安徽省马鞍山市2014届高三第二次教学质量检测 数学理试题 Word版含答案


马鞍山市 2014 届第二次教学质量检测 高三理科数学试题 第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑.
2 ? (1)设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 ? z 2 等于(▲ ) z A. ?1? i B. ?1? i C. 1 ? i

D. 1 ? i

命题意图:考查共轭复数及复数的运算,容易题。 答案:D
3 1 4 正视图 侧视图

(2)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(▲ ) A. 64 ?
16? 3

B. 64 ? D. 64 ?

32? 3 64? 3

C. 64 ?16?

命题意图:考查三视图及体积的运算,考查空间想象能力。容易题。 答案:A
1 16? 解析: V ? 43 ? ? ? 22 ? (1 ? 3) ? 64 ? 3 3

第(2)题图
俯视图

1 (3) (ax ? )(2 x ? 1)5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x

(▲ )

A.-20 答案:C

B.-10

C.10

D.20

命题意图:考查二项式定理的应用,容易题。

(4)某程序框图如图所示,若输出的 S ? 57 ,则判断框内的条件为(▲ )
否 开始

S ? 1,k ? 1

k ? k ?1

S ? 2S ? k



输出 S

结束

第(4)题图

A. k ? 4?

B. k ? 5 ?

C. k ? 6?

D. k ? 7 ?

命题意图:考查程序框图,容易题。 答案:A

(5)设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若

a5 5 S ? ,则 9 等于(▲) S5 a3 9

A.1

B.-1

C.2

D.

1 2

命题意图:考查等差数列性质及运算,容易题。 答案: A
5? ) 的最大值为(▲) 12 1 1 A. B. 2 4 命题意图:考查三角函数性质与运算,容易题。

(6)函数 y ? sin( x ?

?

12

)sin( x ?

C. 1

D.

2 2

答案: A (7)以下判断正确的是( ) A.函数 y ? f ( x) 为 R 上的可导函数,则“ f ?( x0 ) ? 0 ”是“ x 0 为函数 f ( x) 极值点”的充要条件 B.“ a ? 1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 1 ? 0 平行”的充要条件 C.命题“在 ?ABC 中,若 A ? B, 则sin A ? sin B ”的逆命题为假命题 D.命题“ 存在x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ 任意x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ” 命题意图:考查简易逻辑基本概念,容易题。 答案:B

(8)我国古代“五行”学说认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土 克水,水克火,火克金.”将这五种不同属性的物质任意排成一列,设事件 A 表示“排列 中属性相克的两种物质均不相邻”,则事件 A 发生的概率为(▲ ) A.
1 6

B.

1 12

C.

5 12

D.

1 24

命题意图:考查排列组合、概率,中档题。 答案: B (9)已知 f ( x) ? a( x ?1)( x ? 3)( a ? 0) ,定义域为 D ,任意 m, n ? D ,点 P(m, f (n)) 组成的图形 为正方形,则实数 a 的值为(▲ ) A. ?1 B. ?2 C. ?3 D. ?4 命题意图:考查函数定义域,值域及最值,考查理解能力,较难题。 答案:D (10)定义域为 R 的函数 f ( x) ,满足 f (0) ? 1 , f ?( x) ? f ( x) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? 1 ? 2e x 的解集 为(▲ ) A. {x ? R x ? 1} 答案:D

B. {x ? R 0 ? x ? 1}

C. {x ? R x ? 0}

D. {x ? R x ? 0}

命题意图:考查运用导数解决问题的能力,较难题。

f ( x) ? 1 f ?( x) ? f ( x) ?1 ? g ?( x) ? x e ex 由已知 f ?( x) ? f ( x) ? 1 ? g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 R 上为减函数,而 g (0) ? 2

解答:构造函数 g ( x) ?

不等式 f ( x) ? 1 ? 2e x 化为 g ( x) ? g (0) ? x ? 0 ,故选 D

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. (11)在极坐标系中,曲线 ? ? 4sin ? 和 ? cos ? ? 1 相交于点 A 、 B ,则 AB ? 命题意图:考查极坐标的基础知识,容易题。 答案: 2 3 (12)若双曲线
y 2 x2 ? ? 1 与抛物线 x2 ? 12 y 有相同焦点,则实数 k 的值为 5 k

▲ .

