高中数学必修4_第三章_3.1.2_两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件_新人教A版必修4_图文


两角和与差的正弦、余弦、正切公式

阳谷二中

徐冬红

请同学们回忆所学内容,积极回答下列问题。

1、sin ??? ? ? ? sin ?

cos(?? ) ? cos ? tan(?? ) ? ? tan ? 2、sin ? ? ? ? ? ? cos ?
2 cos(? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 3、 cos(

?

2

? ? ) ? sin ?

1. 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的 余弦公式,以及两角和与差的正弦、正切 公式,体会公式间的内在联系。 2.能应用公式解决比较简单的化简求值问题。

探究一

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 请同学们将公式中的 ? 换成 ? ? 并化简。
cos[? ? (?? )] ? cos ? cos(?? ) ? sin ? sin(?? )

cos (? +?) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 同名积
符号反

1、

两角和的余弦公式

cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ

记作 c(? ? ? ) 。

探究二:
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

请同学们将公式中的 ? 换成

?
2

? ? 并化简。

?? ? ? ? ?? ? cos?( ? ? ) ? ? ? ? cos? ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? 2 ? ?2 ? ?2 ?


? sin ? cos ? ? cos? sin ?

sin(? ? ? )

两角和的正弦公式

异名积, 符号同

sin(? +? ) ? sin ? cos ? +cos ? sin ?
用 ? ? 代? 并化简
记作

S (? ? ? )

sin[? ? (?? )] ? sin ? cos(?? ) ? cos ? sin(?? )
两角差的正弦公式

? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
记作

S (? ? ? )

探究三:
(小组合作,在学案上写出推导过程,代表展示。)

你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关 系,利用 sin(? ? ? )、cos(? ? ? ) 推导出 用任意角 ?、? 的正切表示的 tan(? ? ? ) tan(? ? ? ) 的公式吗?

tan(? ? ? ) ? ? tan(? ? ? ) ? ?

sin(? ? ? ) sin ? cos ? 两角和的正切公式 tan(? ? ? ) ? ? cos(? ? ? )

符号上同 下不同 ? cos ? sin ?

tan ? ? tan ? 两角差的正切公式 tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

tan ? ? tan ? tan( ? ? )? ?? 0时, 记作: T(? ? ? ) 分子分母同时除以cos ? cos ? 得: 当 cos ?? cos 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? T tan ? ? tan(? ?记作: ) (? ? ?? ) tan ? ? tan tan[ ? ? ( ? ? )] ? ? 1 ? tan 1 ? tan ? tan(?-? ) ? ? tan ? tan(?? )
1 ? tan ? tan ?
即:?、?、? ? ? 都不能等于
?
2 +k? ,k ? Z 。

cos ? cos ? ? sin ? sin ?

必须在定义域范围内使用上述公式。 注意:

请同学们先独立思考,然后完成解答过程,代表展示。

3 ? 例3:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4 ? ? cos( ? ? ), tan(? ? )的值。 4 4

例四、利用和、差角公式计算下列各式的值。
请同学们先独立思考,然后积极回答下列各问题。

(1)sin72。cos 42。? cos 72。sin 42。 (2) cos 20。cos 70。? sin 20。sin 70。 1 ? tan15。 (3) 1- tan15。

1 解:(1)sin72 cos 42 ? cos 72 sin 42 = sin(72 ? 42 )= sin 30 = 2 ) ? cos90。? 0 (2)cos 20。cos70。? sin 20。sin 70。? cos(20。? 70。
。 。 。 。 。 。 。

1 ? tan15。 tan 45。? tan15。 。 。 。 (3) ? ? tan(45 ? 15 ) ? tan 60 ? 3 。 。 。 1- tan15 1- tan 45 tan15

请同学们先独立思考下面问题,然后组内交流, 完成后积极展示。 3 1 1、求函数f ( x) ? cos x ? sin x的最小值。 2 2 3 1 ? ? 解法一: 解:f ( x) ? cos x ? sin x=sin cos x ? cos sin x 2 2 3 3

3 f ( x ) ∴ 的最小值为-1。 3 1 ? ? cos x ? sin x=cos cos x ? sin sin x 解法二: 解:f ( x) ? 2 2 6 6


? sin(

?

? x)

f ( x) 的最小值为-1。

? cos(

?

6

+x )

6? 2 1、 sin 75。 =__________. 4

2、 cos(? ? ? )cos ? ? sin(? ? ? )sin ? ? ______. cos?
3、化简 3 ? tan15。


1 ? 3 tan15 3 ? tan15。 tan 60。? tan15。 解: = 。 。 。 1+ tan 60 ? tan15 1 ? 3 tan15
? tan(60。?15。 )

? tan 45 =1


课堂总结

、 一、

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

sin(? +? ) ? sin ? cos ? +cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
二、转化思想、换元思想

作业:
课本137页 习题3.1 A组7、8、9


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