2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析) 人教_ 新目标版


2019 学年度高一下学期期末考试

数学试卷

第Ⅰ卷(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1. 已知集合



,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】分析:化简集合 A,然后求交集即可.

详解:由题意可知:

,又



故选:D

点睛:本题考查交集及其运算,以及一元二次不等式的解法,属于基础题.

2. 《张丘建算经》中女子织布问题为:某女子善于织布,一天比一天织得快,且从第 天开始,

每天比前一天多织相同量的布,已知第一天织 尺布,一个月(按 天计)共织 尺布,则从

第 天起每天比前一天多织布( )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

【答案】D

【解析】依题意可知这是首项为 ,公差为 的等差数列,所以

,解得 .

3. 若三点 A. , 【答案】C

、、 B.

共线,则有( C.

) D.

【解析】因为三点 ,

, 共线,所以



因此选 C.

4. 已知角 为第二象限角,且

,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】A

-1-

【解析】分析:由同角三角函数的基本关系可得 tana,代入二倍角的正切公式可得. 详解:∵a 是第二象限角,且 sina= ,

∴cosa=﹣

=,

∴tana= = ,

∴tan2a=

=2×

=

故选:A.

点睛:本题考查二倍角的正切公式,涉及同角三角函数的基本关系,考查计算能力,属于基

础题.

5. 在 中,若

,则 与 的关系为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】分析:利用正弦定理及大边对大角即可得到结果.

详解:由正弦定理知



∵sinA>sinB,

∴a>b,

∴A>B.

故选:B.

点睛:本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题.

6. 在等比数列 中,已知 ,

,则 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】分析:利用等比数列的性质计算即可.

详解:设公比为 q,

∵,



∴a3+a3q2+a3q4=21, ∴3+3q2+3q4=21,

-2-

解得 q2=2

∴a5=a3q2=3×2=6,

故选:A .

点睛:比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略:

①化基本量求通项.求等比数列的两个基本元素 和 ,通项便可求出,或利用知三求二,用

方程求解.

②化基本量求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.

③化基本量求公比.利用等比数列的定义和性质,建立方程组求解.

④化基本量求和.直接将基本量代入前 项和公式求解或利用等比数列的性质求解

7. 已知



,若

,则实数 的值为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】分析:由向量垂直的条件:即数量积为 0,结合向量的平方即为模的平方,计算即可

得到 t.

详解:由( + )⊥( +t ),

可得( + )?( +t )=0,

即有 +t +(1+t) =0,







即 4+4t﹣ (1+t)=0,

解得 t=﹣1.

故选:C.

点睛:本题考查向量的数量积的定义和性质,考查向量垂直的条件,考查运算能力,属于基

础题.

8. 函数

的部分图象如图所示,若

,且

,则

()

-3-

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】分析:由图象可得 A=1,由周期公式可得 =2,代入点( ,0)可得 值,进而可得 f

(x)=sin(2x+ ),再由题意可得 x1+x2= ,代入计算可得.

详解:由图象可得 A=1, =

,解得 =2,

∴f(x)=sin(2x+ ),

代入点( ,0)可得 sin( + )=0

∴ + =kπ ,∴ =kπ ﹣ ,k∈Z

又| |< ,∴ = ,

∴f(x)=sin(2x+ ),

∴sin(2× + )=1,即图中点的坐标为( ,1),



,且 f(x1)=f(x2)(x1≠x2),

∴x1+x2= ×2= ,

∴f(x1+x2)=sin(2× + )= ,

故选:B. 点睛:已知函数

(1)

.

的图象求解析式

(2)由函数的周期 求 (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .

-4-

9. 若函数

有两个零点,则实数 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】分析:函数

有两个零点,构造函数 h(x)=x+ (x>0)和 g(x)

=﹣t,相当于函数在 x>0 时,图象有两个交点.

详解:函数

有两个零点,

∴h(x)=x+ (x>0)和 g(x)=﹣t 有两个交点,

∵h(x)=x+ ≥2 = ,

∴﹣t> ,

∴t<﹣ .