▲ .

命题意图:考查圆锥曲线基本量计算,容易题。 答案: ?4 (13)若三角形的三个内角的弧度数分别为 ? , ? , ? ,则 命题意图:考查基本不等式,容易题。 答案:
9 π

4

?

?

1

? ??

的最小值为 ▲ .

? ? ? ? ? ? ? (14) 已知 a ? 1 , b ? 2 ,且 a , b 不共线,则向量 a ? b 与 b 的夹角 ? 的取值范围为 ▲ .

命题意图:考查平面向量概念及运算,数形结合思想等,中档题。 答案: [
5? ,? ) 6
O B? O C ? 1 , . 给出下列
A

(15)如图,四面体 OABC 中, OA, OB, OC 两两垂直,且 OA ? 3

命题: ①存在点 D (点 O 除外) ,使得四面体 DABC 仅有 3 个面是直角三角形; ②存在点 D ,使得四面体 DOBC 的 4 个面都是直角三角形; ③存在唯一的点 D ,使得四面体 DABC 是正棱锥(底面是正多边形,且顶点 在底面的射影是底面正多边形的中心,这样的棱锥叫做正棱锥) ; ④存在唯一的点 D ,使得四面体 DABC 与四面体 OABC 的体积相等; ⑤存在无数个点 D ,使得 AD 与 BC 垂直且相等 . ..... 其中正确命题的序号是 ▲ . (把你认为正确命题的序号都填上)

D

O B

C

第(15)题图

命题意图:综合考查空间几何体的概念、线面关系,等价转化的思想,较难题. 答案:①②⑤

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. (16) (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知平面向量 ?? ? ?? ? m ? (sin C,cos C ) , n ? (cos B,sin B) ,且 m ? n ? sin 2 A . (Ⅰ)求 sin A 的值; (2)若 a ? 1, cos B ? cos C ? 1 ,求边 c 的值. 命题意图:综合考查平面向量数量积,三角恒等变形等知识,容易题。 解析: (1)由题意, sin 2 A ? sin C cos B ? cos C sin B , 得 2sin A cos A ? sin( B ? C ) ? sin A 由于 ?ABC 中, sin A ? 0 ,∴ 2cos A ? 1 , cos A ? (Ⅱ)由 cos B ? cos C ?1 得 ? cos( A ? C ) ? cos C ? 1 ,
3 1 sin C ? cos C ? 1 . 2 2 ? 2? ? ? 5? 得 sin(C ? ) ? 1 ,∵ 0 ? C ? , , ?C? ? 6 3 6 6 6 ? ∴ C ? ,所以 ?ABC 为正三角形, c ? 1 …………………………………………………………12 3 分
1 3 ? , A ? ,∴ sin A ? .…………6 分 2 3 2

即 sin A sin C ? cos A cos C ? cos C ? 1 ,∴

(17) (本小题满分 12 分)空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空气质量 状况的指数,其数值越大说明空气污染状况越严重,对人体健康的危害也就越大。根据国家 标准,指数在 0-50 之间时,空气质量为优;在 51-100 之间时,空气质量为良;在 101-150 之 间时,空气质量为轻度污染;在 151-200 之间时,空气质量为中度污染;在大于 200 时,空气 质量为重度污染。环保部门对某市 5 月 1 日至 5 月 15 日空气质量指数预报如下表: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 日 期 1 空气质 75 56 26 156 230 163 88 210 206 201 78 98 105 97 93 量指数 某人选择 5 月 1 日至 5 月 13 日某一天到达该市,并停留三天. (Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求随机变量 X 的分布列及数学期望; (Ⅲ)根据上表判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大(不要求计算,只写出结 果). 命题意图: 考查概率统计的基本运算及随机变量分布列,中档题。 解析: (Ⅰ)记事件 A 为此人到达当日空气重度污染,则由表中数据可得 P( A) ? (Ⅱ)此人在该市停留期间空气质量优良天数统计如下表: 到达日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 …………2 分 13

10 2

11 2

12 2

13 2

空气质量 优良天数

3

2

1

0

1

1

1

0

1

所以随机变量 X 的概率分布如下: X P 0
2 13

1
5 13

2
5 13

3
1 13

2 5 5 1 18 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ……………………………………………………10 分 13 13 13 13 13 (Ⅲ)从 5 月 3 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. ………………………………12 分

所以 EX ? 0 ?

