江西省萍乡实验学校2017—2018学年第二学期第一次期末模拟考试高一数学试题


江西省萍乡实验学校 2017—2018 学年第二学期第一次期末模拟考试高一数学试题

萍实高中 2017—2018 学年第二学期第一次期末模拟考试

高一数学试题

班级

学号

姓名

成绩

注意事项:

本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟,试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷为

选择题,第Ⅱ卷为非选择题。

命题人:

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.(错题改编)已知集合 M={x|x2<4,x∈R},N={x|x2-2x-3<0,x∈R},

则集合 M∩N 等于( )

A. {x|-1<x<2}

B.{x|x>3}

C. {x|x<-2}

D.{x|2<x<3}

2.(原创题)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10

项的和 S10=( )

A.138

B.135

C.95

D.23

3.(原创题)某工厂的一、二、三车间在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴,

在出厂前检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、

三车间抽取的产品数分别为 a、b、c,且 a、b、c 满足 2b=a+c,则二车间生产

的产品数为( )

A.800

B.1 200

C.1 000

D.1 500

4.(错题改编)在△ ABC 中,a= 3,b=1,B=30°,则 A=( )

A.60°

B.30°[来源:学优 gkstk]

C.120°

D.60°或 120°

5、(原创题)阅读如图 5 所示的算法框图,若输出 s 的值为-7,则判断框 内可填写( )

A.i≥3 C.i≥5

图5 B.i≥4 D.i≥6

6.(原创题)一组数据的方差为 s2,平均数为 x,将这组数据中的每一个数

都乘以 2,所得的一组新数据的方差和平均数为( )

A.12s2,12—x

B.2s2,2—x

C.4s2,2—x

D.s2,—x

7.(错题改编)函数 f (x) ? x ? 2 (x ? ?2) 的最小值是( x?2

A、2

B、 2 2

C、 2 2 - 2

) D、 2 2+2

1/7

8. ( 新 题 ) 已 知 数 列 ?an? 的 前 n 项 和 为 Sn , a1 ? 1 , 2Sn ? an?1 ?1 , 则 Sn ?

() A. 2n?1

B. 2n ?1

C. 3n?1

D. 1 ?3n ?1? 2

9.(新题)已知 ?ABC 中, tanA?sinC ?sinB? ? cosB ? cosC ,则 ?ABC 为( )

A. 等腰三角形

B. ?A ? 60? 的三角形

C. 等腰三角形或 ?A ? 60? 的三角形 D. 等腰直角三角形

10.(新题)某游轮在 A 处看灯塔 B 在 A 的北偏东 75°,距离为12 6 海里,灯塔 C

在 A 的北偏西 30°, 距离为 8 3 海里,游轮由 A 向正北方向航行到 D 处时再看灯 塔 B 在南偏东 60°,则 C 与 D 的 距离为

A. 20 海里 B. 8 3 海里 C. 23 2 海里 D. 24 海里

?3x ? y ? 6 ? 0 11.(新题)设 x,y 满足约束条件 ??x ? y ? 2 ? 0 ,
??x ? 0, y ? 0

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为 12,

则 2 ? 3 的最小值为(

).

ab

A. 25

B. 8

6

3

C. 11

D. 4

3

12.(原创题)将正偶数集合{2,4,6,…}从小到大按第 n 组有 2n 个偶数进行分组:

{2,4},{6,8,10,12},{14,16,18,20,22,24},…则 2 016 位于第( )

A.30 组

B.31 组

C.32 组

D.33 组

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

13(. 新题)已知等差数列?an?的公差为 2,若 a1, a3 ,4a 成等比数列,则 a4 为______。
14.(原创题)△ ABC 中,若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB= ______________
15.(错题改编)为了在运行下面的程序之后得到输出 y=25,键盘输入 x 应该是 ____________. INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)?(x+1) ELSE y=(x-1)?(x-1) END IF PRINT y END
16.(新题)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方 形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 ________.
三、解答题(共 6 题,共 70 分,第 17--21 题各 12 分,第 22 题 10 分。解答应 写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (12 分)(错题改编)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度), 以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300] 分组的频率分布直方图如图 6.