故选:D.

点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;

(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;

(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结

合求解.

10. 已知直三棱柱

中,

,,

,则异面直线 与

所成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

详解:如图所示,设 M、N、P 分别为 AB,BB1 和 B1C1 的中点,

-5-

则 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角 (因异面直线所成角为(0, ]),

可知 MN= AB1= ,NP= BC1= ; 作 BC 中点 Q,则△PQM 为直角三角形; ∵PQ=1,MQ= AC, △ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×(﹣ )=7,

∴AC= ,∴MQ= ;

在△MQP 中,MP=

=;

在△PMN 中,由余弦定理得 cos∠MNP=

=

=﹣ ;

又异面直线所成角的范围是(0, ],

∴AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 .

点睛:求异面直线所成角的步骤:1 平移,将两条异面直线平移成相交直线.2 定角,根据异面

直线所成角的定义找出所成角.3 求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角.4

结论.

11. 若等边

的边长为 , 为 的中点,且 上一点 满足:



则当 取得最小值时,

()

-6-

A.

B.

C.

D.

【答案】C

详解:如图,可知,x>0,y>0;

∵M,A,B 三点共线,且



∴x+y=1;



=

≥10+

,当 ,即 3y=x 时取“=”,即 取最小值;

此时 x= , ; ∵N 是 AB 的中点; ∴

=

=

=.

故选:C.

点睛:考查向量加法的平行四边形法则,三点 A,B,C 共线的充要条件:



且 x+y=1,基本不等式的运用,注意基本不等式等号成立的条件,向量数量积的运算及计算公 式.

-7-

12. 已知函数



对任意的

,都有

,则实数 的取值范围为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】分析:对任意的 x1、x2∈R,都有 f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)min,分别求出 最值即可得出. 详解:对任意的 x1、x2∈R,都有 f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)min,

注意到

,又 g(x)=|a﹣2|sinx≥﹣|a﹣2|,





故选:D.

点睛:本题考查了函数的单调性、等价转化方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考

查了推理能力与计算能力,属于中档题.

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13. 函数

的最大值是__________.

【答案】

【解析】分析:利用两角和正弦公式简化为 y=

,从而得到函数的最大值.

详解:y=sinx+cosx=

=



∴函数

的最大值是

故答案为:

点睛:本题考查了两角和正弦公式,考查了正弦函数的图象与性质,属于基础题.

14. 设 是定义在 上的周期为 的周期函数,如图表示该函数在区间 上的图象,则

__________.

-8-

【答案】2

【解析】分析:由题意结合函数的周期性和函数的图象整理计算即可求得结果.

详解:由题意可得:

f(2018)=f(2018﹣673×3)=f(﹣1)=2,

f(2019)=f(2019﹣673×3)=f(0)=0,





故选:D.

点睛:本题考查了函数的周期性,函数的图象表示法等,重点考查学生对基础概念的理解和

计算能力,属于中等题.

15. 设 , 满足约束条件

若目标函数

的最大值为 ,则实数

__________. 【答案】1

【解析】分析:先作出不等式组

的图象,利用目标函数

求出交点坐标,代入

=0 即可.

详解:先作出不等式组

的图象如图,

∵目标函数

的最大值为 2,

∴z=

=2,作出直线

=2,

由图象知

=2 如平面区域相交 A,

的最大值为 2,

-9-





,即 A( , ),

同时 A( , )也在直线

=0 上,

∴2﹣3 =0,

则 b=1,

故答案为:1.

点睛:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键.

16. 已知三棱锥

中,顶点 在底面的射影为 .给出下列命题:

①若 、 、 两两互相垂直,则 为 的垂心;

②若 、 、 两两互相垂直,则 有可能为钝角三角形;

③若

,且 与 重合,则三棱锥

的各个面都是直角三角形;

④若

,且 为 边的中点,则

.

其中正确命题的序号是__________.(把你认为正确的序号都填上)

【答案】①③④

【解析】分析:利用线面垂直的判定与性质定理逐一判断即可.