(18) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,平 面 PBD ? 平面 ABCD , AD ? 2 , PD ? 2 5 , AB ? PB ? 4 ,
?BAD ? 60? .

(Ⅰ)求证: AD ? PB ; (Ⅱ) 记 E 是侧棱 PC 上一点, 求实数 ? 的值.
PE 当 PB ? 平面 ADE 时, ??, PC

命题意图:综合考查立体几何有关知识,考查运算能力.中档题。 解析: (Ⅰ)在 ?ABD 中,∵ AD ? 2 , AB ? 4 ,?BAD ? 60? ,∴由余弦定理求得 BD ? 2 3 . ∴ AD 2 ? BD 2 ? AB 2 ,∴ AD ? BD .∵平面 PBD ? 平面 ABCD ,交线为 BD , ∴ AD ? 平面 PBD ,∴ AD ? PB .……………………………………………………6 分 (Ⅱ)作 EF ∥BC ,交 PB 于点 F ,连接 AF ,由 EF∥BC∥AD 可知 A, D , E , F 四点共面, 连接 DF , 所以由 (Ⅰ) 的结论可知, PB ? 平面 ADE 当且仅当 PB ? DF . 在 ?PBD 中,由 PB ? 4 , BD ? 2 3 , PD ? 2 5 ,及余弦定理求 得 cos ?BPD ?
3 2 5
P

,∴在 RT ?PDF 中, PF ? PDcos ?BPD ? 3 ,
E D F B C

PE PF 3 因此 ? ? ? ? .…………………………………………12 分 PC PB 4

1 (19) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? m( x ? ) ? 2ln x(m ? R) . x

A

(Ⅰ)若 m ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性. 命题意图: 综合考查导数的应用,分类讨论思想,中档题。
1 解析:(Ⅰ)当 m ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? ? 2ln x , x 2 x ? 2x ? 1 函数的定义域为 (0, ??) ,且 f ?( x) ? ………………………………………………………2 x2 分 ? f (1) ? 0 , f ?(1) ? 4 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 4 x ? y ? 4 ? 0 ………………………………………4 分

mx2 ? 2x ? m x2 (1)当 m ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 时恒成立, …………………………………………………6

(Ⅱ) 函数的定义域为 (0, ??) ,且 f ?( x) ?

分 ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增. (2) 当 m ? 0 时, ①当 m ? ?1 时, f ?( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 时恒成立 ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递 减…………………………………………………………………………8 分 ②当 ?1 ? m ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 且
0 ? x1 ? x2

?1 ? 1 ? m 2 ?1 ? 1 ? m 2 , x2 ? m m

………………………………9
x1
?


x f ?( x)
f ( x) (0, x1 ) ( x1 , x2 ) x2 ( x2 , ??)
?

0



? 增

0



所以 f ( x) 在 (0,
f ( x) 在 (

?1 ? 1 ? m 2 ?1 ? 1 ? m 2 )和( , ??) 上单调递减, m m

?1 ? 1 ? m 2 ?1 ? 1 ? m 2 , ) 上单调递 m m

增……………………………………………………12 分 (20) (本小题满分 13 分)已知实数 x, y 满足 (Ⅰ) 若直线 x ? y ? c ? 0 与曲线 E :
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) . a b

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 相交于 A, B 两点, O 是坐标原点,且 a b

??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 OP ? (OA+OB) ,若直线 OP 的斜率为 ,求曲线 E 的离心率; 2 2

(Ⅱ) 当 b ? ?4 时,求 y 2 ? 2 x 的最小值. 命题意图:考查二次曲线的离心率,二次函数的最值,分类讨论思想,中档题。 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 解析:(Ⅰ) 由 OP ? (OA ? OB) 知 P 为 AB 的中 2