第2页

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图6 (1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户 中,用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应 抽取多少户?

19、(12 分)(错题改编))海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种 商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作 人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.
地区 A B C 数量 50 150 100 (1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件 商品来自相同地区的概率.

18.(12 分)(原创)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且
sin2 A ? c ? b . 2 2c
(1)判断△ ABC 的形状,并加以证明; (2)当 c = 1 时,求△ ABC 周长的最大值.

3/7

20. (12 分)(错题改编)已知关于 x 的不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 0(a ? R) . (1)当 a=-5 时,求此不等式的解集. (2)求关于 x 的不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? -ax ?1(其中a ? 0) 的解集.

=14的等比数列,设 bn+2=3 log 1 an (n∈N+),数列{cn}满足 cn=an·bn. 4 (1)求证:{bn}是等差数列; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn; (3)若 cn≤14m2+m-1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22、(10 分)(新题)某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下 对应数据:

x2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70
(1)求回归直线方程; (2)试预测宣传费支出为 10 万元时,销售额多大?

? ?
(参考公式:?

n
xi yi ? nxy

??b? ?

i?1 n

? ?
? ? ??a?

?

xi2 ?
i ?1
y ? b?x

n(x)2

21.(12 分)(新题)(本小题满分 12 分)已知数列{an}是首项为 a1=14,公比 q
第4页

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高一数学试题答案

命题人:

一.选择题(每题 5 分)

题号

1

2

3

4

5

6[来源:学

7

8

9 10 11 12

答案 A C B D D C C D C B A C

11、【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a>0,b>0)

过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,

目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12,

即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 2 ? 3 = ( 2 ? 3) 2a ? 3b ? 13 ? (b ? a) ? 13 ? 2 ? 25 ,故选

ab ab 6 6 ab 6

6

A.

答案:A

12、【答案】 C【解析】 ∵前 n 组偶数总的个数为:

2+4+6+…+2n=

+2n 2

n=n2+n.

∴第 n 组的最后一个偶数为 2+[(n2+n)-1]×2=2n(n+1).

令 n=30,则 2n(n+1)=1 860;令 n=31,则 2n(n+1)=1 984;

令 n=32,则 2n(n+1)=2 112.∴2 016 位于第 32 组.

二、填空题(每题 5 分)

13、-4

14、 3 【解析】∵ a、b、c 成等比数列∴ b2 ? ac ∵ c ? 2a ∴ b2 ? 2a2 4

∴ cosB

?

a2

? c2 ? b2 2ac

?

3a2 4a2

?

3 ,故答案为 3

4

4

15、答案:-6 或 6

16、解析:正方形四个顶点可以确定 6 条直线,甲、乙各自任选一条共有 36 个基 本事件.两条直线相互垂直的情况有 5 种(4 组邻边和对角线),包括 10 个基本事件,故

所求概率等于1306=158.
三、解答题(17----21 题每题 12 分,22 题 10 分)
17、【解】 (1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+

0.002 5)×20=1 得 x=0.007 5,

∴直方图中 x 的值为 0.007 5.

(2)月平均用电量的众数是220+2 240=230.

∵(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,

∴月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为 a,则(0.002

+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,解得 a=224,即中位

数为 224.

(3)月平均用电量在[220,240)的用户有 0.012 5×20×100=25(户),

同理可求月平均用电量为[240,260),[260,280),[280,300]的用户分别

有 15 户、10 户、5 户,故抽取比例为25+151+1 10+5=15,

∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 25×51=5(户).

18、试题解析: (1)原式可得: 1? cosA ? 1 ? b
2 2 2c

即 cosA= b c

即 b=c×cosA 由余弦定理得:

b2 ? c2? a2 b?c

2bc

∴c2=a2+b2 即△ ABC 为直角三角形 -----------6 分 (2)由(1)知△ ABC 为直角三角形,c 为斜边 当 c=1 时设另两直角边长分别为 a,b a2+b2=1

5/7



? ??

a

? 2

b

2
? ? ?

