2011年高考文科数学试题分类汇编_数列


十、数列
(一)选择题
(辽宁文) (5)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 B (A)2 (B)4 (C)8 (D)16

(重庆文)1.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ? 4, 则a10 =D A.12 B.14 C.16 D.18

(全国大纲文) 设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a1 ? 1 , 6. 若 公差为 d ? 2, Sk ? 2 ? Sk ? 24 , 则 k=D A.8 B.7 C.6 D.5 (湖北文)9. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等 差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 B A.1 升 B.

67 升 66

C.

47 升 44

D.

37 升 33

(四川文)9.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1 =3Sn(n ≥1) ,则 a6= (A)3 × 44 答案:A 解析:由 an+1 =3Sn, an =3Sn-1(n ≥ 2) 得 ,相减得 an+1-an =3(Sn-Sn-1)= 3an, an+1=4an 则 (n ≥ 2) 1=1,a2=3,则 a6= a2·4=3× 4,选 A. ,a 4 4 (安徽文) (7)若数列 an ? 的通项公式是 a n ? (1) n (3n ? 2), 则a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? A (A)15 (B)12 (C) ??? (D) ??? (7)A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一:分别求出前 10 项相加即可得出结论; 法二: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 3 ,故 a? ? a? ? L a?? ? ??? ? ?? .故选 A. (陕西文)10.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树 相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从 1 到 20 依次编号,为使 各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小, 树苗可以放置的两个最佳坑位的编 .... 号为( ) (B)⑨和⑩ (C) ⑨和 (D) ⑩和 (B)3 × 44+1 (C)44 (D)44+1

?

(A)①和

【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和;或根据路程和的变化规律直接得出结论.

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【解】选 D (方法一) 选项 A ①和 具体分析 : 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 19) ? 2 ? 3800 结论

⑨: 10 ? [(1 ? 2 ? ? ? 8) ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? 11) ? 2] ? 2040 B ⑩: 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2 =2000 C D : 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2 =2000 ⑩和 :路程和都是 2000

比较各个 路程和可 知 D 符合 题意

(方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最 值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放 在第一个树坑旁,则有路程总和是 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 19) ? 2 ? 10 ? 苗 放 在 第 10 个 ( 或 第 11

19(1 ? 19) ? 2 ? 3800 ;树 2

个 ) 树 坑 旁 边 时 , 路 程 总 和 是

10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? ? ? 10) ? 2 ? 10 ?

? 900 ? 1100 ? 2000 ,所以路程总和最小为 2000 米.

9 ? (1 ? 9) 10 ? (1 ? 10) ? 2 ? 10 ? ?2 2 2

(二)填空题
(辽宁文) (15)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=____—1________. (天津文)11.已知 ?an ? 为等差数列, S n 为其前 n 项和, n ? N * ,若 a3 ? 16, S20 ? 20, 则

S10 的值为_______
【答案】110

?a3 ? a1 ? 2d ? 16 ? 【解析】 设等差数列的首项为 a1 , 公差为 d , 由题意得, , ? 20 ? 19 ?S 20 ? 20 a1 ? 2 ? ?? 2 ? ? 20 ?
解之得 a1 ? 20, d ? ?2 ,∴ s10 ? 10 ? 20 ?

10 ? 9 ? (?2) ? 110 . 2

(广东文)11.已知 {an } 是递增的等比数列,若 a2 ? 2 , a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比

q?
11 . 2 .



a4 ? a3 ? 4 ? a2 q 2 ? a2 q ? 4 ? 2q 2 ? 2q ? 4 ? 0 ? 2(q ? 2)(q ? 1) ? 0

? q ? 2 或 q ? ?1

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∵ {an } 是递增的等比数列,∴ q ? 2 (上海文)2. lim(1 ?
n ??

3n )? n?3

?2



(北京文) (12)在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ?

1 , a4 ? 4, 则公比 q ? 2



a1 ? a2 ??? an ?
【答案】2

.

2 n ?1 ?