点,……………………………………………………2 分 设 P( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 代入曲线方程: bx12 ? ay12 ? ab, bx22 ? ay22 ? ab,
? b( x12 ? x2 2 ) ? ?a( y12 ? y2 2 ) ?
bx0 y1 ? y2 b( x1 ? x2 ) ? ? ? ?1 , x1 ? x2 ? a ( y1 ? y2 ) ? ay0

y 1 1 b 1 因为 OP 的斜率为 ,从而 0 ? ? ? ? a ? 2b ,……………………………………………………5 分 x0 2 2 a 2
? a ? 0 ? b ? 0 ,故曲线 E 为焦点在 x 轴上的椭圆, e ? 1 ?

b 2 ? ……………………………………7 分 a 2

(Ⅱ) 记 P ? y 2 ? 2 x ? 4(

x2 4 ? 1) ? 2 x ? x2 ? 2 x ? 4 a a

4 a a ? ( x ? )2 ? 4 ? ( x ? ? a 或 x ? a ) ……………………………………………………………………9 分 a 4 4
a ? 0 ? a ? 16,此时 Pmin ? ?2 a ………………………………………………………11 分 4 a (2)若 ? a ? ? ? a ? 16 ,此时 4 a Pmin ? ?4 ? …………………………………………………………13 分 4 1 (21) (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) 的定义域为 (0,1) ,且 f ( ) ? 1 ,对 ?x, y ? (0,1) ,都有 3

(1)若 ? a ? ?

2 an x? y 1 f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) ,数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ? 2 1 ? xy 1 ? an 3

1 (Ⅰ)证明: ?n ? N * , ? an ? 1 ; 3

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? f (an ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)设 An ?
n

1 n ? ai ,证明:当 n ? 2 时, n i ?1

?a ? ? A
k ?1 k k ?1

n

n

k

?

2(n ? 1) . 3

(其中符号 ? ai ? a1 ? a2 ? ? ? an )
i ?1

命题意图:综合考查不等式、数列的有关知识,较难题。 解析: (Ⅰ)证明:依题意 an ? 0 且 an ? 1 , 当 n ? 2 时, an ?
2an ?1 2a ? n ?1 ? 1 ,…………………………………………………………………2 分 2 1 ? an ?1 2an ?1

1 而 a1 ? ? (0,1) , ∴ 0 ? an ? 1 3

又 an ?1 ? an ?

2 2an a (1 ? an ) ? an ? n ?0 2 2 1 ? an 1 ? an

1 1 ∴ an ?1 ? an ,即数列 ?an ? 为递增数列,又 a1 ? ,∴ ? an ? 1 ………………………………………4 分 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)有 an ? (0,1) ,所以

2an a ? an bn ?1 ? f (an ?1 ) ? f ( )? f( n ) ? f (an ) ? f (an ) ? 2 f (an ) ? 2bn , 2 1 ? an 1 ? an ? a n

又 b1 ? f (a1 ) ? 1 ? 0 ? bn ? 0 ?

bn ?1 ?2 bn

∴数列 ?bn ? 是等比数列,且 b1 ? 1, 公比为 2, ∴ bn ? 2n ?1 ………………………………………8 分
1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 ? an ? 1 ,数列 ?an ? 为递增数列 3 2 ∴ 0 ? an ? am ? (n, m ? N * , 且n ? m) 3

当 k ? 2 且 k ? N * 时,
ak ? Ak ? ak ? a1 ? a2 ? ? ? ak (ak ? a1 ) ? (ak ? a2 ) ? ? ? (ak ? ak ?1 ) 2(k ?1) 2 ? ? ? k k 3k 3 2 3
n

? 0 ? ak ? Ak ?

? a1 ? A1 ? 0
n

? 当 n ? 2 时, 0 ? ? ai ? ? Ai ?
i ?1 i ?1

2(n ?1) 3

? 当 n ? 2 时,

?a ? ? A
i ?1 i i ?1

n

n

i

?

2(n ? 1) ……………………………………………………14 分 3


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