浙江省宁波市2012-2013学年高一下学期期末数学试卷


宁波市 2012 学年第二学期期末考试 高一数学试卷
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分. 考试时间 120 分钟.本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上.

参考公式:
圆柱的表面积公式:
S ? 2?r 2 ? 2?rl (其中 r 表示圆柱的底面半径,l 表示圆柱的
母线长)
圆锥的表面积公式:
S ? ?r 2 ? ?rl (其中 r 表示圆锥的底面半径,l 表示圆锥的
母线长)
圆台的表面积公式:
S ? ? (r '2 ? r 2 ? r 'l ? rl) (其中 r ' , r 分别表示圆台的上、下底面半 径, l 表示圆台的母线长)

台体的体积公式:

V=

1 3

h(S1

?

S1S2 ? S2 )

(其中 S1,S2 分别

表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高)

柱体的体积公式:

V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积,h 表

示柱体的高)

锥体的体积公式:

1 V ? Sh

(其中 S 表示锥体的底面积,h

3

表示锥体的高)

球的表面积公式:

S=4πR2 (其中 R 表示球的半径)

球的体积公式:

V ? 4 ? R3 (其中 R 表示球的半径) 3

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1.等比数列?an ?中,已知 a4 ? 5 ,则 a3a5 =

(A) 10

(B) 25

(C) 50

(D) 75

2.在 ?ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 a ? 6,b ? 4,C ? 120? ,则 ?ABC 的

面积是

(A)12

(B) 6

(C) 12 3

(D) 6 3

3.一个球的外切正方体的全面积为 6 cm2 ,则此球的体积为

(A) 4 ? cm3 3

(B) 6 ? cm3 8

(C) 1 ? cm3 6

(D) 6 ? cm3 6

4.已知 {an } 为等比数列,则下列结论中正确的是

(A) a12 ? a32 ? 2a22

(B) a1 ? a3 ? 2a2

(C)若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2

(D)若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2

5.在 ?ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 cos B ? cos A ,则 ?ABC 的形状

b

a

一定是

(A)等腰三角形

(B)直角三角形

(C)等边三角形

(D)等腰直角三角形

6.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰 Rt?A?B?O? , 若 O?B? ? 1 ,那么原 ?ABO 的面积是

y? A?

(A) 2 2

(B) 2

2
(C)
2

1
(D)
2

7.若 a,b, c ? R,且 b ? a ? 0 ,则下列四个不等式:

O? B? x?
(第 6 题图)

(1)a ? b ? ab;(2) a ? b;(3)a ? c ? b ? c;(4) c2 ? c2 .其中正确的是 ab

(A) (1) (2)

(B) (2) (3)

(C) (1) (3)

(D) (3) (4)

8.下列命题正确的是

(A) 若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行

(B) 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

(C) 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

(D) 若一条直线和两个相交平面都平行,则此直线与这两个平面的交线平行

? ? 9.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S6 ? S7 ? S5 ,则满足 Sn ? Sn?1 ? 0 的正整数 n
的值为

(A)10

(B)11

(C)12

(D)13 S

10.如图,在正四棱锥 S ? ABCD 中, E, M , N 分别是

BC, CD, SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上运动时,

下列四个结论:(1) EP ? AC ; (2) EP / / BD ;

(3) EP // 面SBD ;(4) EP ? 面SAC . B
中恒成立的个数为

(A) 1 个

(B) 2 个

(C) 3 个

N

A

D

.
E

M C

(第 10 题图)

(D) 4 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
11.设数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n (n ? N? ) ,则 a2 ? ▲ . 12.在等差数列?an? 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13 ,则 a4 ? a5 ? a6 = ▲ .

13.在 ?ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 A ? 45?, B ? 60?, a ? 2 , 则b= ▲ .
14.已知正数 x, y 满足: x ? 2 y ? 20 ,则 xy 的最大值为 ▲ .

15.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长
为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,
侧视图为直角三角形,则该几何体的表面积是 ▲.

