高中数学 (1.2 指数函数及其性质 第2课时)示范教案 新人教A版必修1


第 2 课时 指数函数及其性质(2)

导入新课 思路 1.复习导入:我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指 数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂 课要讲的主要内容.教师板书课题. 思路 2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归 纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解 题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2). 应用示例
思路 1 例 1 已知指数函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象过点(3,π ),求 f(0),f(1),f(-3)的 值. 活动:学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定 a,一般用待定系数 法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足 曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)求 a 的值,进而 求出 f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价. 解:因为图象过点(3,π ),

1

1

所以 f(3)=a3=π ,即 a=π 3 ,f(x)=(π 3 )x.

再把 0,1,3 分别代入,得 f(0)=π 0=1, f(1)=π 1=π ,
f(-3)=π -1= 1 . ?
点评:根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用. 例 2 用函数单调性的定义证明指数函数的单调性. 活动:教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按 规定的格式书写. 证法一:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 y2-y1=ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1). 因为 a>1,x2-x1>0,所以 ax2-x1>1,即 ax2-x1-1>0. 又因为 ax1>0, 所以 y2-y1>0, 即 y1<y2. 所以当 a>1 时,y=ax,x∈R 是增函数. 同理可证,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数.

证法二:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 y2 与 y1 都大于 0,则

y2 y1

= a x2 a x1

=a x2 ?x1 .

因为 a>1,x2-x1>0,所以 a x2 ?x1 >1,

即 y2 >1,y1<y2. y1

1

所以当 a>1 时,y=ax,x∈R 是增函数. 同理可证,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数. 变式训练 若指数函数 y=(2a-1)x 是减函数,则 a 的范围是多少?
答案: 1 <a<1. 2
例 3 截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那 么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 活动:师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的 方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从 中发现规律,最后解决问题: 1999 年底 人口约为 13 亿; 经过 1 年 人口约为 13(1+1%)亿; 经过 2 年 人口约为 13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2 亿; 经过 3 年 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿; 经过 x 年 人口约为 13(1+1%)x 亿; 经过 20 年 人口约为 13(1+1%)20 亿. 解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,则 y=13(1+1%)x, 当 x=20 时,y=13(1+1%)20≈16(亿). 答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿. 点评:类似此题,设原值为 N,平均增长率为 P,则对于经过时间 x 后总量 y=N(1+p)x,像 y=N(1+p)x 等形如 y=kax(k∈R,a>0 且 a≠1)的函数称为指数型函数.
思路 2 例 1 求下列函数的定义域、值域:

1
(1)y=0.4 x?1 ;(2)y=3

5x?1 ;(3)y=2x+1;(4)y= 2 x ? 2 .

2x ?1

解:(1)由 x-1≠0 得 x≠1,所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由 x≠ ? 得 y≠1,

即函数值域为{y|y>0 且 y≠1}.

(2)由 5x-1≥0 得 x≥ 1 ,所以所求函数定义域为{x|x≥ 1 }.由 5x -1 ≥0 得 y≥1,

5

5

所以函数值域为{y|y≥1}.

(3)所求函数定义域为 R,由 2x>0 可得 2x+1>1.

所以函数值域为{y|y>1}.

(4)由已知得:函数的定义域是 R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.

因为 y≠1,所以 2x= ? y ? 2 .又 x∈R,所以 2x>0, ? y ? 2 >0.解之,得-2<y<1.

y ?1

y ?1

因此函数的值域为{y|-2<y<1}. 点评:通过此例题的训练,学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的 定义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性. 变式训练

2

求函数

y=(

1

)

1 x?3

的定义域和值域.

2

解:要使函数有意义,必须 x+3≠0,即 x≠-3,即函数的定义域是{x|x≠-3}.

因为

1

≠0,所以

y=(

1

)

1 x?3

≠(

1

)0=1.

x?3

2

2

又因为 y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).

例2

(1)求函数 y=( 1 ) x2 ?2x 的单调区间,并证明. 2
(2)设 a 是实数,f(x)=a ? 2 (x∈R),试证明对于任意 a,f(x)为增函数. 2x ?1
活动:(1)这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数 y=( 1 )x 与 y=x2-2x 的复合函数, 2
(2)函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.

解法一:设 x1<x2,则 y2

?

( 1 ) x22 ?2x2 2

1 1 =( ) ( ) , x22 ?x12 ?2x2 ?2x1

( x2 ?x1 )(x2 ?x1?2)

y1

( 1 ) x21 ?2 x1

2

2

2

因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.

当 x1,x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,

即 y2 >1,所以 y2>y1,函数单调递增; y1
当 x1,x2∈[1,+∞)时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,

即 y2 <1,所以 y2<y1,函数单调递减; y1
所以函数 y 在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. 解法二:(用复合函数的单调性):
设 u=x2-2x,则 y=( 1 )u, 2
对任意的 1<x1<x2,有 u1<u2,又因为 y=( 1 )u 是减函数, 2
所以 y1<y2,所以 y=( 1 ) x2 ?2x 在[1,+∞)是减函数. 2
对任意的 x1<x2≤1,有 u1>u2,又因为 y=( 1 )u 是减函数, 2
所以 y1<y2.所以 y=( 1 ) x2 ?2x 在(-∞,1]上是增函数. 2
引申:求函数 y=( 1 ) x2 ?2x 的值域(0<y≤2). 2
点评:(1)求复合函数的单调区间时,利用口诀“同增异减”.