1 2

【解析】 :由 ?an ? 是等比数列得 a4 ? a1q 3 ,又 a1 ?

1 1 , a4 ? 4, 所以 4 ? q 3 ? q ? 2 2 2

1 (1 ? 2n ) a1 (1 ? q ) 2 1 a1 ? a2 ??? an ? ? ? 2n?1 ? 1? q 1? 2 2
n

(浙江文) (17)若数列 ?n(n ? 4)( ) n ? 中的最大项是第 k 项,则 k =_______________。 【答案】4
k k ?1 ? ?2? ?2? ?k ?k ? 4?? ? ? ?k ? 1??k ? 5?? ? ? ?3? ?3? 【解析】设最大项为第 k 项,则有 ? , k k ?1 ?2? ?2? ? ?k ?k ? 4?? 3 ? ? ?k ? 1??k ? 3?? 3 ? ? ? ? ? ?

? ?

2 ? 3 ?

?k 2 ? 10 ?k 2 ? 10 ? ? ∴? 2 ? k ? 4. ?? ?k ? 2 k ? 9 ? 0 ?1 ? 10 ? k ? 1 ? 10 ? ?

(三)解答题
(安徽文) (21) (本小题满分 13 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数, 使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列, 将这 n ? 2 个数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn , n≥1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

tan (Ⅱ)设 bn ? tan an ? an ?1, 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .
21. (本小题满分 13 分)本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式 等基本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 解: (I)设 l1 , l 2 ,?, l n ? 2 构成等比数列,其中 t1 ? 1, t n? 2 ? 100, 则

Tn ? t1 ? t 2 ? ? ? t n ?1 ? t n ? 2 ,



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Tn ? t n ?1 ? t n? 2 ? ? ? t 2 ? t1 ,



①× ②并利用 t1t n ?3?i ? t1t n ? 2 ? 10 2 (1 ? i ? n ? 2), 得

Tn2 ? (t1t n? 2 ) ? (t 2 t n?1 ) ? ? ? (t n?1t 2 ) ? (t n ? 2 t1 ) ? 10 2( n ? 2) ,? a n ? lg Tn ? n ? 2, n ? 1.
(II)由题意和(I)中计算结果,知 bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1. 另一方面,利用 tan1 ? tan((k ? 1) ? k ) ? 得 tan(k ? 1) ? tan k ? 所以 S n ?
n?2
n n?2 k ?3

tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k

tan(k ? 1) ? tan k ? 1. tan1

? b ?? tan(k ? 1) ? tan k
k ?1 k

tan(k ? 1) ? tan k ? 1) tan1 k ?3 tan(n ? 3) ? tan 3 ? ? n. tan1 ? ?(
(北京文)20. (本小题共 13 分) 若数列 An : a1 , a2 , ???, an (n ? 2) 满足 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1, 2, ???, n ? 1) , 则称 An 为 E 数列, 记 S ( An ) ? a1 ? a2 ? ??? ? an . (Ⅰ)写出一个 E 数列 A5 满足 a1 ? a3 ? 0 ; (Ⅱ)若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ)在 a1 ? 4 的 E 数列 An 中,求使得 S ? An ? =0 成立得 n 的最小值. (20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)0,1,0,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5. (答案不唯一,0,—1,0,1,0;0,± 1,0,1,2;0,± 1,0,—1,—2;0,± 1,0, —1, —2,0,± 1,0,—1,0 都是满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列, 所以 a k ?1 ? a k ? 1(k ? 1,2,?,1999 ) . 所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+(2000—1)× 1=2011. 充分性,由于 a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1
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…… a2—a1≤1 所以 a2000—at≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故 a n ?1 ? a n ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999 ), 即An 是递增数列. 综上,结论得证. (Ⅲ)对首项为 4 的 E 数列 Ak,由于

a2 ? a1 ? 1 ? 3,
a3 ? a 2 ? 1 ? 2,
……

a5 ? a7 ? 1 ? ?3.
…… 所以 a1 ? a 2 ? ? ? a k ? 0(k ? 2,3,?,8) 所以对任意的首项为 4 的 E 数列 Am,若 S ( Am ) ? 0, 则必有 n ? 9 . 又 a1 ? 4 的 E 数列 A1 : 4,3,2,1,0,?1,?2,?3,?4满足S ( A1 ) ? 0, 所以 n 是最小值是 9. (广东文)20. (本小题满分 14 分) 设 b ? 0 ,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ?