?

a2

? b2 2

?

1?a ?b ? 2

2

∴△ABC 周长=1+a+b ? 1? 2 --------------------12 分
当且仅当 a=b 即 △ ABC 为等腰直角三角形时取等号.
∴△ABC 周长的最大值为 1? 2

19、解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是50+1560+100=510, 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是: 50×510=1,150×510=3,100×510=2. 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1,3,2. (2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为: A;B1,B2,B3;C1,C2. 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为:(A,B1),(A,B2),(A, B3),(A,C1),(A,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1), (B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D:“抽取的这 2 件商品来自相同地区”,则事件 D 包含的基本事件有: (B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(C1,C2),共 4 个. 所以 P(D)=145,即这 2 件商品来自相同地区的概率为145.

20、(1)

.

(2) ①当

时,



,

②当 时,



③当 时,



.

【解析】试题分析:第一问将 代入不等式,利用一元二次不等式的解法求得结果; 第二问将不等式进行整理,将其进行因式分解,之后对 进行讨论,讨论的标准就是根 的大小以及符号. (1) ;

所以不等式





再转化为

,…………………2 分

所以原不等式解集为

…………………3 分

(2)不等式

可化为





;…………………5 分



时,

,不等式的解集为



;…………………7 分

当 时,

,不等式的解集为

;…………………9 分

当 时,

,不等式的解集为

综上所述,原不等式解集为



;…………………11 分

①当

时,



,

②当 时,



③当 时,



;…………………12 分

21、【解】(1)证明:由题意知,an=???14???n(n∈N+),

第6页

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∵bn=3log1an-2,b1=3log1a1-2=1,

4

4

∴bn+1-bn=3log14an+1-3log14an=3log14aan+n 1=3log14q=3, ∴数列{bn}是首项 b1=1,公差 d=3 的等差数列.

(2)由(1)知,an=???14???n,bn=3n-2(n∈N+),

∴cn=(3n-2)×???14???n(n∈N+),

∴Sn=1×14+4×???14???2+7×???14???3+…+(3n-5)×???14???n-1+(3n-2)×???14???n;





1 4

Sn



?1? 1×??4??

2



?1? 4×??4??

3



?1? 7×??4??

4







(3n



?1? 5)×??4??

n



(3n



2)×???14???n+1,两式相减得

3 4

Sn



1 4



3

??????14???2+???14???3+…+???41???n???



(3n



?1? 2)×??4??

n



1



1 2



(3n



2)×???14???n+1.

∴Sn=23-12n3+8×???41???n+1(n∈N+).

(3)∵cn



1



cn



(3n



?1? 1)·??4??

n



1



(3n



?1? 2)·??4??

n



9(1



?1? n)·??4??

n



1(n∈N+),

∴当 n=1 时,c2=c1=14,

当 n≥2 时,cn+1<cn,即 c1=c2>c3>c4>…>cn,

∴当 n=1 或 2 时,cn 取得最大值是14. 又 cn≤41m2+m-1 对一切正整数 n 恒成立, ∴14m2+m-1≥14, 即 m2+4m-5≥0,解得 m≥1 或 m≤-5. 故实数 m 的取值范围为{m|m≥1 或 m≤-5}.

5

5

22、解:(1)计算得: x =255=5, y =2550=50,i∑=1x2i =145,i∑=1xiyi=1 380.

5

^
于是可得b

=i∑=1x5iyi-5 x i∑=1x2i -5 x

y
2

=1 318405--55××55×250=6.5,

^

^

a = y -b x =50-6.5×5=17.5,

^
因此,所求回归直线方程是y =6.5x+17.5.

(7 分)

^
(2)由上面求得的回归直线方程可知,当宣传费支出为 10 万元时,y =6.5×10+17.5=

82.5(万元),即这种产品的销售大约为 82.5 万元.

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