详解:

若 PA,PB,PC 两两互相垂直,容易推出 AH⊥BC,同理 BH⊥AC,可得 H 是△ABC 的垂心,①正

确;

- 10 -

若 、 、 两两互相垂直,P 在底面是射影 H 在△ABC 的内部,是三角形 ABC 的垂心,所

以不可能是钝角三角形,②不正确;

若 与 重合则 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,

又 BC⊥AC,所以 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥PC,

故四个面都是直角三角形,③正确;

当 PH⊥平面 ABC 时,PA2=PH2+HA2,

PB2=PH2+BH2,PC2=PH2+CH2,

因为 H 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点,所以 BH=AH=CH,

故 PA=PB=PC,故④正确;

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知直线

及点

.

(1)求经过点 ,且与直线 平行的直线方程;

(2)求经过点 ,且倾斜角为直线 的倾斜角的 倍的直线方程.

【答案】(1)

(2)

【解析】分析:(1)根据平行关系求出直线的斜率,利用点斜式求出方程即可;

(2)利用二倍角正切公式求出直线的斜率,利用点斜式求出方程即可.

详解:(答案一)解:(1)设直线 的斜率为 ,则 .

因为所求直线与 平行,所以所求直线的斜率 ,

又所求直线经过点

,所以所求直线方程为



- 11 -

(2)依题意,所求直线的斜率



又所求直线经过点

,所以所求直线方程为



(答案二)解:(1)设直线 的斜率为 ,则



因为所求直线与 平行,所以所求直线的斜率



又所求直线经过点

,所以所求直线方程为

,即



(2)依题意,所求直线的斜率



又所求直线经过点

,所以所求直线方程为







点睛:本题考查了求直线方程问题,考查直线的倾斜角问题,属于基础题.

18. 已知 是公比为正数的等比数列, ,

.

(1)求数列 的通项公式;

(2)设

,求数列 的前 项和 .

【答案】(1)

(2)

【解析】分析:(1)依题意,可求得等比数列{an}的公比 q=2,又 a1=2,于是可求数列{an}的 通项公式;

(2)

,利用裂项相消法求和即可.

详解:(1)设数列 的公比为 ,

依题意,有

整理得

,解得

(舍去), .

所以数列 的通项公式为



(2)由(1)知

所以



所以



点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这

- 12 -

一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:

(1)

;(2)

;(3)



(4)

;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现

丢项或多项的问题,导致计算结果错误.

19. 如图,三棱柱

中,点 为 的中点.

(1)求证: 平面 ;

(2)若底面 为正三角形,



,侧面

底面 ,

,求

四棱锥

的体积.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】分析:(1) 连结 ,设

,连结 .要证 平面 ,转证 ∥

即可;

(2)因为侧面

底面 ,所以正

的高就是点 到平面

的距离,

故 ,带入体积公式即可得到结果.

详解:证明:(1)连结 ,设

,连结 .

因为

为平行四边形,所以 为 中点,从而 为

的中位线,所以 ∥ .

因为 平面 , 平面 ,所以 ∥平面 .

(2)因为侧面

底面 ,所以正

的高就是点 到平面

的距离,

也就是四棱锥

的高,由条件得 .

因为

,所以

,所以四棱锥

的底面积



所以四棱锥

的体积



- 13 -

点睛:求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问

题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法:求一些不

规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积

法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知

条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的

高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接

计算得到高的数值

20. 在 中,角 、 、 的对边分别是 、 、 ,若 、 、 成等差数列.

(1)求 角的大小;

(2)若

, ,求 的面积.

【答案】(1) (2)

【解析】分析:(1)由等差数列和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得 cosB,由三角形

的内角的范围可得 B= ;

(2)把已知数代入余弦定理整体可得 ac=6,代入三角形的面积公式可得.

详解:(1)因为 , , 成等差数列,所以



由正弦定理得

,即



因为

,所以

,又

,所以 .

(2)由余弦定理:





,即



因为

,所以 .