nban ?1 (n ≥ 2) . an ?1 ? n ? 1

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , 2an ≤ bn?1 ? 1 . 20. (1)解:∵ an ?

nban ?1 an ?1 ? n ? 1



an ban ?1 ? n an ?1 ? n ? 1
n 1 n ?1 1 ? ? ? an b an ?1 b n n ?1 n ? ? 1 ,则 { } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列 an an ?1 an
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① 当 b ? 1时,



n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,即 an ? 1 an n 1 1 n ?1 1 ? ? ( ? ) an 1 ? b b an ?1 1 ? b

② 当 b ? 0 且 b ? 1时,

当 n ? 1 时,

n 1 1 ? ? an 1 ? b b(1 ? b)

∴{

1 n 1 1 为首项, 为公比的等比数列 ? } 是以 an 1 ? b b(1 ? b) b



n 1 1 1 ? ? ? ( )n an 1 ? b 1 ? b b

n 1 1 1 ? bn ? ? ? ∴ an (1 ? b)b n 1 ? b (1 ? b)b n

n(1 ? b)b n ∴ an ? 1 ? bn
? n(1 ? b)b n ,  b ? 0且b ? 1 ? 综上所述 an ? ? 1 ? b n ?1,   b ? 1    ?
(2)证明:① 当 b ? 1时, 2an ? b n ?1 ? 1 ? 2 ; ② 当 b ? 0 且 b ? 1时, 1 ? b ? (1 ? b)(1 ? b ? ? ? b
n n?2

? bn ?1 )

要证 2an ? b 即证

n ?1

2n(1 ? b)b n ? b n ?1 ? 1 , ? 1 ,只需证 n 1? b

2n(1 ? b) 1 ?b? n n 1? b b 2n 1 即证 ?b? n n?2 n ?1 1? b ?? ? b ? b b 1 即证 (b ? n )(1 ? b ? ? ? b n ? 2 ? b n ?1 ) ? 2n b 1 1 1 1 即证 (b ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ) ? ( n ? n?1 ? ? ? 2 ? ) ? 2n b b b b 1 1 1 1 ∵ (b ? b 2 ? ? ? bn ?1 ? b n ) ? ( n ? n ?1 ? ? ? 2 ? ) b b b b 1 1 1 1 ? (b ? ) ? (b2 ? 2 ) ? ? ? (bn?1 ? n?1 ) ? (bn ? n ) b b b b
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? 2 b?

1 1 1 1 ? 2 b 2 ? 2 ? ? ? 2 b n ?1 ? n ?1 ? 2 b n ? n ? 2n ,∴原不等式成立 b b b b

∴对于一切正整数 n , 2an ≤ bn?1 ? 1 . (湖南文)20. (本题满分 13 分) 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少, 从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的 价值为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (II)设 An ?

a1 ? a2 ? ? ? an , 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 n

M 更新,证明:须在第 9 年初对 M 更新. 解析: (I)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n;
当 n ? 6 时,数列 {an } 是以 a6 为首项,公比为

3 为等比数列,又 a6 ? 70 ,所以 4

3 an ? 70 ? ( )n?6 ; 4

?120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n, n ? 6 ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 an ? ? 3 an ? 70 ? ( ) n ?6 , n ? 7 ? ? 4
(II)设 S n 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 ? n ? 6 时, Sn ? 120n ? 5n(n ? 1), An ? 120 ? 5(n ? 1) ? 125 ? 5n; 当 n ? 7 时,