3

(2)此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同 题型的解答方法. 证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则

f(x1)-f(x2)=

(a

?

2

)

2

x 1

?1

?

(a

?

2 )
2x2 ?1

=

2 2x2 ?

1

?

2

2

x 1

?1

=

2(2

x 1

?

2x2

)

(2

x 1

? 1)(2x 2

? 1)

.

由于指数函数 y=2x 在 R 上是增函数,且 x1<x2, 所以 2x1<2x2,即 2x1-2x2<0. 又由 2x>0 得 2x1+1>0,2x2+1>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数,f(x)为增函数. 点评:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性. 知能训练 1.函数 y=a|x|(a>1)的图象是( )

图 2-1-2-8

分析:当 x≥0 时,y=a|x|=ax 的图象过(0,1)点,在第一象限,图象下凸,是增函数.

答案:B

2.下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是( )

A.y=( 1 )2-x 3

B.y= 1 - 4 x

C.y= 0.5x -1

分析:因为(2-x)∈R,所以 y=( 1 )2-x∈(0,+∞);y= 3

D.y= 2 x2 +1 1 - 4 x ∈[0,1];y=

0.5x -1 ∈

[0,+∞);y= 2 x2 +1∈[2,+∞).

答案:A 3.已知函数 f(x)的定义域是(0,1),那么 f(2x)的定义域是( )

A.(0,1)

B.( 1 ,1)

C.(-∞,0)

D.(0,+∞)

2

分析:由题意得 0<2x<1,即 0<2x<20,所以 x<0,即 x∈(-∞,0).

答案:C 4.若集合 A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则( )

A.A B

B.A B

C.A=B

D.A∩B= ?

分析:A={y|y>0},B={y|y≥0},所以 A B.

答案:A

5.对于函数 f(x)定义域中的任意的 x1、x2(x1≠x2),有如下的结论: ①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);

③ f (x1 ) ? f (x2 ) >0;④ f ( x1 ? x2 ) < f (x1 ) ? f (x2 ) .

x1 ? x2

2

x1 ? x2

4

当 f(x)=10x 时,上述结论中正确的是.
分析:因为 f(x)=10x,且 x1≠x2,所以 f(x1+x2)=10x 1 ? x 2 =10x1 ?10x2 =f(x1)·f(x2),所以
①正确;
因为 f(x1·x2)=10x1?x2 ≠10x1 ? 10x2 =f(x1)+f(x2),②不正确;
因为 f(x)=10x 是增函数,所以 f(x1)-f(x2)与 x1-x2 同号,所以 f (x1 ) ? f (x2 ) >0,所以③正 x1 ? x2
确. 因为函数 f(x)=10x 图象如图 2-1-2-9 所示是上凹下凸的,可解得④正确.

答案:①③④ 另解:④

图 2-1-2-9

∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴ 10 x1 ? 10 x2 > 10x1 ?10x2 ∴ 10 x1 ? 10 x2 > 10x1?x2 ,

2

2

即 10 x1

? 10 x2

x1 ? x2
>10 2 ∴

f (x1 ) ?

f (x2 ) > f ( x1 ? x2 ) .

2

x1 ? x2

2

拓展提升 在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系. (1)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;

(2)①y=( 1 )x,②y=( 1 )x-1,③y=( 1 )x+1.

2

2

2

活动:学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的

方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.

答案:如图 2-1-2-10 及图 2-1-2-11.

图 2-1-2-10 图 2-1-2-11 观察图 2-1-2-10 可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1 的图象间有如下关系: y=3x+1 的图象由 y=3x 的图象左移 1 个单位得到; y=3x-1 的图象由 y=3x 的图象右移 1 个单位得到;
5

y=3x-1 的图象由 y=3x+1 的图象向右移动 2 个单位得到.

观察图 2-1-2-11 可以看出,y=( 1 )x,y=( 1 )x-1,y=( 1 )x+1 的图象间有如下关系:

2

2

2

y=( 1 )x+1 的图象由 y=( 1 )x 的图象左移 1 个单位得到;

2

2

y=( 1 )x-1 的图象由 y=( 1 )x 的图象右移 1 个单位得到;

2

2

y=( 1 )x-1 的图象由 y=( 1 )x+1 的图象向右移动 2 个单位得到.

2

2

你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考.

课堂小结

思考

我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收获写在笔记本上.

活动:教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一

致.

本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题

的分析能力,形成了一定的能力与方法.

作业

课本 P59 习题 2.1 B 组 1、3、4.

设计感想

本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质,涉及的内容较多,要首先组织学生回顾指数函数

的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观性解

决问题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比较大小,有时要分

a>1,0<a<1,这是分类讨论的思想,因此加大了习题和练习的量,目的是让学生在较短的时

间内,掌握学习的方法,提高分析问题和解决问题的能力,要加快速度,多运用现代化的教

学手段.

6


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