所以



点睛:本题考查正余弦定理解三角形,涉及整体思想和三角形的面积公式,属于中档题.

21. 如图,四棱锥

中, 底面







.

(1)若 ,求证:平面

平面 ;

(2)若 ,且



,求直线 和平面

所成角的正切值.

- 14 -

【答案】(1)见解析(2)

【解析】分析:(1)设

,由条件推断出 AC⊥BD,根据线面垂直的性质推断出 PA⊥BD,

进而利用线面垂直的判定定理推断出 BD⊥平面 PAC,又 BD? 平面 PBD,推断出平面 PBD⊥平面

PAC.

(2)取点 ,使

,连 ,则 ∥ ,连 .因为 底面

,所以 底面



所以 就是直线 与平面

所成的角.

详解:证明:(1)设

,若 ,则

,从而





所以

,即



因为 底面

,所以





,所以 平面 ,因为 平面 ,所以平面

平面 .

(2)取点 ,使

,连 ,则 ∥ ,连 .

因为 底面

,所以 底面

,所以 就是直线 与平面

所成的角.

因为 ,所以

,所以







,在

中,根据余弦定理,



得,解得



所以

.所以当 时,直线 与平面

所成角的正切值为 .

点睛:求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求,

有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长,进而用垂线长比上斜线

长可求得所成角的正弦值,当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系,利用向量求

解.

22. 平面内动点 到两定点 , 距离之比为常数

,则动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯

圆.现已知定点 、

,圆心为 ,

(1)求满足上述定义的圆 的方程,并指出圆心 的坐标和半径;

- 15 -

(2)若 ,且经过点 的直线 交圆 于 , 两点,当

的面积最大时,求直线 的

方程. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】分析:(1)根据定义建立等量关系,化简即可得到圆 的方程,进而指出圆心 的坐 标和半径;

(2)设

,则

的面积

,根据正弦函数的最值得到结果.

详解:(1)设动点 ,则



整理得

,圆心

,半径



(2)解法一:在(1)的结果中,令 ,则得圆 的方程为

,即

.



,则

的面积





时,

的面积取得最大值 8.

此时,直线 的斜率存在,设其方程为

,圆心 到直线 的距离



整理得

,解得



所以直线 的方程为



(2)解法二:在(1)的结果中,令 ,则得圆 的方程为

,即



(ⅰ)当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 ,可得弦长

,所以



(ⅱ)当直线 的斜率存在时,设 的方程为

,圆心 到直线 的距离



从而弦长



所以

,即

时,

的面积取得最大值 8.

因为

,所以

面积的最大值为 8,此时,由

,当且仅当

,解得

.所以直线 的

- 16 -

方程为



点睛:锥曲线中最值与范围问题的常见求法:(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几

何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明

确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范

围问题时常从以下几个方面考虑:①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;