3 3 3 Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4 3 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 An ? . n
因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96
所以须在第 9 年初对 M 更新. (天津文)20. (本小题满分 14 分) 已 知 数 列
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{an }与{bn }





bn?1an ? bn an ?1 ? (?2) n ? 1, bn ?
(Ⅰ)求 a2 , a3 的值;

3 ? (?1) n?1 , n ? N * , 且a1 ? 2. 2

(Ⅱ)设 cn ? a2n ?1 ? a2 n ?1 , n ? N * ,证明 {cn } 是等比数列; (Ⅲ)设 S n 为 {an } 的前 n 项和,证明

S S S1 S2 1 ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? n ? (n ? N * ). a1 a2 a2 n ?1 a2 n 3

(20)本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能 力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。 (Ⅰ)解:由 bn ?

? 2, n为奇数, 3 ? (?1) n ?1 , n ? N * ,可得 bn ? ? 2 ?1, n为偶数,
n

又 bn ?1 an ? bn an ?1 ? ? ?2 ? ? 1 , 当 n ? 1时, a1 ? 2a2 ? ?1,由a1 ? 2, 可得a2 ? ? ; 当 n ? 2时, 2a2 ? a3 ? 5, 可得a3 ? 8. (Ⅱ)证明:对任意 n ? N *

3 2

a2 n ?1 ? 2a2 n ? ?22 n ?1 ? 1
2a2 n ? a2 n ?1 ? 22 n ? 1




②-①,得 a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 3 ? 2 所以 {cn } 是等比数列。

2 n ?1

, 即cn ? 3 ? 22 n ?1 , 于是

cn ?1 ?4 cn

(Ⅲ)证明: a1 ? 2 ,由(Ⅱ)知,当 k ? N *且k ? 2 时,

a2 k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? (a7 ? a5 ) ? ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ?3 )

? 2 ? 3(2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 k ?3 ) ? 2 ? 3 ?
故对任意 k ? N * , a2 k ?1 ? 22 k ?1.

2(1 ? 4k ?1 ) ? 22 k ?1 1? 4

由①得 2 2 k ?1 ? 2a2 k ? ?22 k ?1 ? 1, 所以a2 k ?

1 ? 22 k ?1 , k ? N * 2

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因此, S2 k ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ) ? 于是, S2 k ? 1 ? S2 k ? a2 k ? 故

k ? 1 2 k ?1 ?2 . 2

k . 2

S2 k ?1 S2 k ? a2 k ?1 a2 k

k ? 1 2 k ?1 k ?2 k ? 1 ? 22 k k 1 k 2 2 ? ? ? ? 2k ? 1? k ? k k . 2 k ?1 2k 1 2 2 2 ?1 4 4 (4 ? 1) 2 k ?1 ?2 2

(浙江文) (19) (本题满分 14 分)已知公差不为 0 的等差数列 {a n } 的首项为 a(a ? R) , 且

1 1 1 , , 成等比数列. a1 a 2 a 4

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N * ,试比较

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 与 的大小. a2 a2 a2 a1 a2

(19) 本题主要考查等差、 等比数列的概念以及通项公式, 等比数列的求和公式等基础知识, 同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分 14 分。 (Ⅰ)解:设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意可知 ( 即 (a1 ? d ) 2 ? a1 (a1 ? 3d ) ,从而 a1 d ? d 2 因为 d ? 0, 所以d ? a1 ? a. 故通项公式 an ? na. (Ⅱ)解:记 Tn ?

1 2 1 1 ) ? ? a2 a1 a4

1 1 1 ? ??? ,因为a2n ? 2n a a2 a22 a2n

1 1 (1 ? ( ) n ) 1 1 1 1 1 1 1 2 所以 Tn ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? ? 2 ? [1 ? ( )n ] 1 a 2 2 a a 2 2 1? 2
从而,当 a ? 0 时, Tn ?