正视图

侧视图

俯视图 (第 15 题图)

16.已知正方形 ABCD 的边长为1,沿对角线 AC 把 ?ACD 折起,,当以 A, B,C, D 四点为

顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 ▲ .

? ? 17.已知各项均为正数的数列

an

满足: a1

?

a3 , a2

? 1, an?2

1 ?
1? an



则 a9 ? a10 = ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? x2 ? ax ? a ? 1 ?a ? R?.
(Ⅰ)当 a ? 5 时,解不等式: f (x) ? 0 ; (Ⅱ)若不等式 f (x) ? 0 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分)如图,在棱长为1的

D1

正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 O 是 BD

中点.

A1

(Ⅰ) 求证:平面 BDD1B1 ? 平面 C1OC ;

C1 B1

(Ⅱ) 求二面角 C1 ? BD ? C 的正切值.

D

C

O

A

B

(第 19 题图)

20.(本小题满分 14 分)

在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,满足 a 2 ? b2 ? ab ? c 2 .

(Ⅰ) 求角 C 的度数; (Ⅱ) 若 a ? b ? 10 ,求 ?ABC 周长的最小值.

P
21.(本小题满分 15 分)

四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,

其中底面 ABCD 为梯形, AD / /BC , AB ? BC , M

且 AP ? AB ? AD ? 2BC ? 6 , M 在棱 PA 上,

满足 AM ? 2MP .

(Ⅰ)求三棱锥 M ? BCD 的体积;

(Ⅱ)求异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值;

A

(Ⅲ)证明: PC / / 面 MBD .

D

B
22.(本小题满分 15 分)
已知数列?an? 满足 a1 ? 1,an?1 ? 2an ?1 (n ? N? ) .

C
(第 21 题图)

(Ⅰ)求证:数列?an ? 1?为等比数列,并求数列?an? 的通项公式;

(Ⅱ)若数列{cn }的通项公式为 cn ? 2n ,求数列{an ? cn } 的前 n 项和 Sn ;

? ? (Ⅲ)若数列 bn 满足 4b1 4 ?1 b2 ?1 …4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N? ) ,且 b2 ? 4 .

证明: 数列?bn? 是等差数列,并求出其通项公式. 宁波市 2012 学年第二学期期末考试

一.选择题

高一数学参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

D

C

A

A

B

C

D

C

B

二.填空题

11. 2

12. 42

13. 6

14. 50

15. 3 ? ? 3 2

16. ? 4

17. 1 ? 4 5 8

三.解答题 18.(本小题 14 分)

解:(Ⅰ)当 a ? 5 时 f (x) ? x2 ? 5x ? 6 ? 0

得 ? 3 ? x ? ?2 ,所以不等式的解集为 ?? 3,?2? .-------- 7 分

(Ⅱ) f (x) ? x2 ? ax ? a ? 1 ? 0 的解集为 R

∴ ? ? a 2 ? 4(a ? 1) ? 0 ------------------- 10 分

∴ ? 2 2 ? 2 ? x ? 2 2 ? 2 .------------------- 14 分
19、(本小题 14 分)
解:(Ⅰ) ∵在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 点 O 是 BD 中点 , 又 BC1 ? DC1 , BC ? DC , ∴ C1O ? BD,CO ? BD ------------------- 2 分 C1O CO ? O,C1O ? 平面C1OC,CO ? 平面C1OC,
? BD ? 平面C1OC ------------------ 5 分
∵ BD ? 平面 BDD1B1 , ∴平面 BDD1B1 ? 平面 C1OC .-------------- 7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ?C1OC 是二面角 C1 ? BD ? C 的平面角 ---------------11 分

则 C1 C ? 1,OC ?

2 2

∴在 Rt?C1OC

中, tan ?C1OC

?

C1C OC

?

