2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.5.3定积分的概念课件1新人教A版选修2_2


1.5.3 定积分的概念 情景导入 研究函数,从量的方面研究事物运动变化是微积分 的基本方法. 从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但 是积分的思想在古代就已经产生了.公元 前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决 抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下 面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学 的思想.那么定积分是怎样定义的呢?又有哪些性质呢? 新知导学 1.定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi -1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 Sn n b-a =?n f(ξi)Δx=___i?_=_1 __n___f(_ξ_i)___(其中 Δx 为小区间长度), i=1 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做 函数 f(x)在区间[a,b]上的___定__积__分_____,记作??bf(x)dx, n b-a ?a 即??bf(x)dx=___ln_i→m_∞_i?=_1_[ __n__f_(ξ_i_)]___. ?a 这里,a与b分别叫做__积__分__下__限____与___积__分__上__限___,区间 [a,b]叫做__积__分__区__间____,函数f(x)叫做__被__积__函__数____,x 叫做__积__分__变__量____,f(x)dx叫做__被__积__式______. 2.定积分的几何意义 如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有_____f(_x_)_≥_0___, 那么定积分??bf(x)dx 表示由___直__线__x_=__a_,__x_=__b_(_a_≠_b_)___, ?a y=0 和__曲__线__y=__f_(_x_) _所围成的曲边梯形的面积. 3.定积分的性质 ①??bkf(x)dx=__k_???_ab__f(_x_)d_x___(k 为常数); ?a ?b ? f1(x)dx±??b f2(x)dx ②??b[f1(x)±f2(x)]dx=__?a_________?a________; ?a ③?b ? f(x)dx=??c f(x)dx+___???_cb__f(_x_)_d_x____(其中 a<c<b). ?a ?a 定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性,其几 何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲 边梯形EBCF的面积的和. 预习自测 1.求由曲线 y=ex,直线 x=2,y=1 围成的图形的面积时, 若选择 x 为积分变量,则积分区间为 ( B ) A.[0,e2] B.[0,2] C.[1,2] 【解析】 D.[0,1] 解方程组???yy= =e1x ,可得???xy==01 , 所以积分区间为[0,2],故应选 B. 2.下列式子中不成立的是 ( C ) A.??2π+asinxdx=??2π+bcosxdx ?a ?b C.??πsinxdx=??πcosxdx ?0 ?0 B. sinxdx= cosxdx D.??π|sinx|dx=??π|cosx|dx ?0 ?0 【解析】 由定积分的几何意义知??πsinxdx>0,??πcosxdx=0, ?0 ?0 所以 C 不成立,故应选 C. 3.下列值等于 1 的是 ( C ) A.??1xdx ?0 C.??11dx ?0 B.??1(x+1)dx ?0 D.???0112x2dx 【解析】 由积分的几何意义可知选 C. 4.不用计算,根据图形,用不等号连接下列各式: (1)??1xdx___>___??1x2dx(图 1); ?0 ?0 (2)??1xdx___<___??2xdx(图 2); ?0 ?1 (3)??2 4-x2dx___<___??22dx(图 3). ?0 ?0 命题方向1 ?定积分的定义 例 1 求??1x3dx. ?0 解:(1)分割[0,1]:0<1n<2n<…<n-n 1<nn=1. (2)近似代替:作和: ????1n????3·n1+????n2????3·1n+…+????nn????3·1n.=i?=n1 ????????ni ????3·1n????. (因为 x3 连续,所以 ξi 可随意取而不影响极限,故我们 此处将 ξi 取为[xi,xi+1]的右端点也无妨) (3)取极限: ? ? n i=1 ????????ni ????3·1n????=n14i=n1i3=n14????n n+ 2 ????2=14????1+n2+n12????, ∴???01x3dx=nli→m∞ ????14????1+n2+n12????????=14. (此处用到了求和公式 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 =????n(n2+1)????2) 因此???01x3dx=41. 规律总结 用定义法求积分的步骤 (1)分割:将积分区间[a,b]n 等分. (2)近似代替:取点 ξi∈[xi-1,xi],可取 ξi=xi-1 或者 ξi=xi. n (3)求和: ? i=1 b-n af(ξi).(4)求极限:???abf(x)dx=nli→m∞i?=n1 b-n af(ξi). 跟踪练习 1 (1)定积分??af(x)dx 的大小( A ) ?b A.与 f(x)和积分区间有关,与 ξi 的取法无关 B.与 f(x)有关,与区间及 ξi 的取法无关 C.与 f(x)及 ξi 的取法有关,与区间无关 D.与 f(x)、积分区间和 ξi 的取法都有关 (2)利用定积分的定义计算:??1x2dx. ?0 解:①分割,将区间[0,1]分成 n 等份

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