1 1 ;当 a ? 0时, Tn ? . a1 a1

(四川文)20. (本小题共 12 分) 已知 {an } 是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, S n 为它的前 n 项和. (Ⅰ)当 S1 、 S 3 、 S 4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ)当 S m 、 S n 、 S l 成等差数列时,求证:对任意自然数 k, am? k 、 an? k 、 al ? k 也成
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等差数列. 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、 解决问题的 能力. 解: (Ⅰ)由已知, an ? aq n ?1 ,因此 S1 ? a , S3 ? a(1 ? q ? q 2 ) , S4 ? a(1 ? q ? q 2 ? q3 ) . 当 S1 、 S 3 、 S 4 成等差数列时, S1 ? S4 ? 2S3 ,可得 aq3 ? aq ? aq 2 .
1? 5 . 2 (Ⅱ)若 q ? 1 ,则 {an } 的每项 an ? a ,此时 am? k 、 an? k 、 al ? k 显然成等差数列. 若 q ? 1 , 由 S m 、 S n 、 S l 成 等 差 数 列 可 得 Sm ? S? 2 S, 即 l n

化简得 q 2 ? q ? 1 ? 0 .解得 q ?

a( m ? 1 ) q ? q ?1

a l (q ? ? q 1 ?

n 1 ) a?q ( 2 . ?q 1

1 )

整理得 q m ? ql ? 2q n .因此, am? k ? al ? k ? aq k ?1 (q m ? ql ) ? 2aq n ? k ?1 ? 2an ? k . 所以, am? k 、 an? k 、 al ? k 也成等差数列. (山东文)20.(本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中 的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2n . 【解析】 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数列

?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 3n?1 .
(Ⅱ)因为 bn ? an ? (?1) ln an = 2 ? 3n?1 ? (?1) ln 2 ? 3
n?1

, 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (ln a1 ? ln a2 ? ?ln an ) ln(2n ?1? 31 ? 32 ??? 3n?1 ) =
3n ? 1- ln(2n ? 3
n ( n ?1) 2

=

2(1 ? 3n ) 1? 3

-

ln a1a2 an

=

3n ? 1

-

) ,所以 S2n = 32 n ? 1 - ln(22n ? 3

2 n (2 n ?1) 2

) = 9n ? 1 - 2n ln 2 ? (2n2 ? n) ln 3 .

(福建文)17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式; (II)若数列{an}的前 k 项和 =-35,求 k 的值.

17.本小题主要考查等差数列的基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,满分
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12 分。 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an ? a1 ? (n ? 1)d . 由 a1 ? 1, a2 ? ?3可得1 ? 2d ? ?3. 解得 d=-2。 从而, an ? 1 ? (n ? 1) ? (?2) ? 3 ? 2n. (II)由(I)可知 an ? 3 ? 2n , 所以 Sn ?

n[1 ? (3 ? 2n)] ? 2n ? n2 . 2

进而由 S1 ? ?35可得2k ? k 2 ? ?35, 即 k 2 ? 2k ? 35 ? 0 ,解得 k ? 7或k ? ?5. 又 k ? N , 故k ? 7 为所求。
*

(湖北文)17. (本小题满分 12 分) 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列

?bn ? 中的 b3 、 b4 、 b5 。
(I) 求数列 ?bn ? 的通项公式;

5 (II) 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证:数列 ? S n ? ? 是等比数列。 ? ? 4? ? 17. 本小题主要考查等差数列, 等比数列及其求和公式等基础知识, 同时考查基本运算能力。 (满分 12 分)
解: (Ⅰ)设成等差数列的三个正数分别为 a ? d , a, a ? d 依题意,得 a ? d ? a ? a ? d ? 15, 解得a ? 5. 所以 {bn } 中的 b3 , b4 , b5 依次为 7 ? d ,10,18 ? d . 依题意,有 (7 ? d )(18 ? d ) ? 100, 解得d ? 2或d ? ?13 (舍去) 故 {bn } 的第 3 项为 5,公比为 2。 由 b3 ? b1 ? 2 , 即5 ? b1 ? 2 , 解得b1 ?
2 2

5 4

.

