A+cos A c sin C π π 2 π = 2sin A+ .又 A∈ 0, ,∴ <sin A+ ≤1 4 2 2 4 即 x∈(1, 2].答案 (1, 2]

B级 能力突破

三、解答题

5

6

5.(12 分)(2012· 郑州三模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 为 a,b,c,点(a,b)在直线 x(sin A-sin B)+ysin B=csin C 上. (1)求角 C 的值; (2)若 a2+b2=6(a+b)-18,求△ ABC 的面积. 解 (1)由题意得 a(sin A-sin B)+bsin B=csin C, 由正弦定理,得 a(a-b)+b2=c2,即 a2+b2-c2=ab, a2+b2-c2 1 由余弦定理,得 cos C= = , 2ab 2 π 结合 0<C<π,得 C= . 3 (2)由 a2+b2=6(a+b)-18,得(a-3)2+(b-3)2=0, 1 2 π 9 3 从而得 a=b=3,所以△ABC 的面积 S= × × 3 sin = . 2 3 4

B级 能力突破

三、解答题

5

6

6.(13 分)(2012· 江西)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, ?π ? ?π ? π b,c.已知 A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. 4 ? ? ? ? π (1)求证:B-C= ; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 2
?π ? ?π ? (1) 证明 由 bsin?4+C?-csin?4+B?=a 应用正弦定理, ? ? ? ? ? 2 ? ?π ? ?π ? 2 ? 得 sin Bsin?4+C?-sin Csin?4+B?=sin A,sin B? sin C+ cos C? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? -sin C? sin B+ cos B?= ,整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1, 2 2 ? 2 ?

3 π 即 sin(B-C)=1.由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 4 2

B级 能力突破

三、解答题

5

6

6.(13 分)(2012· 江西)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, ?π ? ?π ? π b,c.已知 A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. 4 ? ? ? ? π (1)求证:B-C= ; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 2

3π 5π π (2)解 B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 4 8 8 π asin B 5π asin C π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= =2sin , 4 sin A 8 sin A 8 1 5π π 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2sin sin 2 8 8 π π 1 = 2cos sin = . 8 8 2

1.解析 由已知可得 a +b2-c2 =-ab,根据余弦定理得: a2+b2-c2 1 cos C= =- .故 C=120° . 2ab 2 答案 C 2. 解析 因为 8b=5c, 则由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由 sin C c 4 正弦定理得 cos B= = = , 2sin B 2b 5 所以 cos C=cos 2B=2cos2B-1 ?4? 7 =2×?5?2-1= ,故选择 A. ? ? 25 ? ? 答案 A 3.解析 由正、余弦定理得 a2+c2-b2 2· · a=c,整理得 a=b, 2ac 故△ABC 为等腰三角形.答案 B

考点自测详解 2

4. 解析 在△ABC 中, 由正弦定理, 3 3 得 = ,sin∠B π sin∠B sin 3 1 π = .∵a>b, ∴∠A>∠B, ∴∠B= , 2 6 π π π π ∴∠C=π- - = . 答案 3 6 2 2 a b c 5.解析 ∵ = = sin A sin B sin C c =2R=8,∴sin C= ,∴S△ABC 8 1 1 1 = absin C= abc= × 2= 2. 16 2 16 16 答案 2
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4.(2012· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c, 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). π π π 2 3 3 3 ①若 ab>c ,则 C< ②若 a+b>2c,则 C< ③若 a +b =c ,则 C< 3 3 2 π π 2 2 2 2 2 ④若(a+b)c<2ab,则 C> ⑤若(a +b )c <2a b ,则 C> 2 3 a2+b2-c2 解析 ①由 ab>c2 ,得-c2>-ab,由余弦定理可知 cos C= 2ab 2ab-ab 1 > = ,因为 C∈(0,π),函数 y=cos x 在(0,π)上是减函数,所以 2ab 2 ?a+b? 2 2 ?2 2 2 2 a +b -? a +b -c π ? 2 ? C< ,即①正确.②由余弦定理可知 cos C= > 3 2ab 2ab 4?a2+b2?-?a+b?2 3?a2+b2?-2ab 4ab 1 = = ≥ = , 8ab 8ab 8ab 2 π 所以 C< ,即②正确. 3

4.(2012· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c, 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). π π π ①若 ab>c2,则 C< ②若 a+b>2c,则 C< ③若 a3+b3=c3,则 C< 3 3 2 π π 2 2 2 2 2 ④若(a+b)c<2ab,则 C> ⑤若(a +b )c <2a b ,则 C> 2 3 ?a?2 ?b?2 a b 2 2 2 ? ? +? ? ≤1,而 , ∈(0,1), ③若 C 是直角或钝角,则 a +b ≤c ,即 c c c ? ? ?c ? ?a?3 ?b?3 ?a?2 ?b?2 x 而函数 y=a (0<a<1)在 R 上是减函数,所以?c ? +?c ? <?c ? +?c ? ≤1 与 a3 ? ? ? ? ? ? ? ? π +b3=c3 矛盾, 所以假设不成立, 所以 C< , 即③正确. ④因为(a+b)c<2ab, 2 2ab 2ab 所以 c< ≤ = ab,即 ab>c2,转化为命题①,故④错误.⑤因为 a+b 2 ab 2a2b2 2a2b2 (a2+b2)c2<2a2b2,所以 c2< 2 =ab,即 ab>c2,转化为命题①, 2≤ 2ab a +b 故⑤错误.答案 ①②③


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