2016年高考数学(文)总复习:专题5第2讲《圆锥曲线定点、定值、最值、范围问题》_图文


? 第2讲 圆锥曲线中的定点、定 值、最值、范围问题 ?高考定位 圆锥曲线的综合问题包括:探索性 问题、定点与定值问题、范围与最值问题等, 一般试题难度较大.这类问题以直线和圆锥曲 线的位置关系为载体,以参数处理为核心,需 要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等 诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学 思想方法进行求解,对考生的代数恒等变形能 力、计算能力等有较高的要求. 热点一 定点、定值问题 定点的探究与证明 [ 微题型 1] x2 y2 【例 1-1】 (2014· 益阳模拟改编)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b 2 >0)的短轴长为 2,离心率为 2 ,过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 B 点关于 x 轴的对称点是 N, 证明: 直线 AN 恒过一定点. (1)解 a2=2. 2 c 由题意知 b=1,e=a= 2 ,得 a2=2c2=2a2-2b2,故 x2 2 故所求椭圆 C 的方程为: 2 +y =1. (2)证明 设直线 l 的方程为 y=k(x-2), k?x-2?, ? ?y= 则由?x2 2 得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0. +y =1, ? 2 ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8k2-2 8k2 则 x1+x2= x· x= 1+2k2, 1 2 1+2k2. 由对称性可知 N(x2,-y2),定点在 x 轴上, y1 +y2 直线 AN:y-y1= (x-x1). x1 -x2 y1?x1-x2? x1y2+x2y1 令 y=0 得:x=x1- = y1+y2 y1 +y2 2kx1x2-2k?x1+x2? 2x1x2-2?x1+x2? = = k?x1+x2-4? x1+x2-4 16k2-4 16k2 - 1+2k2 1+2k2 = =1, 8k2 -4 1+2k2 故直线 AN 恒过定点(1,0). 探究提高 (1)动直线 l 过定点问题,解法:设动直线方程(斜率 存在)为 y=kx+t,由题设条件将 t 用 k 表示为 t=mk,得 y= k(x+m),故动直线过定点(-m,0).(2)动曲线 C 过定点问题, 解法: 引入参变量建立曲线 C 的方程, 再根据其对参变量恒成 立,令其系数等于零,得出定点. [ 微题型 2] 定值的探究与证明 【例 1-2】 (2014· 江西卷)如图,已知抛物线 C:x2=4y,过点 M(0,2)任作一直线与 C 相交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的平 行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点). (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴),与直线 y=2 相交于点 N1,与(1)中的定直线相交于点 N2,证明:|MN2|2-|MN1|2 为定 值,并求此定值. 证明 (1)依题意可设 AB 方程为 y=kx+2,代入 x2=4y,得 x2 =4(kx+2),即 x2-4kx-8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2=-8, y1 直线 AO 的方程为 y=x x;BD 的方程为 x=x2. 1 ? ?x=x2, 解得交点 D 的坐标为? y1x2 y= x . ? ? 1 注意到 x1x2=-8 及 x2 1=4y1,则有 y1x1x2 -8y1 y= x2 = 4y =-2, 1 1 因此 D 点在定直线 y=-2(x≠0)上. (2)依题设,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y=ax+b(a≠0),代入 x2=4y 得 x2=4(ax+b), 即 x2-4ax-4b=0, 由 Δ=0 得(4a)2+16b=0,化简整理得 b=-a2. 故切线 l 的方程可写为 y=ax-a2. 分别令 y=2,y=-2 得 N1,N2 的坐标为 ?2 ? ? 2 ? N1?a+a,2?,N2?-a+a,-2?, ? ? ? ? ?2 ? ?2 ? 2 2 则|MN2| -|MN1| =?a-a? +4 -?a+a?2=8, ? ? ? ? 2 2 即|MN2|2-|MN1|2 为定值 8. 规律方法 (1)先由特例得出一个值(此值一般就是定值),再证 明定值:将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.(2) 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示, 再利用其满足的约 束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定 值. 3 x 2 y2 【训练 1】 (2014· 南昌模拟)已知点 P(1, -2)在椭圆 C: a2+b2= 1(a>b>0)上,过椭圆 C 的右焦点 F2(1,0)的直线 l 与椭圆 C 交 于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; |AB|2 (2)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,且 MN∥AB,W=|MN|, 试判断 W 是否为定值?若 W 为定值,请求出这个定值;若 W 不是定值,请说明理由. 解 (1)椭圆 C 的右焦点为(1,0), ∴c=1, 椭圆 C 的左焦点为(- 1,0), 可得 2a= 解得 a=2, ∴b2=a2-c2=4-1=3, x2 y 2 ∴椭圆 C 的标准方程为 4 + 3 =1. 32 ?1+1? +?-2? + 2 32 5 3 ?1-1? +?-2? =2+2=4, 2 (2)①当直线 l 斜率不存在时, 2 2 b |AB|2=(2b)2=4b2,|MN|= a , |AB|2 4b2 所以 W=|MN|=2b2=2a=4. a ②当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0), 且 M(x1,y1),N(x2,y2). x2 y2 ? ? + =1, 由? 4 3 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, ? ?y=k?x-1?,

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