所以 {bn } 是以

5 5 为首项,2 为以比的等比数列,其通项公式为 bn ? ? 2n ?1 ? 5 ? 2n ?3 4 4
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5 (1 ? 2n ) 5 5 (Ⅱ)数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? 4 ? 5 ? 2n?2 ? ,即 S n ? ? 5 ? 2 n?2 4 1? 2 4 5 Sn ?1 ? n ?1 5 5 4 ? 5 ? 2 ? 2. 所以 S1 ? ? , 5 4 2 5 ? 2n ? 2 Sn ? 4 5 5 因此 {Sn ? }是以 为首项,公比为 2 的等比数列。 4 2
(全国大纲文)17. (本小题满分 l0 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30, 求 an 和 S n 17.解:设 {an } 的公比为 q,由题设得

?a1q ? 6, ? 2 ?6a1 ? a1q ? 30.
解得 ?

…………3 分

? a1 ? 3, ?a1 ? 2, 或? ? q ? 2, ?q ? 3.

…………6 分

当 a1 ? 3, q ? 2时, an ? 3 ? 2n ?1 , Sn ? 3 ? (2n ? 1); 当 a1 ? 2, q ? 3时, an ? 2 ? 3n ?1 , Sn ? 3n ? 1. (全国新课标文) (17) (本小题满分 12 分) …………10 分

1 1 ,公比 q ? . 3 3 1 ? an (I) S n 为 {an } 的前 n 项和,证明: S n ? 2 (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log 3 an ,求数列 {bn } 的通项公式.
已知等比数列 {an } 中, a1 ? (17)解: (Ⅰ)因为 a n ?

1 1 n ?1 1 ?( ) ? n . 3 3 3 1 1 1 (1 ? n ) 1 ? n 3 3 ? 3 , Sn ? 1 2 1? 3

所以 S n ?

1 ? an , 2

(Ⅱ) bn ? log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? log 3 a n

? ?(1 ? 2 ? ? ? n)
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??

n(n ? 1) 2

所以 {bn } 的通项公式为 bn ? ?

n(n ? 1) . 2

(上海文)23. (18 分)已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N* ) ,将集合

{x | x ? an , n ? N *} ? {x | x ? bn , n ? N *} 中的元素从小到大依次排列,构成数列

c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? 。
(1)求三个最小的数,使它们既是数列 {an } 中的项,又是数列 {bn } 中的项; (2) c1 , c2 , c3 ,?, c40 中有多少项不是数列 {bn } 中的项?说明理由; (3)求数列 {cn } 的前 4n 项和 S 4n ( n ? N * ) 。 23.解:? 三项分别为 9,15, 21 。 ? c1 , c2 , c3 ,?, c40 分别为

9,11,12,13,15,17,18,19, 21, 23, 24, 25, 27, 29,30,31,33,35,36,37, 39, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67
? b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2 k ?1 ,b3k ?1 ? 6k ? 5 ,a2 k ? 6k ? 6 ,b3k ? 6k ? 7 ∵

6k ? 3 ? 6 ? 5 ? 6 ? 6 ? k ? 7 k k 6

? 6k ? 3 ( n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 ( n ? 4k ? 2) ? , k ? N * 。 c4 k ?3 ? c4 k ?2 ? c4 k ?1 ? c4 k ? 24k ? 21 ∴ cn ? ? 6k ? 6 ( n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k ) ?
S4 n ? (c1 ? c2 ? c3 ? c4 ) ? ? ? (c4 n?3 ? c4 n?2 ? c4 n?1 ? c4 n ) ? 24 ?
。 (重庆文)16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设 {a } 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 。
n

n(n ? 1) ? 21n ? 12n 2 ? 33n 2

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 sn 。
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16. (本题 13 分) 解: (I)设 q 为等比数列 {an } 的公比,则由 a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4得2q 2 ? 2q ? 4 , 即 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ? ?1 (舍去) ,因此 q ? 2.
2

所以 {an } 的通项为 an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n (n ? N * ). (II) Sn ?

2(1 ? 2n ) n(n ? 1) ? n ?1 ? ? 2. 1? 2 2

? 2n?1 ? n2 ? 2.

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