②利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;③利用基本不等式求

出参数的取值范围;④利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.
司马迁与班固 司马迁作《史记》,完成于汉武帝末年。班固书未而者因与外戚窦宪的关系死狱中事在和永元四(公92)一属西东相去各约0今日看来这两部好像联袂出其实它们间隔了大18等我现距离清嘉庆朝时 《史记》为私人著作,汉书则经皇帝看过有国的色彩。司马迁自称“成一家之言”和藏名山已班固宗旨不同况且是通断代两位个性癖好这也使他们在取材行文间相当出入公元前90年中思想所处社会环境大幅度变化其关键于武用董仲舒建议罢斥百独尊儒术我里要特别指并以目而了树立种统正坦白地承认提倡学支持时政权置五博士、校官策贤良都根据此着眼从庞集团施逻辑读受影响到生活规多基础 司马迁和班固一样,自称是周公孔子的信徒。可今日我们打开《史记》随意翻阅三五处即以体会到作者带着种浪漫主义个人风爽快淋漓不拘形迹无腐儒气息他“少负羁之才长乡曲誉”应当真实写照所崇奉士为知己用女悦容也说源于家道德这立场就已经过正统限制谓同了 《史记》里写荆轲和高渐离饮酒击筑,又歌泣旁若无人已近于董仲舒所说的“邪辟”。并且项羽是汉祖刘邦死对头而本纪排列在之前(后代必称酋伪楚只能降格为载)文中把成一个虽暴躁却浑憨可爱角色其英雄末路令怜惜与相较反像君子 《史记》除了刺客列传之外,还有滑稽日者和龟策可谓涉及九流三教呈现整个社会剖面的样子。班固书里虽东方朔却不再缕非正派或下文化资料 也因其如此,司马迁就受到班固的指责。《汉书》里有传内中批评他“又是非颇缪于圣人论大道则先黄老而后六经序游侠退处士进奸雄述货殖崇势利羞贱贫所蔽” 这些地方还不足以表现班固的正统思想,最使我们看出他作品在历史上是属于“罢斥百家独尊儒术”之后产物乃《汉书》卷二十古今人。里列有193位代名包括传奇中如女娲氏、巢论语孔门弟子春秋国君等至秦亡为止由者显善昭恶原则按下区分三九内得圣四皇五帝周公殿仲尼外即再无孟也只与颜渊管同仁老商鞅申墨翟韩非都孙膑白起一流刺客荆轲和尝吕韦而愚既蚩尤共工苗倾城褒姒妲己始虽焚坑贬因面世胡亥入宦官赵高 因此,我们也可以推想出世俗观念中儒家的拘泥并不一定是孔子和他门徒真性格。那些呆板多方面样还后人所造其目在维持文官集团紧凑总算国读书运气好得有太史公司马迁兰台令班固之前写作否则没《记》径由汉开二十三端学传统必更趋向“载道”针缺乏百殊实生动活泼了 1.关于《史记》和汉书的表述,下列理解符合原文意思一项是 A.《史记》完成于汉武帝末年,书和永元四一属西东代相差约180。 B.《史记》为私人著作,而汉书则经皇帝看过带有国的色彩因此在编修上要比更严谨和准确。 C.司马迁的“成一家之言”藏名山宗旨和班固作《汉书》有很大不同,这就决定了史记是通断代。 D.汉武帝用董仲舒之建议,罢斥百家独尊儒术司马迁的思想并未受此影响而班固则不同这也是《史记》和书风格差异重要原因。 2.下列理解和分析,不符合原文意思的一项是 A.董仲舒之尊儒,并不是以为目的其真正在于树立一种统帝国思想支持当时政权。班固受影响呈现《汉书》创作中 B.司马迁和班固都认同儒家思想,但是作者个人气质的巨大差异使得《史记》汉书文风明显带着一种浪漫主义。 C.《史记》和汉书在对待项羽的态度上差异明显,里本纪排列高祖之前这中是不可能出现。 D.《史记》里的人物涉及三教九流各色等,如日者(占卜)而汉书秉持官方正统思想较少录不符合观念。 3.根据原文内容,下列理解和分析不正确的一项是 A.班固在《汉书?司马迁传》中表达了对的看法“是非颇缪于圣人”,他认为史记叙观念有悖之道。 B.《汉书》里的卷二十古今人表按照官方正统观念把历史物分为三等九则,内中得“上圣”者四仲尼之后即再无现了极强独尊儒术态度。 C.我们现在所看到的孔子及其门徒形象,多半出于汉朝“独尊儒术”以后历史典籍这些并不是他真实。 D.《史记》中把项羽刻画成一个虽暴躁却又浑憨可爱的末路英雄形象,与之相比刘邦反像伪君子这样描述在汉书是不能出现。 【答案】1.D2B3C 【解析】 1.试题分析:A项,根据原文可知班固死于狱中是在汉和帝永元四年《书》成此之后;B“编修上要比史记更为严谨准确”的说法无C强加因果。 2.试题分析:根据文意可以判断“个人气质的极大差异”并不是主要原因,班固受官方正统儒家思想影响较。 3.试题分析:C项说法过于绝对,根据最后一段可知作者是“推想”不定孔子及其门徒的真性情。

- 17 -


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