2

故二面角 C1 ? BD ? C 的正切值为 2 . ---------------14 分

20、(本小题 14 分)

解:(Ⅰ)∵ a 2 ? b2 ? ab ? c 2

由余弦定理得 cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 ? ? 1 -------------- 5 分

2ab

2

∵ 0 ? C ? 180 ∴C=120° -------------- 7 分

(Ⅱ)∵ c2 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? ab ? 100 ? ab ------------- 9 分

? 100 ? ( a ? b)2 ? 75 ------------- 11 分 2

∴ c ? 5 3 当 a ? b ? 5 时取等号 ------------- 13 分

则 ?ABC 周长的最小值为 a ? b ? c ? 10 ? 5 3

----------- 14 分

21、(本小题 15 分)

解:(Ⅰ)由题意VM ?BCD

?

1 3

S

?BCD

? MA

? 12

---------- 5 分

(Ⅱ)取 AD 中点 N ,连 CN , PN ,易知 AB / /CN ,

P

∴ ?PCN 或其补角就是 PC 与 AB 所成角

------7 分

M

在 ?PCN 中,∵ PA ? 底面 ABCD ,

BC ? 底面 ABCD

∴ PA ? BC PC ? 9 , 又∵ CN ? AB ? 6, PN ? 3 5 ∴ cos ?PCN ? 2 ,
3

A

ND

Q

B

C

∴异面直线 PC 与 AB 所成角余弦值为 2 ---------- 10 分 3

(Ⅲ)连 AC 交 BD 于 Q ,连 MQ

∵ AD / /BC ,∴ AQ ? AD ? 2 , QC BC

又∵ AM ? 2 则 AQ ? AM ∴ MQ / / PC ---------- 13 分

MP

QC MP

又∵ PC ? 面MBD, MQ ? 面MBD ,∴ PC / / 面 MBD . ---------- 15 分
22、(本小题 15 分)

解:(Ⅰ) an?1 ? 2an ?1?n ? N *? . an?1+1=2 ?an ?1? ,----------3 分

?an ?1? 是以 a1 ?1 ? 2 为首项, 2 为公比的等比数列.∴an ?1 ? 2n .

即 an ? 2n ?1?n ? N *? .

--------------4 分

? ? (II)? an ? 2n ? 1, cn ? 2n ,∴ ancn ? 2n 2n ? 1

∴ Sn ? a1c1 ? a2c2 ? a3c3 ? ? ? ancn
?? ? ? ? 2 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ? ? n ? 2n ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n? -----6 分

设 A ? 1? 2 ? 2? 22 ? 3? 23 ??? n ? 2n



则2A ?

1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ?n ?1?? 2n ? n ? 2n?1 ②

①-②得

? A ? 1? 2 ? 1? 22 ? 1? 23 ? ? ? 1? 2n ? n ? 2n?1
? ? ? 2 1 ? 2n ? n ? 2n?1 1? 2
? ?1 ? n?? 2n?1 ? 2

∴ A ? ?n ?1?? 2n?1 ? 2

∴ Sn ? ?n ?1?? 2n?2 ? 4 ? n?n ? 1?

-------------- 9 分

(Ⅲ)? 4b1 4 ?1 b2 ?1?4bn ?1 ? (an ? 1)bn ,

∴4(b1+b2 +

? 2 +bn )-n

nbn ,

∴?[(b1 ? b2 ? ? bn ) ? n] ? nbn ,



2[(b1 ? b2 ? ? bn ? bn?1) ? (n ?1)] ? (n ?1)bn?1 .



②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ?1)bn?1 ? nbn ,--------------11 分

即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 ,



nbn?2 ? (n ?1)bn?1 ? 2 ? 0 .



④-③,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0 ,

即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 , ∴bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? ?* ) ,

∴?bn? 是等差数列.

--------------13 分

∵ b1 ? 2 , b2 ? 4 , ∴ bn ? 2n . --------------15 分
(注:没有证明数列?bn? 是等差数列,直接写出 bn ? 2n ,给 2 分)


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